Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

830.37 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Введём новую переменную

x 1

t , тогда при

x , t ,

получим

lim

x x 1

lim

ex x 1

e8 .

lim 1

Для решения задач № 61-90.

Пример. Для функции y ln sin 3x

найти значения произ-

водных

d2y

при x

dx2

sin 3x

cos 3x 3

Решение.

3ctg3x .

sin 3x

d2y

d dy

3ctg3x

dx2

sin2 3x

sin2

dx dx

3ctg

0 .

d2y

9 .

dx2

sin

В задачах № 91-120 требуется провести полное исследование указанных функций и построить их графики.

При исследовании целесообразно придерживаться следующей схемы:

1)найти область определения функции, вычислить предельные значения на её границе, найти уравнения вертикальных и наклонных асимптот, если они существуют. Найти точки пересечения графика с осями координат;

2)с помощью первой производной найти интервалы возрастания и убывания функции, её экстремумы;

3) с помощью второй производной определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.

Рекомендуется построение графика функции проводить поэтапно параллельно с исследованием по указанной схеме.

Пример. Построить график функции y 3x3 3x2 .

Решение. 1. Функция определена при всех x , и не-

прерывна в области определения, следовательно, нет вертикальных асимптот. Найдём уравнение наклонной асимптоты y kx b , где

		f x
												3 x3 3x2
												3 x3 3x2																								3
k	lim						lim																				lim						3	1				1,
k	lim						lim																				lim						3	1				1,
	x		x					x						x														x								x
																	3
b	lim				x			kx						lim			3		x	3	3x						2
b	lim		f		x			kx						lim					x		3x							x
	x
	x													x

			3																							2			3
					3				2									3					2			2							3				2		2
					3		3x		2					3				3					2				x						3	3x			2	x	2
				x			3x				x						x			3x							x					x		3x				x

	lim


x																		2			3
													3					2								3					2				2
								3					3	3x		2			x							3	3x				2		x		2
										x				3x					x					x			3x						x

	lim								x3 3x2 x3																					1.

			3								2
x						3				2	2				3			3				2						2
x						3		3x		2				x	3			3				2			x			2
				x				3x						x			x			3x					x

Получили уравнение наклонной асимптоты y x 1. Функ-
ция пересекает ось ординат при y 0																							и ось абсцисс при x 3 и

x 0.

Функция не обладает свойствами чётности, нечётности и периодичности.

2. Определим интервалы возрастания и убывания функции и её экстремумы, для чего находим первую производную:

3x2

3 x3 3x2 2

		x 2
			.
	3
		x x 3 2
y 0 при				x1 2 и производная не существует при

x2 3, x3 0 . Эти критические точки разбивают область опре-
деления на интервалы: , 3 ;	3, 2 ;	2,0 ;	0, .

Внутри каждого интервала знак производной сохраняется. Чтобы определить знак производной на каждом интервале, выбираем в каждом из них по одной точке и вычисляем значение производной в этих точках. Например, в интервале , 3 возьмём точ-

ку x 4 , тогда y 4			4 2
					0 , следовательно, функция

	3		4 1 2
на интервале , 3 возрастает. На интервале 3, 2 функция
			2,5 2
возрастает, так как y 2,5 3						0 . На интервале 2,0
				2,5
функция убывает, так как y 1						1 2
						3				0 . На интервале
							4
0, функция возрастает,		так как y 1						1	2		0 .


						3 16

Составим для наглядности таблицу изменения знаков производной:

х, 3

у' +

		2 3			1,6;			0 0.
y	max	2 3		4	1,6;	y	min	0 0.
	max						min
-3			3, 2		-2		2,0		0
-3			3, 2		-2		2,0		0
не существует			+		0			-	не существует
			+		0			-

возрастает	нет экстремума	возрастает	максимум	убывает	минимум	возрастает

3. Определим интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции, для чего найдём вторую производную:

											2								2
			x 2			3	3x		2						3	3x	2
y						3			2		3				3		2		3
y					x									x

							3			2				2
							3			2		3		2
				2								5								2
	x			2				3x					3x 6x							2
		2			x																,
		2			x																,
				3														3 x4 x 3 5

которая не равна нулю для любого конечного x . Поэтому точками перегиба могут быть те точки, в которых y не существует, то есть x1 3; x2 0 . Определим знак второй производной в каждом из интервалов, на которые найденные критические точки разбивают область определения, и составим таблицу изменения знаков второй производной:

у"

, 3

кривая вогнута

-3

не	существует
точка пере-	гиба

3,0

кривая выпукла

не	существует
нет точки	перегиба

кривая выпукла

По результатам исследования строим график функции:

un 1

y x 1

Для выполнения задания № 121-150 (пункт а) нужно из таблицы интегралов выбрать такой, к которому можно свести данный интеграл.

Например, при вычислении

	dx	5x 2	5
				dx ,
			3

	5x 2 5
3

используем табличный интеграл

undu n 1 c .

Согласно этой формуле, подводим под знак дифференциала основание степени. Так как d 5x 2 5dx , то умножим и разделим

интеграл на 5, то есть

		dx		5x 2			5	dx	1	5x 2		5	5dx		1	5x 2			5	d 5x 2

							3					3							3


	3 5x 2 5								5						5
		5x 2			5	1
1					3	1		3 5x 2 3			c				3			c .
1					3	c		3 5x 2 3			c				3			c .
										2
			3 1
5			5				10						103	5x		2	2
													103	5x		2

Интеграл x e3x 2 1dx сводится к табличному eudu eu c путём подведения под знак дифференциала показателя степени d 3x2 1 6xdx. Таким образом

x e

3x 2

6xdx

3x 2

1 3x 2 1

c .

d 3x

В примере

3cosx dx

используем формулу

c , где

2 sin x

под знаком дифференциала находится знаменатель дроби. Так как d 2 sinx cosxdx , то

3	cosxdx	3	d 2 sinx	3 ln	2 sinx	c .

	2 sinx		2 sinx

При вычислении интегралов в № 121-150 (пункте б) применяются методы подстановки и интегрирования по частям, то есть по формуле udv uv vdu мы от исходного интеграла udv переходим к более простому интегралу vdu .

Пример. x arctgxdx arctgx xdx , то есть возьмём

		dx
u arctgx du				,
u arctgx du	1	x	2	,
	1	x

					x	2
dv xdx v dv		xdx			x		.
dv xdx v dv		xdx					.
				2

(здесь при нахождении v константу c полагаем равной 0). Получим

x arctgxdx arctgx xdx

arctgx

Возьмём

отдельно

x2 1 1

dx dx

x arctgx c

Итак

x arctgxdx

arctgx

x arctgx c .

Пример. Найти

x e 3xdx . Пусть

u x du dx,

3x .

dv e

v e

x e 3xdx x

e 3x

e 3x dx

xe 3x

e 3xdx

xe 3x

e 3x

c .

Пример. При вычислении интеграла I

x 1

dx сделаем

x 3

x 1 x u2

подстановку u

x 1

1 dx 2udu,

x 3 u2

1 3 u2 2 . Получим

2u u2

2 x 1

2 u

2udu 2

du .

u2 2

Дробь

2u u2

неправильная (степень числителя не меньше сте-

u2 2

пени знаменателя). Выделим целую часть

u2 2

2 2u

u2 2

2 u2

2u u

2du

2udu

Итак I 2

du 2 du

arctg

u2 2

2 ln u2

2 c 2

x 1

2 ln

x 3

x 1

arctg

c .

Здесь du и

табличные, а

2udu

d u2 2

ln u2 2 c .

u2 2

Нахождение площадей плоских фигур и объёмов тел вращения в задачах № 151-180.

Пример. Найти площади частей, на которые круг x2 y2 12 делится параболой y x2 .

Сделаем схематический чертёж (рис.1) и найдём точки пересечения этих линий

							2		y		2	12							2	12 y				2
				x					y			12					x			12 y							12 y2 y
																											12 y2 y
										2									2	y
				y x													x			y
				y2 y 12 0											y 1 1 48													1 7		,		y 3.
																							2						2
	В точке пересечения x2 3 x
	В точке пересечения x2 3 x																						1	3, x				2	3 . Площадь мень-
																							1					2
шей

																																					3
																			x														3			3

		3											3																	x					x
S1		3			12 x2 dx								3	x2dx								x			2 6 arcsin

																					12


																				2										12					3
		3											3
																																		3
																																					3
																																					3

	3															3					3										3
	3															3					3										3
			12 3 6 arcsin																				12		3 6 arcsin
			12 3 6 arcsin																				12		3 6 arcsin
	2													12							2									12

	3	3				3 3
	3	3				3 3						3 3				12				2 3						3 2 .


	3							3										6

y x2

x2 y2 12

Рис.1

Площадь большей части

S2 r2 S1 12 3 2 10

	Пример. Найти объём тела,
круг	оси	OX	фигуры,

y x,	y x sinx,	0 x .

y x

Рис.2

3 .

образованного вращением воограниченной линиями

Сделаем схематический чертёж (рис.2) и найдём точки пересечения этих линий

y x

x x

sinx 0, x1

0, 1

0, sinx 1, x2

sinx

y x sinx

V1 V2

y12dx

y22dx x2dx x2 sin xdx

2xsin x x2

2 cosx

2 ,

x2 sin xdx 2x sin x x2

2 cosx.

№ 1 – 30. Даны четыре вектора a, b, c, e . Показать, что век-

в этом

торы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора e

базисе.

1,1,1 ;

1,1,2 ;

1,2,3 ;

6,9,14 .

6,4,3 ;

b 3,3,2 ;

c 8,1,3 ;

e 1, 6, 2 .

4, 4,2 ;

2, 3,1 ;

2, 1,0 ;

2, 5,3 .

2, 3,1 ;

3, 3,1 ;

2, 1,2 ;

6, 8,1 .

4,5,2 ;

3,0,1 ;

c 1,4,2 ;

5,7,8 .

2, 3,1 ;

1,5, 4 ;

4,1, 3 ;

6, 15,7 .

3, 5,2 ;

4,5,1 ;

3,0, 4 ;

4, 10, 3 .

2,3,5 ;

b 1, 3,4 ;

1,2, 3 ;

1,20,7 .

2,1,3 ;

b 4, 2, 1 ;

3,4,5 ;

1,3,2 .

10. a

1,3,5 ;

0,2,0 ;

5,7,9 ;

0,4,16 .

11. a

2,4,8 ;

1,3,5 ;

0, 3,7 ;

3,13, 1 .

12.

2,3,1 ;

1,2, 2 ;

1,2,1 ;

2, 2,1 .

13.

4,3, 8 ;

5,0,4 ;

2,1,2 ;

0,7, 22 .

14.

3,4, 3 ;

b 5,5,0 ;

2,1, 4 ;

8, 16,17 .

15.

1,2,1 ;

2, 1,3 ;

3, 1,4 ;

5,1,6 .

16.

2,1,7 ;

3, 3,8 ;

5,4, 1 ;

18,25,1 .

17.

1,0,5 ;

3,2,7 ;

5,0,9 ;

4,2, 12 .

18.

2,1,0 ;

4,3, 3 ;

6,5,7 ;

10, 3, 7 .

19.

2,3,5 ;

b 1,7,2 ;

1, 6,1 ;

7,1,14 .

20.

4,4,2 ;

7,2,1 ;

1,1,4 ;

5,10,19 .

21.

2,3,3 ;

b 1,4, 2 ;

1, 2,4 ;

4,11,11 .

22.

1,2,4 ;

1, 1,1 ;

2,2,4 ;

e 1, 4, 8 .

23.

3,2,2 ;

b 2,3,1 ;

1,1,3 ;

5,1,11 .

24.

2,1,3 ;

4, 2, 1 ;

3,4,5 ;

1,3,2 .

25.

1,2,1 ;

1,2, 1 ;

2,3,1 ;

2, 17,1 .

26.

1,2,1 ;

2, 1,3 ;

3, 1,4 ;

5,1,6 .

27.

3, 2,1 ;

b 1,1, 8 ;

c 2,1, 3 ;

11, 6,23 .

28.

2,1,0 ;

1, 1,2 ;

2,2, 1 ;

3,7, 7 .

29.

3,4,5 ;

b 3, 5, 6 ;

2,2,4 ;

2,1,3 .

30.

3,2,4 ;

b 2,4, 3 ;

4, 5,2 ;

8,11,1 .

№ 31 – 60. Найти пределы.

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.2015357.84 Кб26МАТЕМАТИКА для контрол 9, 10 2009.pdf
#
10.05.2015695.77 Кб50Математика для инженеров.pdf
#
10.05.2015298.16 Кб15математика контр раб №2.pdf
#
10.05.20151.05 Mб21Математика МУ к КР ЗФО 24.04.pdf
#
10.05.20152.69 Mб5Математика Сам раб 140400 140100.pdf
#
16.03.2016830.37 Кб3Математика.pdf
#
10.05.2015403.1 Кб4математика.pdf
#
16.03.2016429.54 Кб6Математика.pdf
#
23.11.20191.69 Mб16Математическая обработка геодезических измерени...doc
#
26.08.2019219.14 Кб0Материал для контрольной работы (теория).doc
#
16.03.2016167.91 Кб14материаловедение MU_k_k/r.pdf