§4. Застосування диференціала для лінійної апроксимації функції та наближених обчислень

Раніше ми визначили, що різниця - нескінченно мала вищого порядку малості, ніж, тому при досить малому:

. (16)

Це означає, що при малих змінах аргументу (від початкового значення ) величину зміни функціїможна приблизно вважати пропорційній величині зміни аргументу з коефіцієнтом пропорційності, рівним значенню похідної; кривупри цьому можна приблизно замінити дотичною до неї в околі точки. Так як, то. Таким чином:

, (17)

або:

. (18)

Розглянемо на прикладах застосування даної наближеної рівності для лінійної апроксимації деяких елементарних функцій і наближених обчислень.

Приклади.

№1.

Обчислити .

Розв’язання. У нашому прикладі маємо функцію . Треба знайти значення функції, деі.

Так як то.

Отже, .

№2.

Обчислити .

Розв’язання. У нашому прикладі маємо функцію . Треба знайти значення функції, деі.

.

Отже, .

№3.

Обчислити .

Розв’язання. У нашому прикладі маємо функцію . Треба знайти значення функції, де,,.

.

При :.

Отже, .

№4.

Знайти наближене значення вираження .

Розв’язання. Маємо функцію двох змінних .

Треба знайти значення функції ,

де ,,і,,.

,

При і:

.

Отже:

№5.

Знайти площу кімнати, якщо довжина і ширина кімнати були виміряні з наступною точністю: (м) і(м).

Розв’язання. Площу кімнати можна визначити за формулою:

.

Так, як площа , том².

Знайдемо абсолютну похибку непрямого виміру для функції двох змінних :

;

.

Отже:

.

Контрольні питання

1. Функція однієї незалежної змінної. Область визначення, область значень функції. Способи задання функції. Обернена функція. Властивості функцій (парність і непарність, періодичність, монотонність, опуклість і угнутість).

2. Графіки і властивості основних елементарних функцій (степеневої , лінійної, показникової, логарифмічної, тригонометричних функцій:).

3. Границя функції. Визначення нескінченно малої і нескінченно великої функції. Теореми про границі функції. Перша і друга чудові границі.

4. Визначення похідної функції. Фізична і геометрична інтерпретація похідної функції в точці.

5. Диференціювання складених функцій.

6. Похідні вищих порядків.

7. Застосування похідної для дослідження функції. Інтервали зростання й спадання функції, екстремуми. Опуклість і угнутість кривої, точки перегину.

8. Схема дослідження функції. Побудова графіків функцій.

9. Функція багатьох змінних.

10. Частинні похідні функції багатьох змінних.

11. Частинні похідні вищих порядків.

12. Диференціал функції, його аналітичний і геометричний зміст. У яких випадках можна заміняти приріст функції її диференціалом?

13. Загальний вигляд задачі, яку розв'язують заміною приросту функції її диференціалом.

14. Застосування методів наближених обчислень для розрахунків основних елементарних функцій: ,;;.

15. Прямі вимірювання. Абсолютна і відносна похибки прямих вимірювань.

16. Посередні (непрямі) вимірювання. Абсолютна і відносна похибки посередніх вимірювань для випадку: функції однієї незалежної змінної; функції багатьох незалежних змінних.

36