- •I частина
- •§2. Способи задання функції
- •§3. Властивості функцій
- •§4. Елементарні функції
- •Розділ 2 границя функції. Похідна
- •§1. Границя функції
- •§2. Похідна функції
- •§3. Диференціювання складених функцій
- •§4. Похідні вищих порядків
- •§5. Застосування похідної для знаходження інтервалів монотонності та екстремумів функції
- •§6. Дослідження функції на опуклість, угнутість.
- •§7. Схема дослідження функції
- •§8. Функція багатьох змінних. Частинні похідні функції багатьох змінних. Частинні похідні вищих порядків
- •Розділ 3 диференціал функції
- •§1. Визначення диференціала функції однієї змінної
- •§2. Частинний і повний диференціали для функції багатьох змінних. Диференціали вищих порядків
- •§3. Абсолютна та відносна похибка прямого і посереднього (непрямого) виміру. Застосування диференціалів для визначення похибок вимірювань
- •§4. Застосування диференціала для лінійної апроксимації функції та наближених обчислень
- •Контрольні питання
§4. Елементарні функції
Степенева функція: .
Властивості і графік степеневої функції залежить від того, яке значення приймає показник степеня.
1) Якщо , де, тобто- парне натуральне число (дивись рис. 5(а)). Приклади таких функцій: . Графіком функції є парабола, і функція має властивості:
область визначення функції – множина дійсних чисел ;
б) область значень – множина невід’ємних чисел ;
в) функція парна;
г) функція монотонно зростає на інтервалі і монотонно спадає на інтервалі;
д) у точці - функція має мінімум.
2) Якщо , де, тобто- непарне натуральне число (дивись рис 5(б)). Приклади таких функцій: .Графіком функції є кубічна парабола і функція має властивості:
а) область визначення функції – множина дійсних чисел ;
б) область значень – множина дійсних чисел ;
в) функція непарна;
г) функція монотонно зростає на всій області визначення;
д) у точці - функція має перегин.
3) Якщо чиде, то графіком функції є гіпербола. Приклади таких функцій: -для випадку , і - якщо .
У першому випадку, вітки гіперболи розташовуються у верхній півплощині, у другому випадку – у першому і третьому координатному куті (дивись рис. 6(а,б).
Лінійна функція: , деі- будь-які постійні числа.
Властивості лінійної функції:
а) область визначення й область значень – нескінченна множина дійсних чисел;
б) графік і властивості функції залежать від значень і.
Стале число називається кутовим коефіцієнтом прямої і залежить від кута нахилуданої прямої до додатного напрямку осі. Якщо кут(кут гострий), то кутовий коефіцієнт додатний (), якщо кут тупий (), то кутовий коефіцієнт має від’ємне значення ();
в) Якщо , то функція зростає на всій області визначення, якщо- функція спадає (дивись рис. 7.)
Лінійними функціями представлені різні закони природи. Скажімо, ізобаричний процес описується формулою, дечи другий закон Ньютона, який може бути записаний у вигляді:.
Показникова функція: ,де - додатне стале число, відмінне від одиниці ().
Властивості функції залежать від значення основи (дивись рис. 8).
1) Якщо, наприклад , ,.
а) область визначення функції – множина дійсних чисел ;
б) область значень – множина додатних чисел ;
в) функція ні парна, ні непарна;
г) функція монотонно спадає на всій області визначення;
д) крива функції угнута.
2) Якщо , наприклад , ,.
а) область визначення функції – множина дійсних чисел ;
б) область значень – множина додатних чисел ;
в) функція ні парна ні непарна;
г) функція монотонно зростає на всій області визначення;
д) крива функції угнута.
Логарифмічна функція: , де- додатне стале число.
1) Якщо, наприклад,.
а) область визначення функції – множина додатних чисел ;
б) область значень – множина дійсних чисел ;
в) функція ні парна ні непарна;
г) функція монотонно спадає на всій області визначення;
д) крива функції угнута.
2) Якщо , наприклад,.
а) область визначення функції – множина додатних чисел ;
б) область значень – множина дійсних чисел ;
в) функція ні парна ні непарна;
г) функція монотонно зростає на всій області визначення;
д) крива функції опукла.
У першому і в другому випадку графіки функції перетинають вісь абсцис у точці (дивись рис. 9).
Тригонометричні функції: .
Функція синус: .
Графіком даної функції є синусоїда (дивись рис. 10).
а) область визначення функції – множина дійсних чисел ;
б) область значень – обмежений інтервал ;
в) функція непарна;
г) функція періодична, з найменшим періодом ().
д) функція монотонно зростає при , де- натуральне число, і спадає при;
е) функція має максимум, що дорівнює одиниці () у точкахі мінімум, рівний мінус одиниці () у точках.
Функція косинус: .
Графіком даної функції є косинусоїда (дивись рис.11).
0
а) область визначення функції – нескінченна множина дійсних чисел ;
б) область значень – обмежений інтервал ;
в) функція парна;
г) функція періодична з найменшим періодом ();
д) функція монотонно зростає при , де- натуральне число, і спадає при;
е) функція має максимум, який дорівнює одиниці () у точкахі мінімум, рівний мінус одиниці () у точках.