- •I частина
- •§2. Способи задання функції
- •§3. Властивості функцій
- •§4. Елементарні функції
- •Розділ 2 границя функції. Похідна
- •§1. Границя функції
- •§2. Похідна функції
- •§3. Диференціювання складених функцій
- •§4. Похідні вищих порядків
- •§5. Застосування похідної для знаходження інтервалів монотонності та екстремумів функції
- •§6. Дослідження функції на опуклість, угнутість.
- •§7. Схема дослідження функції
- •§8. Функція багатьох змінних. Частинні похідні функції багатьох змінних. Частинні похідні вищих порядків
- •Розділ 3 диференціал функції
- •§1. Визначення диференціала функції однієї змінної
- •§2. Частинний і повний диференціали для функції багатьох змінних. Диференціали вищих порядків
- •§3. Абсолютна та відносна похибка прямого і посереднього (непрямого) виміру. Застосування диференціалів для визначення похибок вимірювань
- •§4. Застосування диференціала для лінійної апроксимації функції та наближених обчислень
- •Контрольні питання
Розділ 3 диференціал функції
§1. Визначення диференціала функції однієї змінної
Як відомо, похідна функції:
. (1)
З визначення границі функції випливає, що якщо , то повинно виконуватися умова, де- як завгодно мале позитивне число, що визначає міру близькостійу точці. З обліком сказаного, рівнянню (1) буде відповідати нерівність:
,
Якщо розкрити цю нерівність, то одержимо:
.
З даної подвійної нерівності можна визначити приріст функції , додавши до лівої і правої частини нерівності похіднупомножену на приріст аргументу:
.
Так, як по визначенню прагне до нуля, ає нескінченно малою величиною, той і їхній добутокявляє собою нескінченно малу величину більш високого порядку, ніжчиокремо. Тому цією величиноюможна знехтувати і записати, що:
, (2)
тобто, приріст функції приблизно дорівнює добутку похідної функціїна нескінченно малий приріст аргументу. Цей добуток одержав самостійну назву – диференціал функції:
, (3)
де - диференціал аргументу.
Отже, диференціал функції дорівнює добутку значення похідноїфункції на приріст аргументу.
Іншим визначенням диференціала функції може бути наступне: диференціалом функції називається величина, пропорційна нескінченно малому збільшенню аргументу, що відрізняється від приросту функціїна нескінченно малу більш високого порядку, аніж(на величину).
З геометричної точки зору диференціал функції в точці дорівнює збільшенню ординати дотичної до кривої в даній точці (дивись рис. 17 (а, б)).
Іншими словами – диференціал представляє головну частину приросту функції і може бути як більшим, так і меншим за приріст функції.
Диференціал функції являє собою також функцію аргументу, тому можна знайти його диференціал, що називаютьдиференціалом другого порядку:
. (4)
Диференціал другого порядку дорівнює добутку другої похідної функції на квадрат диференціала аргументу.
Диференціал п-го порядку можна знайти по формулі:
. (5)
Приклади.
№1.
Знайти приріст і диференціал функції в точціі. Порівняти отримані результати.
Розв’язання.
Знайдемо приріст функції:
;
Якщо підставити наші значення в останній вираз, то одержимо:
Знайдемо диференціал функції:
;
.
Якщо підставити наші значення в останнє вираження, то одержимо:
.
Порівняємо отримані результати:
, тобто у цьому випадку більшена 0,01.
§2. Частинний і повний диференціали для функції багатьох змінних. Диференціали вищих порядків
Якщо функція має дві неперервні частинні похідніі, точастинним диференціалом функції поназивають добуток частинної похідної пона приріст аргументу:
. (6)
Частинним диференціалом функції поназивають добуток частинної похідної пона приріст аргументу:
. (7)
Повним диференціалом функції називають суму частинних диференціалів цієї функції:
. (8)
Приклад.
Знайти частинні і повний диференціали функції в точціприі.
Розв’язання. Знайдемо частинні похідні першого порядку функції:
;
.
Знайдемо частинні диференціали:
;
.
Повний диференціал:
.
§3. Абсолютна та відносна похибка прямого і посереднього (непрямого) виміру. Застосування диференціалів для визначення похибок вимірювань
Прямим називають вимірювання величини, який роблять безпосередньо, за допомогою вимірювальних приладів. Наприклад, вимір довжини – за допомогою лінійки, ваги – за допомогою ваг, температури - за допомогою термометра і т.д.
Однак результати вимірювання майже ніколи не дають точного (істинного) значення величини. Якщо - вимірюване значення величини, то величина:
. (9)
називається абсолютною похибкою прямого вимірювання. Крім того, можна знайти відносну похибку прямого вимірювання:
(10)
Якщо шукана величина пов'язана з вимірюваною величиною відомою функціональною залежністючи, то такі виміри називаютьсяпосередніми (непрямими). У першому випадку шукана величина є функцією однієї змінної, у другому - двох змінних. Наприклад, при вимірюванні площі квадрата ми маємо функцію однієї змінної (довжина сторін), а при вимірюванні площі прямокутника- двох змінних (довжини, ширини).
Абсолютну похибка посереднього (непрямого) вимірювання для функції однієї змінної можна знайти за формулою:
, (11)
де - точне значення величини, а- отримане після того, як результати прямих вимірювань підставлені у формулу. У свою чергу:, тому:
. (12)
Відносну похибкупосереднього (непрямого) вимірювання можна знайти по формулі:
. (13)
Якщо посереднє (непряме) вимірювання є функцією декількох змінних (наприклад, двох), то абсолютна похибка непрямого вимірювання обчислюється за формулою:
. (14)
Відносна похибканепрямого вимірювання для функції двох змінних обчислюється за формулою:
. (15)