- •I частина
- •§2. Способи задання функції
- •§3. Властивості функцій
- •§4. Елементарні функції
- •Розділ 2 границя функції. Похідна
- •§1. Границя функції
- •§2. Похідна функції
- •§3. Диференціювання складених функцій
- •§4. Похідні вищих порядків
- •§5. Застосування похідної для знаходження інтервалів монотонності та екстремумів функції
- •§6. Дослідження функції на опуклість, угнутість.
- •§7. Схема дослідження функції
- •§8. Функція багатьох змінних. Частинні похідні функції багатьох змінних. Частинні похідні вищих порядків
- •Розділ 3 диференціал функції
- •§1. Визначення диференціала функції однієї змінної
- •§2. Частинний і повний диференціали для функції багатьох змінних. Диференціали вищих порядків
- •§3. Абсолютна та відносна похибка прямого і посереднього (непрямого) виміру. Застосування диференціалів для визначення похибок вимірювань
- •§4. Застосування диференціала для лінійної апроксимації функції та наближених обчислень
- •Контрольні питання
Розділ 2 границя функції. Похідна
§1. Границя функції
Число А називається границею функції прих, що прямує до а (х а), якщо для будь-якого як завгодно малого числа знайдеться таке мале число, що для всіхх, які задовольняють умову , виконується нерівність .
Границю функції записують у вигляді:
. (1)
Іншими словами, коли значення аргументу прямує до числа а, то значення функції прямує до значення А. Значення функції в точці а може бути рівним значенню границі функції в точці а, але може і не дорівнювати (дивись рис.12).
Функція називається нескінченно великою при х що прямує до а, якщо її границя рівна нескінченості (). Або, якщо значення функції більше довільного додатного числаМ: ().
Функція (х) називається нескінченно малою при х а якщо її границя рівна нулю().
Практичне обчислення границь базується на теоремах про границі.
Якщо існують татоді:
1) ;
2) ;
3) , при.
Використовуються також наступні границі:
(перша чудова границя); (2)
(друга чудова границя). (3)
Приклади.
№1.
Знайти границю функції: .
Розв’язання. Якщо замість змінної х підставити у вираз значення 6: ,то одержимо невизначеність типу . Розкриємо її. Для цього представимо чисельник і знаменник дробу у вигляді добутків: .
№2.
Знайти границю функції: .
Розв’язання. Якщо замість змінної х підставити у вираз значення нескінченності : ,то одержимо невизначеність типу . Розкриємо її. Для цього винесемо за дужки:
.
Якщо тепер замість змінної х підставити у вираз значення , то вираз, вигляду прямує до нуля. В результаті:
.
№3.
Знайти границю функції .
Розв’язання. Помножимо чисельник і знаменник дробу на .
§2. Похідна функції
Нехай маємо функцію . Дамо аргументу х приріст х. Одержимо нове значення аргументу х+х. Відповідні цим значенням аргументу значення функції можна записати у вигляді: і .
Різниця значень функції (або ) називаєтьсяприростом функції на відрізку х; х+х (дивись рис. 13).
Похідною від функції по аргументу х називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля:
або . (4)
Похідна позначається також .
Геометрична інтерпретація похідної функції в точці.
Зобразимо графік довільної функції (дивись рис. 14). На осі Ox візьмемо точку х0. Знайдемо значення функції в цій точці: .Дамо аргументу приріст х і одержимо точку х0+х. Відповідно, функція прийме значення: .Позначимо точки і.
Проведемо через ці точки січну пряму . Вона нахилена до додатного напрямку осіОх під кутом . Через точкуМ проведемо пряму, паралельну осі Ох. Позначимо точку перетину цієї прямої з перпендикуляром із точки як точкуN. Зі співвідношення в прямокутному трикутнику маємо:. КолиточкаМ’ переміщається уздовж кривої, наближаючись до точки М. Січна повертається навколо точки М і в граничному положенні січна збіжиться з дотичною.
Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює . Таким чином, прикутнаближається до кутаі
(5)
Геометрична інтерпретація полягає в тому, що похідна функції в точці х0 являє собою кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у=f(х) у точці х0, тобто (дивись рис. 15).
Фізична інтерпретація похідної.
Нехай тіло рухається прямолінійно за відомим законом . Середня швидкість за часвизначається за формулою:
. (6)
Миттєва швидкість прямолінійного руху дорівнює границі цього співвідношення, тобто похідній шляху за часом руху.
. (7)
Знаходження похідної називається диференціюванням.
Правила диференціювання.
Якщо ,- функції, залежні від, і можуть бути диференційовані, тоді:
; (8)
; (9)
. (10)
Таблиця знаходження похідних елементарних функцій.
1. , де С – стала величина; |
10. ; |
2. ; |
11. ; |
3. ; |
12. ; |
4. ; |
13. ; |
5. ; |
14. ; |
6. ; |
15. ; |
7. ; |
16. ; |
8. ; |
17. ; |
9. ; |
18. . |
Приклади.
№1.
Знайти приріст функції, при.
Розв’язання. .
Відкриємо дужки і приведемо подібні доданки:
Якщо підставити значення тав останній вираз, то отримаємо:
.
№2.
Знайти похідну функції .
Розв’язання. .
№3.
Знайти похідну функції .
Розв’язання. =
.