I частина

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ТА ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

РОЗДІЛ 1

ФУНКЦІЯ

§1. Функція однієї незалежної змінної

Нехай дано дві непорожні множини Х та У. Якщо кожному елементу х з множини Х по визначеному закону чи правилу ставиться у відповідність один і тільки один елемент у з множини У, то говорять що на множині Х задана функція f(х). Множина Х називається областю визначення функції, а множина У, що складається з усіх чисел виду , -множиною значень функції.

Змінна х називається незалежною змінною або аргументом, значення у– залежною, або значенням функції.

Область визначення позначається D(f), а множина значень - Е(f). Значення функції f(х) при х=а позначають f(а).

§2. Способи задання функції

1. Табличний. Функція задається парами відповідних значень (x_i;y_i).

X	x1	x2	…	xі	…	xn
Y	y1	y2	…	yі	…	yn

2. Графічний спосіб задання в прямокутній декартовій системі координат xOy (дивись рис. 1).

Графіком функції називається безліч точок площиниxOy з координатами (х;y), де y=f(х). Перша координата точки х називається абсцисою точки, координата y – ординатою.

Графіком функції може бути:

- безліч окремих точок;

- лінії (пряма, крива, ламана);

- відрізки.

3. Аналітичний спосіб задання функції (за допомогою формули). У загальному вигляді: . У конкретному випадку використовується відповідна формула. Наприклад:

- степенева функція ,;

- лінійна функція , деі- довільні числа;

- показникова функція , де;

- логарифмічна функція , де;

- тригонометричні функції: .

Деякі, однак, не всі, функції мають обернену функцію. Нехай дана функція . Якщо можна установити відповідність між множинамиУ та Х, таку, що кожному елементу у з множини У по визначеному закону чи правилу ставиться у відповідність один і тільки один елемент х з множини Х, то говорять що на множині У задана функція , обернена функції f.

Щоб для функції знайти обернену функцію, треба у формулі помінятинаі розв’язати рівняння відносно.

Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої(дивись рис. 2).

§3. Властивості функцій

Функція , називаєтьсяпарною, якщо для будь-якого значення аргументу х з області визначення функції виконується рівність:

. (1)

Графік парної функції симетричний щодо осі ординат.

Функція , називаєтьсянепарною, якщо для будь-якого значення х з області визначення функції виконується рівність:

. (2)

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Функція називаєтьсяперіодичною, якщо існує таке додатне число Т, назване періодом функції, при якому для будь-якого значення аргументу х, з області визначення функції, виконується рівність:

. (3)

Основним періодом функції називається найменше додатне число , що відповідає зазначеній властивості.

Функція називаєтьсямонотонно зростаючою на всій області визначення (чи на інтервалах), якщо для будь-якого значення х з області визначення функції (чи з інтервалу) виконується нерівність:

. (4)

Тобто, функція монотонно зростає, якщо зі збільшенням значення аргументу, відповідне значення функції теж збільшується.

Функція називаєтьсямонотонно спадною на всій області визначення (чи на інтервалах), якщо для будь-якого значення аргументу х з області визначення функції (чи з інтервалу) виконується нерівність:

. (5)

Тобто, функція монотонно спадає, якщо зі збільшенням значення аргументу, відповідне значення функції зменшується.

Зростаючі й спадні функції називаються монотонними функціями (на всій області визначення, або на інтервалах) (дивись рис. 3).

Функція має максимум у точці , якщо значення функції в цій точці більше, ніж її значення в будь-якій іншій точціз деякого околу точки.

Функція має мінімум у точці , якщо значення функції в цій точці менше, ніж її значення в будь-якій іншій точціз деякого околу точки. Максимум чи мінімум функції називається їїекстремумом.

Крива називається угнутою на інтервалі , якщо вона лежить вище дотичної, проведеної до цієї кривої в будь-якій точці, абсциса якої задовольняє умовам(дивись рис.4(а)). Крива називається опуклою на інтервалі , якщо вона лежить нижче дотичної, проведеної до цієї кривої в будь-якій точці, абсциса якої задовольняє умовам(дивись рис.4(б)). Точка неперервної кривої, що відокремлює ділянку опуклості від ділянки угнутості і навпаки, називається точкою перегину.