2.5. Задание № 5. Определение погрешностей функции .

Аппроксимировать функцию преобразования СИ на интервале: линейной функцией вида:, так, чтобы наибольшая погрешность линеаризации была минимальна:. Определить предельные относительную и приведенную погрешности линеаризации.

Аппроксимируем функцию преобразования СИ на интервале [0 ;x_н] = [0 ; 1] линейной функцией y_л = E·x + F:

Запишем выражение для абсолютной погрешности:

Приравняв производную абсолютной погрешности по x к нулю, найдём точки, в которых абсолютная погрешность имеет экстремумы:

По условию задачи подходит точка x₂ (во втором случае x₁ < 0, т.к. a >0, c >0 E > 0, )

Найдём погрешности в начальной x₀, экстремальной x₁ и конечной x_н точках:

Оптимизируем решение:

составим систему уравнений с учётом знаков абсолютной погрешности в точках x₀, x₁ и x_н :

Из первого уравнения системы находим E:

; E=0.08

Из второго уравнения системы находим F:

Таким образом,

y_л = 0,08x+1,19165

Абсолютная погрешность линеаризации примет вид:

Предельное значение абсолютной погрешности равно:

Относительная погрешность линеаризации имеет вид:

Предельное значение относительной погрешности равно:

Найдём приведённую погрешность линеаризации:

2.6. Задание № 6. Определение погрешностей функции .

Аппроксимировать функцию преобразования СИ на интервале: линейной функцией вида:, так, чтобы дисперсия погрешности аппроксимации была минимальна. Определить предельную приведенную погрешность линеаризации.

Аппроксимируем функцию преобразования СИ на интервале [0 ;x_н] = [0 ; 1] линейной функцией y_л = E·x + 1,2:

Запишем выражение для абсолютной погрешности:

Найдём дисперсию погрешности аппроксимации по формуле:

Найдём каждый интеграл в отдельности:

Таким образом:

Приравняв производную дисперсии по Е к нулю, найдём значение Е, при котором дисперсия минимальна:

Таким образом,

y_л = 0,0645x + 1,2

При Е = 0,0645 дисперсия принимает значение:

Найдём предельную приведённую погрешность линеаризации:

2.7. Задание № 7. Определение погрешностей функции .

Аппроксимировать функцию преобразования СИ на интервале: линейной функцией вида:, чтобы дисперсия погрешности аппроксимации была минимальна. Определить предельную приведенную погрешность линеаризации.

Аппроксимируем функцию преобразования СИ на интервале [0 ;x_н] = [0 ; 1] линейной функцией y_л = E·x + F:

Запишем выражение для абсолютной погрешности:

Найдём дисперсию погрешности аппроксимации по формуле:

Найдём каждый интеграл в отдельности:

Получаем:

Приравняв частные производные дисперсии по E и по F к нулю, найдём значения E и F, при которых дисперсия минимальна:

→

Из первого уравнения системы:

F = 1,243-0,666E

Подставляем во второе:

F = (2,45826-0,0834)/2=1,1876

Таким образом,

y_л = 0.0834x + 1,1876

При E = 0,0834 и F = 1,1876 дисперсия принимает следующее значение:

Найдём предельную приведённую погрешность линеаризации:

	Лист