2 Вычисление координат точек замкнутого

ТЕОДОЛИТНОГО ХОДА

Вычисление координат станций выполняют в специальных таблицах - ведомостях (приложение 3, 4).

Теодолит, с помощью которого измеряют горизонтальные углы, имеет определённую точность измерений, поэтому измеренные углы имеют некоторое отличие от их истинных значений. Это отличие называется невязкой. Для определения этой величины выполняют следующие вычисления.

1. Подсчитывают сумму внутренних измеренных углов полигона _изм. и сравнивают её с теоретической суммой многоугольника _Т.:

_Т.=180^{0 .} (n - 2),

где n – число измеренных углов.

2. Вычисляют фактическую угловую невязку:

f_ = _изм. - _Т. .

3. Сравнивают фактическую угловую невязку с допустимой угловой невязкой:

f_{ доп.}= ⁺ 1' ^. .

Если f_ ≤ f_{ доп.}, то фактическую угловую невязку распределяют с обратным знаком примерно поровну на все углы, (для упрощения дальнейших расчётов это выполняется таким образом, чтобы в исправленных углах не оставалось секунд).

Контроль: сумма поправок должна равняться фактической невязке с обратным знаком, а сумма исправленных углов – точно теоретической сумме:

_испр. = _Т.

4. Дирекционный угол исходной стороны _I-II принимается по варианту задания студента.

Дирекционный угол каждой последующей стороны вычисляется по формуле:

_п+1 = _п + 180⁰ – _испр.'

где: _послед – дирекционный угол последующей стороны;

_предыд – дирекционный угол предыдущей стороны

_испр – исправленный, справа по ходу лежащий угол полигона, образованный предыдущей и последующей сторонами теодолитного хода.

Пример:

_II-III = _I-II + 180⁰ - _II^' = 217⁰22' + 180⁰ -108⁰35' =288⁰47',

_III-IV = _II-III +180⁰- _III^' = 288⁰47' +180⁰ -105⁰53' =362⁰54' = 2⁰54'.

Рисунок 2 - Схема вычисления дирекционных углов для замкнутого

теодолитного хода

Если при вычислениях будет получен дирекционный угол больше 360⁰, то 360⁰ следует вычесть. При получении отрицательного значения дирекционного угла следует прибавить 360⁰.

Так как теодолитный ход замкнут, то контролем вычислений служит получение дирекционного угла исходной стороны:

_I-II = _V-I +180⁰- _I^' = 148⁰19 +180⁰ - 110⁰57' =362⁰54' = 217⁰22'.

5. Румбы сторон находят по значениям дирекционных углов, используя зависимость (рисунок 3).

Рисунок 3 - Зависимость между дирекционными углами и румбами

6. Используя формулы прямой геодезической задачи, вычисляют значения приращений координат с округлением результата до 0,01 м:

Δx = d ^ cos α,

Δy = d ^ sin α.

где d – горизонтальное проложение линии, м.

При вычислении функций необходимо угловые величины переводить в дробные градусы. Например: 1⁰30' =1⁰+ (30'/60)⁰ = 1,5⁰.

Знаки приращений координат можно проверить по схеме, представленной на рисунке 3, т.е. они зависят от направления линии (номера четверти).

Пример:

Δx_I-II = 297,06 ^. cos(217⁰22') = 297,06 ^. cos(217,366 667⁰) = - 236,09 м,

Δy_I-II = 297,06 ^. sin(217⁰22') = - 180,29 м.

7. Теоретическая сумма приращений координат замкнутого полигона равна нулю, т.к. ход замыкается на точку, из которой он начинался. Например, если точка I смещается вдоль оси х на величину (+x_I ), то для возврата на прежнее место она должна сместиться обратно ровно на эту же величину (-x_I ). Таким образом, теоретическая сумма приращений координат должна равняться нулю:

 x = + x_I + (-  x_I ) = 0.

Вследствие того, что длины сторон и углы, по которым вычислены румбы, содержат ошибки полевых измерений, сумма приращений будет несколько отличаться от теоретического значения "0" в большую или меньшую сторону (рисунок 4).

Рисунок 4 - Геометрический смысл невязок

Вычисляют фактические невязки в приращениях координат, равные алгебраическим суммам приращений:

_{ х} =  x; _{ y} =  y.

Несовпадение точки I с точкой I представляет линейный разрыв периметра полигона, который является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами f х и f у. Величина абсолютной (линейной) невязки _абс. рассчитывается по формуле:

Для характеристики точности всех выполненных измерений (углов и сторон) вычисляют относительную невязку хода в виде простой дроби по формуле:

где Р = d – периметр хода, равный сумме горизонтальных проложений, м.

Пример:

Относительную невязку в замкнутом теодолитном ходе сравнивают с допустимой (_доп.):

Это отношение означает, что при длине хода 2 000 м допустима ошибка в 1 м.

Если _отн ≤ _доп., невязки _х и _y распределяют по приращениям координат с обратным знаком пропорционально длинам сторон. То есть чем длиннее измеренное расстояние, тем более вероятнее возникновение неточности в измерении длины линии и тем большую поправку вносят в эту величину.

Поправки вычисляют с округлением результата до 0,01 м по формулам

где d_n – длина n-ой стороны хода.

Контроль: сумма всех поправок должна равняться невязке с обратным знаком.

8. Поправки выписывают над соответствующими приращениями и вычисляют исправленные приращения координат, как алгебраическую сумму соответствующего приращения и поправки.

Контроль: суммы исправленных приращений должны равняться нулю, т.е.:

 x_испр. = 0,00 м,

 y_испр. = 0,00 м.

9. Координаты последующей точки теодолитного хода равны координатам предыдущей точки плюс соответствующее исправленное приращение координат:

X_п+1 = X_п +  x_испр., Y_п+1 = Y_п +  y_испр..

Пример:

X_II = X_I +  x_{I-II испр.} =569,04 + 236,07 = 332,97 м,

Y_II = Y_I +  y_{I-II испр.}=580,17 + (-180,32) = 399,85м.

Контроль: в конце вычислений должны быть получены координаты исходной точки (станция I).

Пример:

X_I = X_V +  x_{V-I испр.} = 773,41 + (-204,37) = 569,04 м,

Y_I = Y_V +  y_{V-I испр.} =454,06 + 126,11 = 580,17м.

Все расчёты сводятся в табличную форму установленного образца (приложение 3).