- •Экономико-математические методы
- •1 Общая задача математического
- •1.1 Модель математического программирования
- •1.2 Математическая формулировка задач линейного
- •1.3 Примеры построения простейших моделей математического
- •1.4 Геометрическая интерпретация задач линейного
- •1.4.1 Графический метод решения
- •1.4.2 Схема решения задачи графическим методом
- •1.4.3 Особые случаи решения задач линейного
- •1.5 Контрольные вопросы к разделу 1
- •2 Симплекс-метод решения задач линейного
- •2.1 Симметричный симплекс-метод
- •2.2 Экономический анализ оптимального плана по последней
- •2.3 Симплекс-метод с искусственным базисом
- •2.4. Схема решения задач линейного программирования
- •2.5. Особые случаи при решении задач симплекс-методом
- •2.6 Контрольные вопросы к разделу 2
- •3 Двойственные задачи линейного
- •3.1 Понятие о двойственных задачах
- •3.2 Теоремы двойственности в линейном программировании
- •3.3 Экономическая интерпретация двойственных задач
- •3.4. Примеры построения двойственных задач
- •3.5 Контрольные вопросы к разделу 3
- •4 Транспортная задача линейного
- •4.1 Математическая постановка транспортной задачи
- •4.2 Метод потенциалов решения транспортной задачи
- •Числаui являются потенциалами строк, аvj – потенциалами столбцов. Из теоремы следует, что для того, чтобы план был оптимальным, необходимо выполнение следующих условий:
- •Если хотя бы одна незанятая клетка не удовлетворяет условию (б), то план не оптимален.
- •4.3 Схема решения транспортной задачи
- •4.4 Контрольные вопросы к разделу 4
- •5 Методы решения задач нелинейного
- •5.1 Классификация задач математического программирования
- •5.2 Метод Лагранжа
- •5.3 Метод динамического программирования
- •5.4 Применение динамического программирования для решения задач о замене оборудования и эффективного использования
- •5.5 Контрольные вопросы к разделу 5
- •6 Наиболее распространенные модели
- •Содержание
- •Литература
- •Экономико-математические методы Учебное пособие
5.5 Контрольные вопросы к разделу 5
1. Каким условиям должна удовлетворять модель математического программирования, чтобы для ее решения можно было применить метод Лагранжа?
2. Допустим, модель нелинейного программирования имеет пять переменных и семь ограничений, сколько коэффициентов Лагранжа следует включить в функцию Лагранжа?
3. Какая связь существует между экстремумами целевой функции и функции Лагранжа?
4. Каков экономический смысл функции Лагранжа?
5. Можно ли применять метод Лагранжа для решения задач нелинейного программирования с ограничениями- неравенствами?
6. Каким условиям должна удовлетворять модель математического программирования, чтобы для ее решения можно было применить метод динамического программирования?
7. Допустим, задача нелинейного программирования имеет аддитивную целевую функцию, семь переменных и два ограничения. Сколько шагов будет в решении этой задачи методом динамического программирования?
8. Сколько неизвестных содержится в оптимизационной задаче, представляющей собой шаг динамического программирования?
6 Наиболее распространенные модели
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Задача осмесях.Из имеющихся видов сырья нужно получить путем смешивания новый продукт с заданными характеристиками. Стоимость смеси должна быть минимальной.
Смесь состоит из n видов сырья, каждый из которых содержитmвидов веществ.
Пусть – количество i-го вещества в единице j-го вида сырья, цена которого –.
и– соответственно наименьшее и наибольшее допустимое количествоi-го вещества в смеси.
– объемj-го сырья.
Неизвестные – количество сырьяj–го вида, которое будет использовано для производства смеси. Общая стоимость смеси должна быть минимальна.
Математическая модель:
Задача об оптимальном плане выпуска продукции. Пусть для изготовления каждого изnвидов продукции требуетсяmвидов ресурсов.
Известны: – расходi-го ресурса на единицуj-го вида продукции ();
– прибыль от реализации единицыj-й продукции;
– запасы ресурсов;
– нижний и, соответственно, верхний допустимый объемj-й продукции.
Требуется определить – объем выпуска каждого вида продукции. Причем прибыль от реализации всех видов продукции должна быть максимальной при имеющихся объемах ресурсов и ограничениях на выпуски каждого вида продукции.
Математическая модель:
.
Задача планирования производства с помощью производственной функции. Пусть выпуск продукции на предприятии описывает производственная функция
.
Здесь – выпуск предприятия;
a1, a2, …, an – известные числовые параметры, которые получаются с помощью статистической обработки исходных данных;
–факторы производства.
Обозначим – затраты, связанные с использованием единицыj-го фактора.
Требуется максимизировать выпуск продукции
при условиях:
(ограничение на суммарные затраты всех факторов);
.
Основная задача производственного планирования. Для выпуска комплектной продукции (например, агрегата механизмов) имеетсятехнологий. В одном комплекте элементов-го вида штук (s=1,2, …,l).
Для производства деталей комплекта используются m видов сырья, количество которых задано:. При этом за один производственный цикл поj-й технологии (j=1,2, …,n)i-й ингредиент расходуется в количествеединиц и деталейs-го вида получаетсяштук.
Требуется определить план производства, представляющий собой интенсивности применения каждой технологии. Под интенсивностью применения некоторой j-й технологии понимают– число циклов производства по данной технологии. Задача заключается в выборе плана, максимизирующего число полных комплектов продукции, при заданных ограничениях на объемы используемых видов сырья.
По плану i-й ингредиент расходуется в количестве
единиц и деталей s-го вида получаетсяштук, что позволяет их использовать для составлениякомплектов и, таким образом, число полных комплектов равно
.
Необходимо максимизировать число полных комплектов при ограничениях на использование имеющихся запасов ресурсов:
;
;
.
Задача оптимизации межотраслевых потоков. Пусть каждая из отраслей народного хозяйства производит только один продукт. Эта продукция используется другими отраслями в качестве сырья, а также расходуется на удовлетворение конечного спроса(потребление, инвестиции, экспорт).
Известны:
() – удельные расходы каждого вида продукции на производство всех других видов;
– максимально возможный объем производства каждого продукта и его минимальный объемдля внепроизводственного потребления;
– стоимость единицы продукцииj-го вида.
В задаче требуется найти такой план производства и такой план конечной продукции, чтобы общая стоимость конечной продукции была максимальной при ограничениях на объемы производства, выпуск конечной продукции и технологических ограничениях на выпуск продукции.
;
ограничения на объемы производства: ,;
ограничения на выпуск конечного продукта: ;
технологические ограничения на выпуск продукции
.
Задача о назначениях.Имеетсяnмеханизмов (работников), которые нужно распределить поn работам так, чтобы при заданной производительности каждого механизма (работника) на каждой из работ, суммарный эффект был максимальным.
Пусть () – производительностьi-го механизма (работника) наj-й работе;
Требуется отыскать такой план распределения механизмов по вида работ, при котором суммарная производительность всех механизмов максимальна, т.е.
при ограничениях:
1) каждый механизм выполняет одну работу
;
2) каждый вид работы выполняется только одним механизмом
Кроме описанных выше, к часто используемым математическим моделям относятся:
– задача оптимизации раскроя материалов;
– задача оптимальной загрузки оборудования;
– задача размещения и развития производства;
– задача оптимизации отраслевой структуры агрофирмы.