5.2 Метод Лагранжа

Суть метода Лагранжа заключается в сведении задачи на условный экстремум к решению задачи безусловного экстремума. Рассмотрим модель нелинейного программирования:

(5.1)

(5.2)

где – известные функции,

а – заданные коэффициенты.

Отметим, что в данной постановке задачи ограничения заданы равенствами, отсутствует условие неотрицательности переменных. Кроме того, полагаем, что функции непрерывны со своими первыми частными производными.

Преобразуем условия (5.2) таким образом, чтобы в левых или правых частях равенств стоял ноль:

(5.3)

Составим функцию Лагранжа. В нее входит целевая функция (5.1) и правые части ограничений (5.3), взятые соответственно с коэффициентами . Коэффициентов Лагранжа будет столько, сколько ограничений в задаче.

(5.4)

Точки экстремума функции (5.4) являются точками экстремума исходной задачи и наоборот: оптимальный план задачи (5.1)-(5.2) является точкой глобального экстремума функции Лагранжа.

. (5.5)

Действительно, пусть найдено решение задачи (5.1)-(5.2), тогда выполняются условия (5.3). Подставим планв функцию (5.4) и убедимся в справедливости равенства (5.5).

Таким образом, чтобы найти оптимальный план исходной задачи, необходимо исследовать на экстремум функцию Лагранжа. Функция имеет экстремальные значения в точках, где ее частные производные равны нулю. Такие точки называютсястационарными.

Определим частные производные функции (5.4)

,

.

После приравнивания нулю производных получим системуm+n уравнений сm+n неизвестными

,(5.6)

. (5.7)

В общем случае система (5.6)-(5.7) будем иметь несколько решений, куда войдут все максимумы и минимумы функции Лагранжа. Для того чтобы выделить глобальный максимум или минимум, во всех найденных точках вычисляют значения целевой функции. Наибольшее из этих значений будет глобальным максимумом, а наименьшее – глобальным минимумом. В некоторых случаях оказывается возможным использование достаточных условий строгого экстремуманепрерывных функций (см. ниже задачу 5.2):

пусть функция непрерывна и дважды дифференцируема в некоторой окрестности своей стационарной точки( т.е.) ). Тогда:

а) если ,(5.8)

то – точка строгого максимума функции;

б) если ,(5.9)

то – точка строгого минимума функции;

г) если ,

то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Кроме того, некоторые решения системы (5.6)-(5.7) могут быть отрицательными. Что не согласуется с экономическим смыслом переменных. В этом случае следует проанализировать возможность замены отрицательных значений нулевыми.

Экономический смысл множителей Лагранжа. Оптимальное значение множителяпоказывает на сколько изменится значение критерияZ при увеличении или уменьшении ресурсаjна одну единицу, так как

Метод Лагранжа можно применять и в том случае, когда ограничения представляют собой неравенства. Так, нахождение экстремума функции при условиях

,

выполняют в несколько этапов:

1. Определяют стационарные точки целевой функции, для чего решают систему уравнений

.

2. Из стационарных точек отбирают те, координаты которых удовлетворяют условиям

3. Методом Лагранжа решают задачу с ограничениями-равенствами (5.1)-(5.2).

4. Исследуют на глобальный максимум точки, найденные на втором и третьем этапах: сравнивают значения целевой функции в этих точках – наибольшее значение соответствует оптимальному плану.

Задача 5.1Решим методом Лагранжа задачу 1.3, рассмотренную в первом разделе. Оптимальное распределение водных ресурсов описывается математической моделью

.

.

Составим функцию Лагранжа

Найдем безусловный максимум этой функции. Для этого вычислим частные производные и приравняем их к нулю

,

Таким образом, получили систему линейных уравнений вида

Решение системы уравнений представляет собой оптимальный план распределения водных ресурсов по орошаемым участкам

, .

Величины измеряются в сотнях тысяч кубических метров. - величина чистого дохода на одну сотню тысяч кубических метров поливной воды. Следовательно, предельная цена 1 м³ оросительной воды равна ден. ед.

Максимальный дополнительный чистый доход от орошения составит

=

-160·12,26²+7600·12,26-130·8,55²+5900·8,55-10·16,19²+4000·16,19=

= 172391,02 (ден. ед.)

Задача 5.2 Решить задачу нелинейного программирования

Ограничение представим в виде:

.

Составим функцию Лагранжа и определим ее частные производные

.

.

Чтобы определить стационарные точки функции Лагранжа, следует приравнять нулю ее частные производные. В результате получим систему уравнений

.

Из первого уравнения следует

. (5.10)

Выражение подставим во второе уравнение

,

откуда следует два решения для :

и . (5.11)

Подставив эти решения в третье уравнение, получим

, .

Значения множителя Лагранжа и неизвестной вычислим по выражениям (5.10)-(5.11):

, ,,.

Таким образом, получили две точки экстремума:

; .

Для того чтобы узнать являются ли данные точки точками максимума или минимум, воспользуемся достаточными условиями строгого экстремума (5.8)-(5.9). Предварительно выражение для , полученное из ограничения математической модели, подставим в целевую функцию

,

. (5.12)

Для проверки условий строгого экстремума следует определить знак второй производной функции (5.11) в найденных нами экстремальных точках и.

, ;

.

Таким образом, (·)является точкой минимума исходной задачи (), а (·)– точкой максимума.

Оптимальный план:

, ,,

.