Физическая мезомеханика 2012

1. Введение

Физико-механические характеристики поликристаллических материалов определяются внутренней структурой различных масштабных уровней, которая существенно эволюционирует (меняется зеренная и дислокационная структура, происходят ротации решеток кристаллитов [1, 2]) при интенсивном пластическом деформировании, широко используемом для получения мате-

риалов с уникальными свойствами (субмикрокристаллических, нанокристаллических, текстурированных, способных к сверхпластическим деформациям).

В настоящее время для разработки технологии обработки интенсивным пластическим деформированием, как правило, применяются весьма дорогостоящие и требующие больших временных затрат эмпирические методы. Основной причиной сложившейся ситуации

является непригодность обычно используемых технологами теоретических методов, основанных на макрофеноменологической теории пластичности, для описания эволюции микроструктуры (фрагментации, дробления зерен, формирования дислокационных субструктур). Поэтому в нелинейной механике деформируемого твердого тела одной из наиболее актуальных проблем является построение моделей, описывающих эволюцию мезо- и микроструктуры поликристаллических материалов [3–5], что должно позволить оптимизировать существующие и разрабатывать новые методы получения

èобработки материалов и изделий с повышенными эксплуатационными характеристиками. В ближайшем будущем одним из основных направлений развития механики и материаловедения, как представляется, будет разработка так называемых функциональных материалов: создание материалов с оптимальными для конкретных конструкций и условий их эксплуатации рабо- чими характеристиками. Для постановки и решения подобных проблем наиболее распространенный макрофеноменологический подход к формулировке определяющих соотношений не пригоден, поскольку самих материалов (а следовательно, и образцов, на которых можно было бы проводить макроэксперименты) еще не существует. Исходя из анализа работ, посвященных построению моделей материалов, данную проблему можно решить только с использованием многоуровневых математических моделей, основанных на физических теориях, учитывающих эволюционирующую мезо-

èмикроструктуру и зависящие от нее физико-механи- ческие свойства.

Пионерские попытки построения математических моделей, описывающих эволюцию мезо- и микроструктуры в широком диапазоне воздействий на материал, предпринимаются уже с 30–50-х гг. XX века (Дж. Тейлор [6], Дж. Бишоп, Р. Хилл [7, 8], Т.Г. Линь [9] и др.). Существенный вклад в развитие данного направления внесли отечественные ученые: В.А. Лихачев [10], В.В. Рыбин [1], уральская школа механиков, основанная С.Д. Волковым и др. Основы новой дисциплины, находящейся на стыке механики деформируемого твердого тела и физики твердого тела и посвященной в том числе изучению эволюции структуры материала, — физической мезомеханики — заложили ученые томской научной школы В.Е. Панина [3, 11], многоуровневые модели для описания пластического деформирования и разрушения различных материалов (металлов, горных пород) предложены П.В. Макаровым [12–14].

Âнастоящее время при построении моделей, способных описывать эволюцию внутренней структуры поликристаллических материалов, все большее признание находит подход, основанный на явном введении в

структуру определяющих соотношений параметров, отражающих состояние и эволюцию мезо- и микроструктуры, формулировка эволюционных (кинетичес-

ких) уравнений для этих параметров, называемых внутренними переменными [4, 15]. В рамках данного подхода принимается гипотеза о том, что реакция материала в каждый момент времени полностью определяется значениями тензорзначных термомеханических характеристик материала, конечного набора внутренних переменных, параметров физико-механических воздействий и их производных по времени требуемого порядка в исследуемый момент времени. Стоит отметить, что в этом случае история воздействий не отбрасывается, ее «носителями» будут являться введенные внутренние переменные.

Часть внутренних переменных (Jβe , β=1, ..., Be ) непосредственно входит в структуру определяющих соотношений данного масштабного уровня (их логично называть внутренними «явными» переменными). Вторая группа внутренних переменных (Jiβ, β = 1, ..., Bi ), в большинстве случаев относящихся к более глубоким масштабным уровням, используется для замыкания системы уравнений (внутренние скрытые, «неявные» переменные). Полная совокупность внутренних перемен-

ных, таким образом, определяется как {Jâ} ={Jeã , Jiä},

β = 1, ..., B, γ =1, ..., Be, δ =1, ..., Bi, B = Be + Bi.

Структура конститутивной модели с внутренними переменными включает в себя совокупность следующих групп соотношений [4, 15, 16]:

уравнения состояния (определяющие соотношения):

A — параметры воздействия термомеханической (например температура, мера деформированного состояния и т.д.) и нетермомеханической (например радиация, химические воздействия) природы, верхний индекс r обозначает ту или иную не зависящую от выбора системы отсчета производную.

В контексте проблемы описания эволюции внутренней структуры можно отметить как несомненное преимущество данного подхода (по сравнению с формулировкой макрофеноменологических определяющих соотношений в операторной форме) возможность построения в рамках структуры (1)–(3) многоуровневых моделей с явным учетом структуры за счет введения соответствующих внутренних переменных. В частности, в последние 20 лет весьма интенсивно развиваются физические теории пластичности поликристаллических металлов [17–19 и др.], явно рассматривающие физи- ческие механизмы деформирования на более низких, чем уровень представительного макрообъема, мас-

штабных уровнях. Краткий обзор работ по физическим теориям пластичности приведен в статьях [20–22], по многоуровневым моделям — в [23, 24].

Можно отметить ряд недостатков, присущих всем существующим моделям рассматриваемого класса. Например, в подавляющем большинстве работ для описания ротации кристаллической решетки используется модель «жесткого стеснения» Тейлора, практически отсутствуют модели, в которых были бы заложены «движущие силы» разворотов и фрагментации за счет взаимодействия дислокационных субструктур. Принятое в моделях описание упрочнения по внутризеренным системам скольжения зачастую абстрагировано от реальных механизмов взаимодействия дислокационных субструктур и/или не охватывает все важнейшие механизмы упрочнения. Кроме того, в существующих моделях не обосновываются связи для однотипных характеристик различных масштабных уровней.

Также важно отметить, что при моделировании реальных процессов глубокого неупругого деформирования с использованием многоуровневых моделей, как и любых других, актуальным остается вопрос корректного описания на макроуровне геометрической нелинейности при неупругом деформировании — один из острейших в механике твердого тела [25]: отсутствует четко обоснованный общепринятый способ учета геометрической нелинейности в определяющих соотношениях неупругости и предлагаемый различными исследователями спектр вариантов достаточно широк. С одной стороны, выбор любой не зависящей от системы отсчета производной в определяющих соотношениях, построенных в актуальной конфигурации (обусловленный принятым способом разложения движения на квазитвердое и деформационное), обеспечивает выполнение принципа независимости определяющего соотношения от выбора системы отсчета [26], с другой — использование разных производных приводит к кардинальному разли-

чию результатов. Возможный путь решения проблемы, как представляется, связан с необходимостью более детального рассмотрения внутренних механизмов каждого конкретного процесса, а на последнее как раз и ориентированы многоуровневые модели и физические теории пластичности.

Над отмеченными вопросами интенсивно работают многие исследователи. В настоящей статье кратко изложены результаты коллектива, в котором работают авторы, по данным направлениям.

2. Структура многоуровневых моделей

Структура и алгоритмы реализации многоуровневых моделей для решения реальных краевых задач и возможности повышения эффективности вычислительных процедур подробно изложены, например, в [27–29], здесь остановимся только на ключевых моментах.

При использовании многоуровневого подхода каждой материальной точке (представительному объему) на некотором масштабном уровне 1 ставится в соответствие неоднородная область на более низком масштабном уровне 2 (рис. 1). Аналогично — для последующих масштабных уровней. Поэтому при изложении подхода и алгоритмов можно оперировать только двумя уровнями (например макро- и мезоуровни), называя масштабный уровень 1 верхним, а масштабный уровень 2 — нижним.

На нижнем масштабном уровне путем явного рассмотрения физических механизмов неупругого деформирования, реализующихся в результате приложенных воздействий, устанавливаемых на верхнем масштабном уровне (на макроуровне — при решении краевой зада- чи), определяются параметры эволюционирующей структуры, текущие физико-механические свойства, поврежденность и неупругие деформации, которые учитываются при уточнении отклика на верхнем масштабном уровне. Таким образом, применение многоуровневых моде-

лей для решения краевой задачи подразумевает использование итерационной процедуры в каждый момент времени для определения согласованных параметров процесса на всех масштабных уровнях.

При моделировании число рассматриваемых уровней определяется исследователем исходя из анализируемого конкретного процесса, требуемой степени детализации, известных или предполагаемых механизмов деформирования. Например, при моделировании неупругого деформирования поликристаллических металлов иерархию масштабных уровней можно определить следующим образом: макроуровень (уровень представительного макрообъема) — мезоуровень (уровень кристаллита (зерна, субзерна, фрагмента)) — микроуровень (дислокационная структура) (рис. 2). В настоящее время при анализе деформирования поликристаллических металлов наиболее часто используются двухуровневые модели (макро–мезо). Для описания более «тонкого» поведения поликристаллических материалов различных классов может потребоваться увеличение числа уровней.

Так, при построении многоуровневой конститутивной модели представительного объема частично кристаллического полимерного материала (полиэтилена низкого давления) потребовалось три масштабных уровня. Иерархия масштабных уровней принята следующей [30]: макроуровень (уровень представительного макрообъема) — мезоуровень 1 (уровень сферолита [31]) — мезоуровень 2 (уровень стека ламелей, состоящего из тонких пластинок-кристаллитов с прослойками аморфной фазы материала) (рис. 3) [31].

Тип соотношений для связи параметров различных масштабных уровней (способ назначения с вышележащего уровня параметров воздействия для модели нижележащего уровня и способ определения явных внутренних переменных верхнего уровня с помощью модели нижнего уровня) — один из классификационных признаков многоуровневых моделей, как представляется, — ключевой. Модели можно разделить на три класса: статистические, самосогласованные и прямые.

В статистических моделях [23], рассматривающих представительный объем верхнего уровня как выборку соответствующих элементов нижнего уровня, при назначении с верхнего уровня параметров нагружения для модели нижнего уровня преимущественно используется или гипотеза Фойгта (для каждого элемента нижнего уровня тензор деформации скорости равен тензору деформации скорости верхнего уровня d = D, применение этой гипотезы часто обосновывается исследователями большей простотой реализации таких моделей и «стесненностью» зерен в поликристалле), или гипотеза Рейсса (для каждого элемента нижнего уровня напряжения совпадают с напряжениями верхнего уровня σ = Σ). В таких моделях неупругая составляющая деформации скорости Din и эффективные анизотропные упругие свойства C на верхнем уровне определяются тем или иным осреднением скоростей неупругих деформаций din и упругих свойств ñ нижнего уровня в любой момент процесса деформирования [4, 5, 16].

Более точными являются так называемые самосогласованные модели (или «модели среднего поля»), в которых, например, рассматривается поведение отдельного

включения — кристаллита (как правило, канонической формы, например эллипсоида), заключенного в матрицу с эффективными характеристиками поликристалла [32]. Модели данного класса имеют широкое применение, однако, большей частью в теоретических работах, при анализе поведения представительного макрообъема поликристаллического материала. Применение их для решения реальных задач сдерживается значительными затратами машинного времени.

Дальнейшим развитием самосогласованных моделей являются так называемые «прямые» модели [24], в которых каждое зерно представляется совокупностью одного или нескольких конечных элементов, для каждого из элементов используется та или иная физическая теория [33–35 и др.]. По существу, при данном подходе нет явного разделения на масштабные уровни — с помощью метода конечных элементов проводится моделирование расчетной области с большой дискретизацией. Понятно, что в этом случае вопроса о «согласовании» полей перемещений и напряжений не возникает, непрерывность полей обеспечивается автоматически. Существует другая разновидность «прямых» моделей, в которых точкам интегрирования конечных элементов макроуровня приписывается совокупность кристаллитов с заданным законом распределения ориентации; связь масштабных уровней в них реализуется в большинстве случаев на основе гипотезы Фойгта. Однако модели этого класса являются еще более ресурсоемкими, чем самосогласованные.

С точки зрения моделирования реальных технологи- ческих процессов в настоящее время наиболее востребованы статистические конститутивные модели. К этому классу относятся и рассматриваемые в данной статье двухуровневая модель неупругого деформирования поликристаллических металлов и трехуровневая модель неупругого деформирования полиэтилена низкого давления. Рассмотрим детально их структуру в контексте формализма вышеприведенного подхода с внутренними переменными [4, 5, 15, 16], обращая особое внимание на описание геометрической нелинейности на макроуровне и согласование определяющих уравнений на масштабных уровнях.

2.1. Двухуровневая модель поликристаллических металлов

На макроуровне рассматривается представительный объем поликристаллического металла, состоящий из совокупности кристаллитов — элементов мезоуровня (рис. 2).

Конститутивная модель материала на макроуровне принимается в виде:

ãäå Σ— тензор напряжений Коши; Ñ — тензор модулей упругости; D, De, Din — тензор деформации скорости, его упругая и неупругая составляющая; Ω — тензор, описывающий движение подвижной системы координат, относительно которой определяется собственно деформационное движение [25] на макроуровне. Стоит акцентировать внимание на том, что вопрос однознач- ного введения не зависящей от выбора системы отсчета производной, т.е. корректного разложения движения на квазитвердое и собственно деформационное — один из наиболее трудных в нелинейной механике деформируемого твердого тела [25] и, по мнению авторов, не решен до сих пор. В данной работе для определения Ω предлагается использовать условие согласования определяющих соотношений на различных масштабных уровнях.

Таким образом, неупругая составляющая деформации скорости Din, эффективные анизотропные упругие свойства C и описывающий движение подвижной системы координат тензор Ω являются явными внутренними переменными модели макроуровня, в каждый момент зависят от структуры на низших масштабных уровнях (а через нее — от истории нагружения) и определяются с помощью модели мезоуровня (N — число элементов мезоуровня, необходимых для статистического описания представительного объема макроуровня, далее индекс элемента мезоуровня опускается). Согласно вышеприведенной общей структуре конститутивной модели (4.1) является уравнением состояния, а (4.2)– (4.4) — замыкающими уравнениями, конкретизация которых является одной из основной целей работы (предлагаемый авторами подход описан в разделе 3). В качестве эволюционных уравнений выступают соотношения модели мезоуровня.

На мезоуровне (уровне кристаллита) в двухуровневых моделях неупругого деформирования поликристаллических металлов используется следующая система соотношений:

ãäå σ — тензор напряжений Коши; ñ — тензор четвертого ранга упругих свойств кристаллита; d, de, din —

тензор деформации скорости, его упругая и неупругая составляющие на мезоуровне; гk, τcrk — накопленный сдвиг и критическое напряжение сдвига по k-й системе скольжения; mk = 12(bknk +nkbk ) — ориентационный тензор k-й системы скольжения, bk, nk — единич- ные векторы в направлении вектора Бюргерса и нормали к плоскости скольжения; плоскости залегания и ориентация векторов Бюргерса, вдоль которых осуществляется трансляционное движение (скольжение) краевых дислокаций, известны, ими являются наиболее плотно упакованные плоскости и направления (так, в ГЦК-металлах скольжение краевых дислокаций осуществляется в плоскостях системы {111} по направлениям 110 [36]); г&0 , n — константы материала (характерная скорость сдвигов при равенстве касательных напряжений на системах скольжения критическим и константа скоростной чувствительности материала [37]); τk = bknk : σ — действующее в k-й системе скольжения касательное напряжение; H(.) — функция Хэвисайда; K — число систем скольжения для рассматриваемого типа решетки (отметим, что число систем скольжения в данном случае равно удвоенному числу кристаллографических систем (в каждой плоскости противоположным направлениям вектора Бюргерса соответствуют разные системы скольжения), т.е. для ГЦК-кристалла рассматривается 24 системы скольжения); ω — тензор спина решетки; î — тензор текущей ориентации кристаллографической системы координат кристаллита относительно фиксированной лабораторной системы координат.

В качестве определяющего соотношения (уравнения состояния) на мезоуровне выступает закон Гука в скоростной форме (5.1), при этом учитывается геометри- ческая нелинейность: квазитвердое движение [25] связывается с поворотом решетки (кристаллографической системы координат); в коротационной производной тензора напряжений Коши σr фигурирует тензор спина ω, характеризующий скорость вращения кристаллической решетки. Таким образом, напряжения характеризуют именно упругие связи в зерне, связанные с изменением расстояний между соседними атомами. Различные модели поворота решетки подробно рассмотрены в работе [38], оригинальная модель поворота решетки с учетом несовместности скольжения дислокаций приво-

дится ниже в разделе 5 (конкретизируются соотношения (5.5)). Эта модель предполагает расширение набора неявных внутренних переменных мезоуровня: вводятся моментное напряжение µ, действующее на кристаллит, критическое моментное напряжение мcr и набор нормалей к границам кристаллита qm, m = 1, ..., M (M — число соседних кристаллитов).

Уравнение (5.2) — кинематическое соотношение, согласно которому неупругое деформирование кристаллита осуществляется за счет сдвигов по системам скольжения.

Для определения скорости неупругого деформирования din в моделях поликристаллических металлов может быть использована [23, 24] либо упругопласти- ческая модель на базе модели Линя [5, 36], либо применяемая здесь упруговязкопластическая модель (5.3), в которых din (êàê è ω) связывается со скрытыми внутренними переменными мезоуровня, характеризующими дислокационное скольжение, — скоростями сдвигов г&k по системам скольжения, k = 1, ..., K (K — число систем скольжения для рассматриваемого типа решетки), критическими напряжениями τkcr , тензором î текущей ориентации кристаллографической системы координат зерна относительно фиксированной лабораторной системы координат. Конкретизация уравнения (5.4), описывающего эволюцию критических напряжений сдвига по системам скольжения, приводится в разделе 4.

Для передачи воздействия, производимого на макроуровне, на низшие масштабные уровни в модели применяется гипотеза Фойгта, согласно которой тензоры деформации скорости для каждого кристаллита совпадают

ñтензором деформации скорости макроуровня d = D.

Âконститутивной модели мезоуровня соотношение (5.1) — уравнение состояния, (5.3), (5.4) — эволюционные уравнения, в качестве замыкающих выступают уравнения (5.2), (5.5). Классификация внутренних переменных макро- и мезоуровня сведена в табл. 1.

2.2. Трехуровневая модель частично кристаллического полимерного материала

На макроуровне рассматривается представительный объем частично кристаллического полимерного материала, состоящий из совокупности N сферолитов —

элементов мезоуровня 1 (рис. 3). Полная система уравнений макроуровня при кинематическом нагружении (все компоненты тензора деформации скорости D(t) полагаются известными) для представительного объема материала выглядит следующим образом:

ãäå A — некоторый тензор, входящий в состав не зависящей от наложенного жесткого движения производной на макроуровне. Конкретный тип этой производной (в общем случае конвективной, в частных случаях — коротационной) и способ определения этого тензора выбираются исходя из необходимости обеспечения условий согласования определяющих соотношений соседних масштабных уровней (макроуровня и мезоуровня 1, см. раздел 3); неупругая составляющая тензора деформации скорости Din также определяется из условий согласования. Таким образом, Din, A è C в (6) играют роль явных внутренних переменных макроуровня (табл. 4). Компоненты тензора деформации скорости [D(t)]ijËÑÊ* счи- таются предписанными для представительного макрообъема (определяются в результате решения краевой задачи для макротела); ЛСК — лабораторная система координат. В системе (6) роль определяющего соотношения играет закон Гука (6.1)–(6.3) в скоростной релаксационной форме, соотношения (6.4)–(6.6) — замыкающие уравнения, роль эволюционных уравнений играют соотношения модели мезоуровня 1.

Для представительного объема мезоуровня 1 (уровень сферолита), состоящего из совокупности n элементов мезоуровня 2 (стеков ламелей), полная система уравнений представляется совокупностью определяющего соотношения закона Гука в скоростной релаксационной форме с входящей в его состав конвективной (в общем случае) производной, позволяющей описывать геометрическую нелинейность:

ãäå σ1 — тензор напряжений Коши на мезоуровне 1; c1 — тензор четвертого ранга упругих свойств сферолита; d1, d1e , d1in — тензор деформации скорости на мезоуровне 1, его упругая и неупругая составляющие; a — тензор, входящий в структуру конвективной производной на мезоуровне 1. Значения явных внутренних переменных мезоуровня 1 d1in, a è c1 определяются из замыкающих уравнений (7.3)–(7.5), где вид функций правых частей необходимо определять из условий согласования определяющих соотношений мезоуровня 1 и мезоуровня 2 конститутивной модели (раздел 3). Роль эволюционных уравнений на мезоуровне 1 в рамках конститутивной модели играют определяющие соотношения мезоуровня 2.

На мезоуровне 2 (уровень кристаллита — стека из нескольких параллельных ламелей с прослойками аморфной фазы материала) в трехуровневой модели неупругого деформирования частично кристаллического полимерного материала полная система уравнений выглядит следующим образом:

ãäå σ2 — тензор напряжений Коши элемента мезоуровня 2; c2 — тензор четвертого ранга упругих свойств кристаллита; d2 , de2 , din2 — тензор деформации скорости на мезоуровне 2, его упругая и неупругая составляющие; ω — тензор спина решетки кристаллита (элемента мезоуровня 2); mk =12(bknk +nkbk ) — ориентационный тензор k-й системы скольжения в элементе мезоуровня 2; nk, bk — единичные векторы нормали к плоскости скольжения и направления скольжения краевых дислокаций; τk = mk :σ2 — касательное напряжение на ней; г&k — скорость сдвига по k-й системе скольжения; τcrk — критическое напряжение сдвига по k-й системе скольжения, для которого записываются эволюционные уравнения, характеризующие упрочнение (8.4) (раздел 4); г&0 — материальный параметр, характеризующий скорость сдвига по k-й системе скольжения при касательном напряжении, равном крити- ческому напряжению сдвига; nc — показатель степени в нелинейном вязкоупругом физическом законе, характеризующем скоростную чувствительность кристаллитов; γiΣ — суммарный накопленный сдвиг по i-й систе-

ме скольжения; o2 — ориентационный тензор элемента мезоуровня 2.

Для определения din2 на мезоуровне 2 в модели частично кристаллического полимерного материала используется вязкоупругая модель — зависимость скоростей сдвигов от напряжений принимается в виде нелинейного степенного закона [39], в котором скорости неупругих деформаций din2 и спины ω элементов мезоуровня 2 связываются со скрытыми внутренними переменными мезоуровня 2, характеризующими дислокационное скольжение в кристаллитах и деформирование аморфной прослойки, — скоростями сдвигов г&k по системам скольжения, критическими напряжениями сдвига фkcr , текущими ориентациями o2 элементов мезоуровня 2 в рамках представительного объема более высокого масштабного уровня.

Âтабл. 2 приведены системы скольжения, вводимые

âэлементе мезоуровня 2 трехуровневой конститутивной модели для полиэтилена низкого давления [39]. Значе-

ния компонент вектора нормали к плоскости скольжения nk и вектора, характеризующего направление скольжения bk, приведены в кристаллографической системе

координат, α = arcsin(a a2 +b2 ) — угол между направлениями [010] и [110] в кристаллите; a, b è c — размеры ячейки периодичности кристаллита полиэтилена низкого давления (орторомбическая решетка), являющиеся параметрами материала: a = 0.74 íì, b = = 0.493 íì, c = 0.254 íì [39].

Необходимо отметить, что отличительной особенностью рассматриваемого класса частично кристалли- ческих полимерных материалов является наличие аморфной фазы (в предлагаемой модели — аморфных прослоек между кристаллитами в элементах мезоуровня 2). В модели для реализации произвольного сдвига по межламеллярной прослойке вводятся две дополнительные системы скольжения с вектором нормали, совпадающим с нормалью к поверхности ламели n и двумя взаимно ортогональными векторами, характеризующими направление сдвига в межламеллярной плоскости:

n = (–sinβ; 0; cosβ), bL2 b1L ,

β = (n, c) — материальный параметр, угол между направлением нормали к поверхности ламели n и направлением молекулярных цепей в кристаллите c. В силу того что межламеллярная прослойка является аморфной, в ней может быть реализован сдвиг в произвольном направлении, который при моделировании раскладывается по двум взаимно ортогональным векторам b1L è bL2 , что приводит к появлению в элементе мезоуровня 2 двух дополнительных (межламеллярных) систем скольжения (табл. 3, системы 1, 2). Необходимо отметить, что для реализации возможности описания процессов реверсивного нагружения число введенных в

модель межламеллярных систем удваивается (вводятся две дополнительные системы скольжения с векторами сдвига, направленными противоположно первым двум — системы 3, 4, табл. 3). При этом на все межламеллярные системы накладывается ограничение неотрицательности сдвигов.

Связь уровней осуществляется за счет включения в структуру определяющих соотношений на каждом масштабном уровне явных внутренних переменных, которые определяются из замыкающих уравнений в результате моделирования процесса неупругого деформирования на более глубоких масштабных уровнях по отношению к рассматриваемому и использования той или иной кинематической гипотезы. В работе используется гипотеза Фойгта об однородности тензора деформации скорости в рамках представительного объема каждого масштабного уровня:

d1(t) = D(t), d2 (t) = d1 (t),

ãäå t — время; D(d1, d2 ) — тензор деформации скорости представительного объема материала макроуровня (элемента мезоуровней 1 и 2 соответственно), определенный в актуальной конфигурации.

Для описания квазитвердого движения элементов каждого из рассматриваемых масштабных уровней в определяющих соотношениях используется соответствующая не зависящая от системы отсчета производная. На мезоуровне 2 используется коротационная производная с тензором спина ω, определяемым согласно модели стесненного поворота Тейлора [19], приведенной в разделе 5.

Полная классификация внутренних переменных трехуровневой конститутивной модели частично кристаллического полимерного материала приведена в табл. 4.

 òàáë. 4 o1 — ориентационный тензор сферолита, ортогональный тензор, характеризующий ориентацию сферолита по отношению к лабораторной системе координат и переводящий лабораторную систему координат

âсистему координат сферолита, o2 — ориентационный тензор кристаллита, ортогональный тензор, характеризующий ориентацию кристаллита по отношению к системе координат сферолита и переводящий последнюю

âкристаллографическую систему координат.

Из сравнения табл. 1 и 4 видно, что конститутивные модели рассматриваемых материалов имеют однообразную структуру (за исключением характеристик ротации кристаллитов).

Можно акцентировать внимание на том, что если для моделей низших уровней вопрос определения геометрической нелинейности можно решить за счет более детального рассмотрения физики процесса на соответствующем уровне, то на макроуровне в данном вопросе имеет место неопределенность.

В разделе 3 предлагается оригинальный подход, позволяющий конкретизировать замыкающие уравнения на верхнем масштабном уровне (в том числе определить не зависящую от выбора системы отсчета произ-

водную) за счет использования условий согласования определяющих соотношений на различных масштабных уровнях.

3. Согласование определяющих соотношений масштабных уровней и конкретизация не зависящей от выбора системы отсчета производной

С методической точки зрения достаточно провести согласование двух соседних масштабных уровней, для остальных все выкладки аналогичны.

Рассмотрим два соседних масштабных уровня некоторой многоуровневой модели (рис. 1), величины на верхнем масштабном уровне будем обозначать прописными буквами, на нижнем масштабном уровне — строч- ными. Для определенности примем, что определяющее соотношение верхнего уровня записывается в форме:

нижнего уровня (для каждого элемента из выборки, соответствующей представительному объему верхнего уровня) — в виде:

В соотношениях (10) и (11) не конкретизируется вид тензоров A, a, характеризующих движение подвижных систем координат на верхнем и нижнем (для каждого элемента) масштабном уровне, относительно которых определяется деформационное движение, в частности не накладывается условие антисимметричности, необходимым условием является только индифферентность ассоциированных с этими тензорами производных от индифферентных тензоров — для обеспечения выполнения независимости определяющих уравнений (10), (11) от выбора системы отсчета.

Представим величины, входящие в описание напря- женно-деформированного состояния элемента нижнего уровня, в виде суммы средних по представительному объему верхнего уровня величин и отклонений от этих средних:

c = c +c′, ó = ó +ó′, d = d +d′,

где — оператор осреднения, обладающий свойством:ñ′ = 0, σ′ = 0, d′ = 0, din′ = 0, a′ = 0. (13)

Вид используемого оператора осреднения в данной статье не обсуждается, может использоваться осреднение по объему или осреднение в пространстве ориентаций решеток кристаллитов, важно лишь выполнение свойства (13) для используемого оператора осреднения.

Подставляя представление (12) в определяющее уравнение нижнего уровня (11), получаем соотношение

ó& + ó&′ + (aT + aT′ ) ( ó + ó′) +

Примем, что согласование напряженно-деформи- рованного состояния на различных уровнях заключает-

свойства и характеристики напряженно-деформирован- ного состояния на верхнем масштабном уровне должны быть в точности равны осредненным характеристикам нижнего масштабного уровня.

При условии (16) соотношение (15) представляется в виде:

Сравнивая (17) с формой определяющего уравнения на верхнем уровне (10), можно получить уравнения, связывающие параметры верхнего уровня A, Din с параметрами нижнего уровня, обеспечивающие выполнение условий согласования (16). При этом возникают, по

крайней мере, два возможных варианта определения A,

Din.

Âпервом случае напрямую сопоставляются левые

èправые части соотношений (17) и (10), откуда следуют связи параметров уровней:

A = a + Ó−1 ó′ a′ ,

Тензор A, определенный согласно (18), в общем случае не является антисимметричным, −A ≠ AT. Таким образом, левая часть определяющего соотношения верхнего уровня (10) трактуется как конвективная производная тензора напряжений Коши. Для рассматривае-

мых многоуровневых моделей можно показать, что полученная конвективная производная является индифферентной по отношению к наложенному жесткому движению.

Необходимым и достаточным условием антисимметричности A является

При выполнении условия (20) на макроуровне конвективная производная выродится в коротационную производную. Для получения A = a необходимым

и достаточным условием будет являться aT′ ó′ + + ó′ a′ = 0.

Отметим, что трактовка движения подвижной системы координат, определяемой (18), достаточно сложна: во-первых, в данной системе координат меняются длины базисных векторов и углы между ними, во-вторых, характеризующий движения тензор A явно зависит от Σ.

Âсоотношении (19) к собственно неупругим деформациям добавляется член, характеризующий коррелированные (с флуктуациями компонент тензора упругих характеристик) напряжения.

Âслучае использования в статистических моделях

для передачи на нижний уровень условий нагружения гипотезы Фойгта d = D, d′ = 0, связи (18), (19) принимают вид:

При антисимметричных тензорах a, т.е. при коротационных производных на нижнем масштабном уровне в законе (11), помимо вышеизложенного подхода для определения зависимостей A, Din от параметров нижнего уровня, предлагается альтернативный вариант. При антисимметричном a соотношение (17) принимает вид:

Анализируя левую часть соотношения (24), можно

структуре ( & − ) дать трактовку как коро-

Ó a Ó + Ó a

тационной производной Σ (спин подвижной системы координат верхнего уровня определяется как a ). Последний симметричный член в правой части (−a′ ó′ + + ó′ a′ ) можно трактовать как дополнительный вклад, характеризующий скорость изменения напряжений за счет коррелированных разворотов элементов нижележащего уровня со своими отклонениями напряжений от среднего уровня. Перенося этот член в правую часть, имеем: