Физическая мезомеханика 2012

Сопоставляя соотношения (25) и (10), можно опре-

делить связи параметров уровней следующим образом:

A = a ,

− C−1: ( a′ ó′ − ó′ a′ ).

При таком подходе на верхнем уровне получается коротационная производная. Жесткую подвижную систему координат можно трактовать как некоторый трехгранник, соответствующий осредненной ориентации элементов нижнего уровня, а осредненный спин A =

=a — как скорость его поворота.

Âслучае использования в статистических моделях

для передачи на нижний уровень условий нагружения гипотезы Фойгта, d = D, d′ = 0, связи (26) принимают

âèä:

A = a ,

− C−1: ( a′ ó′ − ó′ a′ ).

При использовании гипотезы Рейсса, σ = Σ, σ′ = 0,

соотношения (26) принимают вид:

A = a ,

Отметим, что несмотря на различные связи параметров (и различие в используемых физических трактовках), соотношения (18), (19) и соотношения (26) приводят к одному и тому же определяющему уравнению для напряжения Σ на верхнем уровне и выполнению условий согласования (16).

Таким образом, условие согласования определяющих уравнений различных масштабных уровней приводит к конкретизации вида определяющего соотношения на макроуровне (и в частности, вида не зависящей от выбора системы отсчета производной). По существу, соотношения низшего уровня «транспортируются» на верхний, разрешая вопрос корректной их формулировки для геометрически и физически нелинейной задачи. Действительно, параметры определяющего соотношения верхнего уровня определены с целью выполнения (16) и при реализации модели отсутствует необходимость интегрирования определяющего уравнения верхнего уровня — достаточно напрямую воспользоваться связью C = c , Σ = σ , D = d . В то же время следует отметить, что определяющие соотношения верхнего масштабного уровня необходимы для постановки и решения соответствующей краевой задачи исследования деформирования макроскопического тела (детали, конструкции).

При подобном подходе (как и при применении многоуровневого подхода в целом), конечно, возникает во-

прос о степени корректности модели низшего уровня, восходящий к известной проблеме замыкания эволюционных и определяющих уравнений (наиболее известным примером может служить проблема замыкания в теории турбулентности). Суть проблемы состоит в том, что при формулировке физических уравнений для представительного объема некоторого уровня возникает необходимость введения параметров меньшего масштабного уровня и эволюционных уравнений для них и так далее — вниз по «лестнице масштабов». Можно отметить два наиболее употребительных подхода к ее решению. В первом — феноменологическом — параметры, характеризующие структуру на более низких масштабных уровнях, определяются функциональными уравнениями через параметры рассматриваемого уровня (например, как в модели турбулентности Рейнольдса) с последующей экспериментальной проверкой этих уравнений. Второй подход основан на построении иерархи- ческой совокупности моделей нескольких масштабных уровней — многоуровневое моделирование. Следует отметить, что в этом случае полностью избежать феноменологических соотношений, конечно, не удается, однако они записываются для самого низкого масштабного уровня в принятой иерархической совокупности, для которого возможны конкретизация физических механизмов деформирования и детальное их описание с использованием известных положений физики твердого тела (это представляется более простой задачей по сравнению с задачей установления макрофеноменологических соотношений, одновременно учитывающих состояние многомасштабной внутренней структуры и описывающих многообразие всех механизмов неупругого деформирования).

Отметим, что предложенную методику легко применить и при другой форме определяющих соотношений на мезо- и макроуровнях для широкого класса конститутивных моделей с использованием внутренних переменных (когда определяющие соотношения являются дифференциальными, например для соотношений максвелловского типа).

Для двухуровневой модели поликристаллических металлов используются следующие связи (конкретизация замыкающих соотношений макроуровня):

Применяя первый вариант предложенной схемы для трехуровневой конститутивной модели частично кристаллического полимерного материала, получаем сле-

дующие связи: для явных внутренних переменных в определяющих соотношениях (7.3), (7.4) мезоуровня 1

для явных внутренних переменных в определяющих соотношениях (6.4), (6.5) макроуровня

4. Законы упрочнения

Одним из ключевых факторов, определяющих поведение материала, является изменение в процессе деформирования критических напряжений сдвигов по внутризеренным системам скольжения (например, для поликристаллических металлов — соотношения (5.4) мезоуровня двухуровневой конститутивной модели (4), (5)). Соответствующие соотношения, описывающие скорость изменения критических сдвиговых напряжений как функцию от параметров, характеризующих микроструктуру материала, принято называть законами упрочнения. Эти законы по сути своей отражают эволюцию мезо- и микроструктуры материала, а точнее, эволюцию дефектной структуры при неупругом деформировании, в первую очередь, изменения в дислокационной структуре деформируемого материала. Изменение вида законов упрочнения (и значений входящих в него материальных констант) существенным образом влияет на результаты моделирования, поэтому в этих соотношениях важно учитывать по возможности большее число механизмов неупругого деформирования (существенных для исследуемого процесса) на мезо- и микроуровнях.

В работах [40–43] предлагаются возможные подходы к описанию упрочнения в моно- и поликристалли- ческих металлах. В частности, предлагается разделение упрочнения на неориентированное и ориентированное. Первое описывает упрочнение независимо от направления деформирования (образование пересечений дислокаций, жгутов, кос, барьеров Ломера–Коттрелла); такое упрочнение приводит к увеличению критического напряжения сдвига сразу на многих системах скольжения. Второе связано с накоплением упругой энергии на «поджатых дислокациях» (на различных барьерах), эта энергия может высвобождаться при «развороте» направления деформирования. Запасаемую на микродефектах энергию, в свою очередь, можно разделить на два типа: не высвобождаемая на микро- и мезодеформациях и высвобождаемая; доля «высвобождаемости» зависит от сложности нагружения. Это разделение учитывается, например, при описании эффекта Баушингера.

Принимается следующий общий вид закона упроч- нения для каждой из систем скольжения (в скоростной форме):

боры внутренних переменных, характеризующих соответствующие механизмы (вообще говоря, принимающие различные значения в каждый момент деформирования для разных систем скольжения).

В качестве основного слагаемого f k (γi , γ&i ) в законе упрочнения предлагается использовать модифицированный (для учета сложности предшествующего нагружения) степенной закон вида:

k=1, 24, ø >1, ãi ≥ 0,

ôcrk (0) = ôcr0k .

По сути, модификация представляет собой введение под знаком суммы в (38) не накопленного в системе скольжения сдвига, а комплекса величин: отношения накопленного сдвига в данной системе к суммарному накопленному сдвигу. Очевидно, что в случае одиноч- ного скольжения этот множитель независимо от степени будет равен единице и скорость упрочнения останется пропорциональна скорости сдвига. Наоборот, чем большее количество различных систем скольжения будет подключаться к процессу скольжения, тем ближе этот множитель будет к нулю, причем с увеличением степени стремление к нулю будет бульшим.

Второе слагаемое в (37) описывает дополнительное упрочнение за счет образования барьеров Ломера–Кот- трелла. Определяются внутренние переменные, дополнительная функция упрочнения fËÊi принимается в виде:

ãäå ãÝÄÓ — энергия дефекта упаковки материала; г*ÝÄÓ — критическое значение энергии дефекта упаковки материала; N * — число систем скольжения, сопряженных к данной; фicr — текущее критическое напряжение; гb0 — малая константа; о1 — материальная константа; Í — функция Хэвисайда.

Ориентированное упрочнение рассматривается в двух аспектах: с точки зрения аннигиляции дислокаций,

«поджатых» на препятствиях, при смене направления деформирования, а также за счет взаимодействия внутризеренных дислокаций с границами зерен в случае деформирования поликристалла.

Для учета высвобождаемой упругой энергии в соотношение для fàíi введен дополнительный множитель, учитывающий сложность нагружения по всем системам скольжения:

При описании зернограничного упрочнения принимается модель прохождения дислокации через границу с образованием в ней дислокации ориентационного несоответствия. Дополнительное зернограничное упроч- нение описывается при помощи соотношения

данную систему скольжения; V0 — объем зерна; P — количество плоских участков, аппроксимирующих границы зерна; мера разориентации о jk определяется по минимальному значению для рассматриваемой системы скольжения данного зерна j, плоского участка границы k и всех систем скольжения l соседнего зерна: о jk = = min{òk (bl −b j )}, ãäå òk — нормаль к плоскому

участку границы.

4.1. Законы упрочнения в модели частично кристаллического полимерного материала

Для описания упрочнения по внутриламеллярным системам скольжения (табл. 2) в элементе мезоуровня 2 трехуровневой конститутивной модели частично кристаллического материала предлагается использовать для критических напряжений сдвига эволюционные уравнения вида:

00

ãäå k — номер внутриламеллярной системы скольжения; σkn — напряжение, нормальное к плоскости скольжения; µ0k — фактор чувствительности сдвига к нормальному напряжению; τ0k — критическое начальное

напряжение сдвига; Ai*k = Hi*k τ0k — матрица безразмерных модулей упрочнения; Hi*k — модули упрочнения; q — показатель степени в степенном законе упроч- нения, характеризующий нелинейность зависимости критического напряжения сдвига по k-й системе скольжения от накопленных по системам скольжения сдвигов; γiΣ — суммарный накопленный сдвиг по системе скольжения с номером i (используется соглашение о суммировании по повторяющимся индексам).

Согласно соотношению (42.1), сопротивление сдвигу для внутриламеллярных систем скольжения в предположении анизотропии свойств по различным системам скольжения в ламели (которая определяется выбором различных значений констант материала для каждой системы скольжения) описывается с помощью линейного относительно напряжений закона упрочнения (первое слагаемое в законе (42.1)). Это связано с предположением о том, что для рассматриваемого класса материалов нормальное напряжение является одним из наиболее существенных факторов, влияющих на подвижность дислокаций [31]. Таким образом, чем выше нормальное (растягивающее) напряжение в плоскости скольжения, тем более подвижными являются дислокации в рассматриваемой плоскости и тем ниже крити- ческое напряжение сдвига для системы скольжения в данной плоскости. Второе слагаемое в законе (42.1) описывает упрочнение по системе скольжения в зависимости от сдвигов, накопленных по системам скольжения в кристаллите в процессе неупругого деформирования.

Эволюционное уравнение для критических напряжений сдвига по введенным межламеллярным системам (табл. 3) включает в себя описание трех эффектов, реализующихся в процессе деформирования элемента мезоуровня 2 в аморфной фазе материала:

1.Изменение критического напряжения сдвига по межламеллярной прослойке в зависимости от сдвигов, накопленных в процессе неупругого деформирования материала по межламеллярным системам скольжения

âэлементе мезоуровня 2 (γiΣ, γ&i ) — с ростом суммарного накопленного сдвига критическое сдвиговое напряжение возрастает вследствие вытягивания проходных полимерных цепей в пространстве между кристаллитами (эффект «запирания» межламеллярной деформации).

2.Механизм пространственного раздвижения-сжа- тия ламелей — изменение критического напряжения сдвига в зависимости от нормального напряжения в межламеллярной плоскости: при сжатии ламелей крити- ческое напряжение сдвига в межламеллярной плоскости возрастает; при пространственном раздвижении ламелей критическое напряжение сдвига снижается до достижения нормальным напряжением критического зна- чения; при дальнейшем росте нормального напряжения критическое напряжение сдвига резко возрастает, что соответствует ситуации, когда большое количество про-

ходных полимерных цепей межламеллярного пространства оказываются уже полностью вытянутыми и дальнейшее деформирование по моде пространственного раздвижения ламелей возможно лишь в результате разрыва некоторых из них; при этом резко возрастает и критическое сдвиговое напряжение.

3. Разупрочнение при реверсивном нагружении, связанное с тем, что сдвиг γ&k по противоположно направленной системе в межламеллярной плоскости является облегченным (при условии, что накоплен сдвиг по системе скольжения (k + 2) с противоположно направленным вектором сдвига (индекс взят по модулю 2) при прямом нагружении), так как большая часть молекулярных цепей межламеллярного пространства уже вытянулась при прямом нагружении и не требуются дополнительные усилия для их распутывания; для описания этого эффекта в эволюционное уравнение для крити- ческого напряжения сдвига вводится дополнительное слагаемое, связывающее скорость изменения критического напряжения сдвига τ&kcr со скоростью сдвига по рассматриваемой системе γ&k и суммарным накоплен-

ным сдвигом по противоположно направленной системе

γkΣ+2 .

Для учета вышеперечисленных эффектов эволюционное уравнение для критических напряжений сдвига в межламеллярной плоскости в дифференциальной (скоростной) форме записывается в виде (номера систем скольжения соответствуют номерам в табл. 3):

В соотношениях (43) r — параметр степени в степенном законе упрочнения; τ0 — начальное критическое напряжение сдвига по межламеллярной прослойке, соответствующее нулевому нормальному напряжению; Aik = — матрица безразмерных модулей упрочне-

— модули упрочнения, характеризующие вклад суммарных накопленных сдвигов по i-й системе скольжения в упрочнение по k-й межламеллярной системе; γiΣ — суммарный накопленный сдвиг по системе скольжения с номером i; γ&i — скорость сдвига по i-й системе скольжения; σn — нормальное напряжение в межламеллярной плоскости; σ*n — критическое нормальное напряжение (нормальное напряжение в плоскости скольжения, при котором соседние ламели максимально раздвинуты (без разрыва проходных цепей)); µ0 — ôàê-

тор чувствительности критического напряжения сдвига к нормальному напряжению; A, p — параметры закона упрочнения, характеризующие вид зависимости крити- ческого напряжения сдвига от нормального напряжения при превышении нормальным напряжением критического значения σ*n : A — безразмерный параметр, характеризующий упрочнение, p — параметр степени. Необходимо отметить, что в соотношениях (42), (43) нормальное напряжение к плоскости скольжения, входящее со знаком «+», является растягивающим, а с обратным

τrev

знаком «–» — сжимающим. Слагаемое &cr в законе (43) включает пары систем скольжения с противоположно направленными векторами сдвига (например, системы 1 и 3 в табл. 3), в соответствии с этим индекс системы скольжения k в соотношении (43.2) берется по модулю 2; ξ — материальная константа, ε — малый параметр.

5. Описание поворотов решетки кристаллитов

Наиболее популярными моделями поворота решетки являются модель стесненного поворота Тейлора, определяющая спин решетки как разность тензора вихря и антисимметричной части тензора пластических сдвигов [19]:

и модель, связывающая поворот решетки с материальным поворотом, определяемым ортогональным тензором, сопровождающим упругую деформацию. В работе [38] показано, что для последней модели в случае квазистатического нагружения спин определяется как

ãäå B — тензор (четвертого ранга) упругой податливости. При квазистатическом деформировании модели поворотов решетки (44) и (45) в силу малости упругих деформаций (B : σ) будут давать незначительно отли- чающиеся результаты.

В качестве серьезного недостатка этих моделей следует отметить отсутствие в них учета взаимодействия соседних зерен в поликристалле; по существу, зерна рассматриваются обособленно. При рассмотрении поликристаллических материалов, для которых можно пренебречь взаимодействием дислокаций в соседних зернах, например, при наличии «толстых» границ аморфного строения в полимерных частично кристаллических материалах, применение данных моделей достаточно обосновано. Модель (44) используется для моделирования поворотов решеток кристаллитов в трехуровневой модели полиэтилена.

Однако для металлов экспериментально подтверждено (например, в работах В.Е. Панина, В.В. Рыбина),

что существенную роль в поворотах решетки играет несовместность скольжения дислокаций в соседних зернах. В связи с этим рассмотрим модель ротации решеток зерен, основанную на явном учете последней.

Скорость поворота (спин) решетки ωпредставляется суммой двух составляющих. Первая составляющая ù1 описывает поворот решетки вместе с материалом зерна при наложенном кинематическом воздействии. Связывая материальный поворот с ортогональным тензором, сопровождающим упругую деформацию, данную составляющую предлагается определять согласно (45). Вторая составляющая скорости поворота ù2 характеризует ротацию собственно решетки кристаллита, обусловленную взаимодействием с окружением.

Для характеристики взаимодействия кристаллита (зерна, субзерна, фрагмента) с окружением для каждого кристаллита вводится еще одна внутренняя переменная — действующее на него моментное напряжение µ. Предполагается аддитивность скоростей моментов:

ãäå ( )r — коротационная производная (со спином подвижной системы координат ω, т.е. скоростью вращения кристаллической решетки); (ìr )m — составляющая скорости моментных напряжений в результате несовместности сдвига в данном кристаллите со сдвигами в соседнем m-м кристаллите; Ì — число соседних кристаллитов. Для определения моментных воздействий более ясным представляется изложение на языке соответствующих векторов. Эволюция вектора-момента m (индекс номера кристаллита опущен), ассоциированного с тензором µ (m = 12ª: ì, ì = −ª m, ª — тензор Леви-Чивиты), определяется из анализа несовместности движения дислокаций на границе кристаллитов следующим соотношением:

ãäå µ= λG — параметр модели, характеризующий реакцию системы на несовместность сдвигов, G — модуль сдвига, λ — экспериментально определяемый (безразмерный) параметр; N = qm — внешняя для анализируемого кристаллита нормаль к границе с соседним

b j(m) — единичные векторы вдоль векторов Бюргерса; ni, n j(m) — нормали для систем скольжения в исследуемом и соседнем кристаллитах соответственно; K — число систем скольжения.

Составляющая спина решетки ù2 определяется соотношением

ãäå || ì|| = ì : ì — интенсивность тензора моментных

t

напряжений; Ψ = ∫ ù2 : ù2 dτ — накопленный ре-

τ=0

шеточный поворот; мcr =ìcr (Ψ) — текущее критическое моментное напряжение, определяемое экспериментально.

Согласно (48), составляющая спина решетки ù2 характеризует вращение решетки кристаллита, инициированное несовместностью движения дислокаций в соседствующих кристаллитах.

Предложенные соотношения (46)–(48) замыкают двухуровневую модель неупругого деформирования поликристаллических металлов. В работах [42, 44] предлагается развитие модели (46)–(48) для описания реальной кинематики пластических разворотов и фрагментации кристаллитов от границ.

6. Особенности постановок задач для одно- и двухосного нагружений

Рассмотрим применение модели для описания процесса осадки поликристаллического образца (для определенности — вдоль оси ÎÕ3 фиксированной лабораторной системы координат). Тогда для него на макроуровне должно быть обеспечено напряженное состояние, соответствующее одноосному сжатию:

(49)

D33ËÑÊ = D33ËÑÊ ,

ãäå ( )ijËÑÊ — компоненты тензора 2-го ранга в фиксированной лабораторной системе координат; в (49) принято, что скорость деформации D33ËÑÊ вдоль направления осадки известна. С учетом определяющего уравнения макроуровня (4.1) и использования гипотезы Фойгта d = D данная система принимает вид:

ΩimËÑÊÓ(mjn)ËÑÊ −Ó(imn)ËÑÊΩËÑÊmj +

+CijklËÑÊ (DlkËÑÊ − DlkinËÑÊ ) = 0, (ij) ≠ (33),

(50)

D33ËÑÊ = D33ËÑÊ .

В настоящую статью в силу ограниченности объема не включены результаты расчетов стесненной осадки, однако ввиду ее частого применения в качестве тестовой для анализа многоуровневых моделей остановимся кратко на особенностях постановки. Рассматривается процесс стесненной осадки вдоль оси ÎÕ3 фиксированной лабораторной системы координат с запретом деформаций вдоль оси ÎÕ1. Для представительного объема на макроуровне должно быть обеспечено напряженное состояние, соответствующее стесненной осадке:

D11ËÑÊ = 0.

С учетом определяющего уравнения макроуровня (4.1) и использования гипотезы Фойгта d = D система

(51)принимает вид:

ΩimËÑÊÓ(mjn)ËÑÊ −Ó(imn)ËÑÊΩËÑÊmj +

D11ËÑÊ = 0.

Постановка задачи простого сдвига не отличается от постановки для общего случая произвольного нагружения.

Добавляя к (50) и (52) систему уравнений мезоуровня для каждого кристаллита, которая остается неизменной при любой программе нагружения на макроуровне, и конкретизируя условия связи масштабных уровней, получаем систему дифференциальных уравнений, с учетом начальных условий — начальную задачу Коши, позволяющую определять эволюцию всех переменных на макро- и мезоуровнях моделируемого представительного объема материала для рассматриваемых процессов простого нагружения.

7. Результаты. Поликристаллические металлы

Проведено моделирование характерного состояния представительного объема макроуровня при некоторых процессах обработки материалов. Во всех вычислительных экспериментах в качестве моделируемого материала принималась чистая медь: тип кристаллической решетки — ГЦК, независимые упругие модули c1111 =

= 168.4 ÃÏà, c1122 = 121.4 ÃÏà, c1212 = 75.4 ГПа (в кристаллографической системе координат); начальное кри-

тическоенапряжение сдвига по системе скольжения ф0 = = 15 МПа, характерная скорость сдвигов γ&0 = 10–9 ñ–1, параметры упрочнения в законе (38): ψ = 1.00002, aii = = 4.56 10–5; aik = 5.7 10–5, i ≠ k; параметры модели поворотов решетки (26)–(28): À=100Ïà–1, Í=400 (Ïà ñ)–1,

µ = 1 ÌÏà, ìcr = 1 ÌÏà.

Параметры закона упрочнения выбирались для обеспечения соответствия экспериментальной кривой σ–ε для меди, параметры модели поворотов выбраны исходя из известных данных о физике процесса: неупругая составляющая поворота активируется ориентировочно при ε = 0.2, величина поворота не должна превышать 2° за шаг ∆ε = 0.001 [1].

Отметим, что для достижения первоочередной цели — иллюстрации эффектов, возникающих за счет использования корректных граничных условий при моделировании одноосного нагружения, а также за счет использования предложенных согласованных связей масштабных уровней, — приведенные ниже расчеты для поликристаллических металлов осуществлены при учете только основного слагаемого (38) в законе упроч- нения. Результаты использования закона упрочнения общего вида и анализ описываемых эффектов (в частности эффекта Баушингера) приведены в работах [40– 43].

3.00

2.62

2.25

1.87

1.50

1.12

0.75

0.37

0.00

Ниже представлен краткий анализ и сравнение результатов расчетов с использованием различных условий связи масштабных уровней:

1)использование предложенных условий согласования (18), (19) и (26) для определения квазитвердого движения и скорости неупругих деформаций на макроуровне;

2)использование на макроуровне производной Яу-

и прямого осреднения скоростей неупругих деформаций

7.1. Осадка

Íà ðèñ. 4, à–ã приведены результаты моделирования осадки вдоль оси ÎÕ3 фиксированной лабораторной системы координат при корректном задании условий нагружения согласно (50) в сравнении с жестким нагружением D11 = D22 = −D33 2 (осадка в предположении несжимаемости материала) при использовании условий согласования (18), (19).

3.00

2.62

1.87

1.50

1.12

0.75

0.37

0.00

{111}

Видно, что условия (50) обеспечивают необходимое напряженное состояние — одноосное напряженное состояние, в то время как при кинематическом нагружении этого достичь не удается. Дальнейшие результаты полу- чены при использовании (50).

Из результатов, приведенных на рис. 4, à, á, ä, å видно, что условия согласования обеспечивают полное соответствие между макронапряжениями и осреднен-

ными напряжениями мезоуровня, в то время как при использовании общепринятых условий замыкания (53), (54) отклонения значительны и возрастают.

На рис. 5 приведены прямые полюсные фигуры, полученные расчетным путем по предлагаемой модели и экспериментально. Полученные результаты находятся в удовлетворительном соответствии с опытными данными: тенденция текстурообразования улавливается четко.

Результаты моделирования стесненной осадки [42] с использованием (51) и предложенных условий согласования (18), (19) также показывают удовлетворительное соответствие экспериментальным данным [17].

7.2. Простой сдвиг

При моделировании реализовано жесткое нагружение ( v)23ËÑÊ =–0.5 10–5 c–1, ( v)ijËÑÊ =0, (ij) ≠ (23).

При использовании (53), (54) все компоненты Σ èσ отличаются и отклонение растет (рис. 6). При этом наблюдается характерное для использования производной Яуманна изменение знака компонент тензора напряжений на макроуровне, что представляется нефизичным для монотонного нагружения. Экспериментальные и расчетные прямые полюсные фигуры находятся в удовлетворительном качественном соответствии (рис. 7).

8. Результаты. Частично кристаллический полимерный материал

Проводилось моделирование деформирования представительного объема макроуровня в опытах на одноосное растяжение (сжатие) и простой сдвиг. Во всех вы-

числительных экспериментах в качестве моделируемого материала принимался полиэтилен низкого давления. Тип кристаллической решетки — орторомбическая,

= 1.5 ÃÏà, c1313 = 1.6 ГПа [45] (в кристаллографической

системе координат). Начальные критические напряжения сдвига и параметры чувствительности кристаллитов к нормальному напряжению в плоскости скольжения для внутриламеллярных систем приведены в табл. 5, начальное критическое напряжение сдвига в межламеллярной плоскости — 3.4 МПа. Характерная скорость сдвига в соотношении вязкоупругой физической модели (8.3) γ&0 = 10–3 ñ–1, параметр чувствительности кристаллитов к скорости приложения нагрузки m =19. При моделировании учитывалось упрочнение по системам скольжения в элементе мезоуровня 2 в зависимости от нормального давления в плоскости скольжения.

Проведены серия вычислительных экспериментов с разработаннойтрехуровневойконститутивной моделью, анализ и сравнение результатов расчетов с использованием различных условий связи масштабных уровней:

1)использование предложенных условий согласования (33), (34) на мезоуровне 1 и (35), (36) на макроуровне для определения квазитвердого движения и скорости неупругих деформаций в определяющих соотношениях соответствующих структурно-масштабных уровней;

2)использование на макроуровне и на мезоуровне 1 производной Яуманна:

A = W = 12(( ˆ v)T − ˆ v),

(55)

ˆ T ˆ

a = W = 1 2(( v1) − v1)

и прямого осреднения скоростей неупругих деформаций:

8.1. Одноосное растяжение-сжатие

На рис. 8, 9 приведены результаты использования трехуровневой конститутивной модели при моделировании процесса одноосного растяжения для представительного объема полиэтилена низкого давления. Растяжение (сжатие) осуществлялось вдоль оси 11 лаборатор-

ной системы координат, D11 = 1 10–3 (D11 = –1 10–3 c–1), при этом разрешалась система уравнений, аналогичная

(49), (50).

Рис. 11. Прямые полюсные фигуры после одноосного сжатия для нормали к плоскости (200) (проецирование с ÎÕ1 — ось сжатия перпендикулярна плоскости рисунка), полученные при расчетах с использованием условий согласования (à) (åu = 1) и в эксперименте (á) (åu = 1.29) [47]