3.4.2. Метод преобразования треугольника в звезду и обратно

В этом случае в качестве показателей надежности используются вероятности отказов элементов. Выбор указанных характеристик объясняется тем, что метод преобразования треугольника в звезду и обратно является приближенным. Значение возникающей погрешности при оценке надежности системы зависит от вероятностей, характеризующих надежность элементов. Чем меньше эти вероятности, тем меньше погрешность оценки надежности системы. Так как обычно вероятности безотказной работы элементов близки к единице, то целесообразно использовать вероятности появления отказов.

Определим зависимости между вероятностями отказов элементов при преобразованиях, исходя из предположения, что характеристики надежности цепей, соединяющих одноименные точки в различных схемах, должны быть равны между собой.

Вначале рассмотрим точки 1 и 2 (рис. 3.28, 3.29). Вероятности отказов для цепей при условии, что точка 3 присоединена к точке 2, будут равны: для звезды q₁+q₂q₃–q₁q₂q₃, а для треугольникаq₁₂q₃₁. Аналогично можно записать равенства и для других возможных вариантов соединения точек.

Таким образом, можно составить следующую систему уравнений:

q₁+q₂ q₃ – q₁ q₂ q₃ = q₁₂ q₃₁;

q₂+q₃ q₁ –q₂ q₃ q₁ = q₂₃ q₁₂; (3.62)

q₃+q₁ q₂ – q₃ q₁ q₂ = q₃₁ q₂₃.

Считая, что вероятности отказов элементов малы, и пренебрегая произведениями q_i q_jиq _iq_j q_r – вероятностями более высокого порядка малости, чемq_i, получим следующие приближенные выражения:

q₁≈ q₁₂ q₃₁;q₂≈ q₂₃ q₁₂;q₃≈q₃₁ q₂₃. (3.63)

Перемножим соответственно левые и правые части двух первых равенств системы (3.63) и разделим на третье равенство, тогда

(3.64)

Из (3.64) после сокращения одинаковых сомножителей имеем

(3.65)

Аналогично получаем

(3.66)

Если предположить, что точка 3 в схеме «звезда» является свободной, то соответствующие вероятности появления отказов в схемах «звезда» и «треугольник» будут соответственно равны для «звезды»: q₁ +q₂ – q₁ q₂;q₂ +q₃ – q₂ q₃;q₃ +q₁ – q₃ q₁; для «треугольника»:q₁₂ (q₂₃+q₃₁–q₂₃ q₃₁);q₂₃ (q₃₁+q₁₂–q₃₁ q₁₂);q₃₁ (q₁₂+q₂₃–q₁₂ q₂₃). Пренебрегая в этих выражениях величинами более высокого порядка малости, чемq_i(произведенияq_i q_j), получим следующие приближенные зависимости:

q₁+q₂≈q₁₂ q₂₃+q₁₂ q₃₁;

q₂+q₃≈q₂₃ q₃₁+q₂₃ q₁₂; (3.67)

q₃+q₁≈q₃₁ q₁₂+q₃₁ q₂₃.

Прибавляя к левой и правой частям первого уравнения в системе (3.67) соответственно левую и правую части третьего уравнения и вычитая соответственно левую и правую части второго уравнения, получим выражение q₁≈ q₁₂ q₃₁, которое было получено ранее (см. первое уравнение в системе (3.63)). Таким образом, приближенные формулы (3.63), (3.65), (3.67) могут быть использованы в процессе преобразования схемы «треугольник» в схему «звезда» и обратно.

3.4.3. Приближенный метод исключения элементов

Сущность приближенного метода расчета надежности мостиковых схем методом исключения элементов заключается в том, что в структурной схеме выбираются один или несколько элементов и затем производится расчет показателей надежности для двух крайних случаев:

1. предполагается, что выбранные элементы абсолютно надежны (вероятность безотказной работы элементов равна единице);

2. предполагается, что выбранные элементы абсолютно ненадежны (вероятность безотказной работы элементов равна нулю).

В первом случае две точки системы, к которым подключается элемент, соединяются постоянной связью, во втором – между этими точками отсутствует какая – либо связь. Для двух полученных структур определяются вероятности безотказной работы, соответственно равные P_max иP_min.

Затем определяется средневзвешенное значение вероятностей безотказной работы исключаемых элементов

(3.68)

где p_i– вероятность безотказной работыi-го исключаемого элемента;n– число исключаемых элементов.

Окончательно вероятность безотказной работы системы определяется по формуле

P_с = P_min + (P_max – P_min)p_ср. (3.69)

Очевидно, если p_ср= 1 (абсолютно надежные исключаемые элементы), тоP_с=P_max. Еслиp_ср= 0 (абсолютно ненадежные элементы), тоP_с=P_min.

Особенности метода исключения элементов:

• с увеличением числа исключаемых элементов точность расчетов понижается;

• с увеличением числа элементов в системе при фиксированном числе исключаемых элементов точность расчетов повышается;

• в качестве исключаемых элементов целесообразно выбирать элементы, имеющие высокую надежность

Пример 3.13. Определить приближенно вероятность без­от­каз­ной работы системы, пред­став­лен­ной на рис. 3.30, двумя мето­да­ми: преобразованием треу­голь­ни­ка в звезду и исключением эле­мен­тов.

Вероятности безотказной рабо­ты всех элементов одинаковы: p_i=p= 0,9.

Решение.I. Преобразуем схему «треугольник», образованную элементами 1, 3, 5, в схему «звезда» с элементами 6, 7, 8 (рис. 3.31). Согласно формулам (3.63) рассчитываем вероятности отказов элементов «звезды»

q₆=q₇=q₈≈q²≈ (1 –p)²= (1 – 0,9)²= 0,01;p₆=p₇=p₈= 0,99.

Используя формулы для последовательно-параллельно соединенных элементов, определяем вероятность безотказной работы системы

Р_с=р₆ [1– (1–р₂ р₇)(1–р₄ р₈)] = 0,99[1– (1–0,9·0,99)(1–0,9·0,99] = 0,9782.

II. Решим этот же пример методом исключения элементов. В качестве исключаемого элемента выберем элемент 5. Рассмотрим две структуры. В первой из них в месте расположения элемента 5 будет короткое замыкание (рис. 3.32). Поэтому получим

Р_max= [1– (1–р)²]²= [1– (1–0,9)²]²= 0,9801.

Во второй структуре в месте нахождения элемента 5 будет разрыв цепи (рис. 3.33). В соответствии с этим

Р_min= 1 – (1 –р²)²= 1 – (1 – 0,9²)²= 0,9639.

С учетом р_ср=р= 0,9 на основании (3.69) окончательно получаем

Р_с= 0,9639 + (0,9801 – 0,9639)·0,9 = 0,9785.

Сравнение значений вероятностей безотказной работы, полученных рассмотренными приближенными методами, показывает, что они очень близки.