3.4.Расчетнадежности мостиковой структуры

На практике встречаются системы, в которых схемы соединения элементов в надежностном смысле не могут быть сведены к последовательно-параллельным. Это системы, содержащие так называемые мостиковые схемы, т.е. системы, содержащие элементы типа треугольник и звезда. Такие схемы встречаются, например, в схемах электрических соединений подстанций и распределительных устройств.

Имеется ряд методов, позволяющих приближенно рассчитывать надежность таких систем. К ним относятся метод перебора возможных состояний схемы, метод преобразования треугольника в звезду и обратно, приближенный метод исключения элементов.

3.4.1. Метод перебора возможных состояний

Найдем выражение для вероятности безотказной работы мостиковой схемы, изображенной на рис. 3.3, б. Будем считать, что все элементы схемы равнонадежны и могут иметь один вид отказа типа обрыва. Обозначим вероятность безотказной работы элемента схемы Р(t) =P.

Рассмотрим возможные состояния схемы и соответствующие им вероятности. Так как каждый элемент схемы может находиться в одном из двух несовместных состояний (работоспособном или неработоспособном), то общее число возможных состояний схемы будет равно k_с = 2ⁿ= 2⁵= 32 , гдеk _с– число возможных состояний схемы;n – число элементов схемы.

Число возможных состояний схемы можно вычислить и другим способом. Так, если N– общее число элементов схемы, а x – число рассматриваемых отказавших элементов, то число сочетаний изN по x

есть число возможных состояний схемы с x отказавшими элементами из N. Например, дляN = 5 и x = 2 имеем= 10 возможных состояний схемы с двумя отказавшими элементами, а общее число различных состояний схемы равно

Для удобства дальнейшего анализа надежности схемы сведем все ее возможные состояния в табл. 3.4

Таблица 3.4

Возможные состояния мостиковой схемы

Число отказавших элементов x	Число возможных состояний схемы k с =	События, характеризующие состояние схемы	Вероят-ность
0	1		Р5
1	5		Р4q Р4q Р4q Р4q Р4q Р4q
Продолжение таблицы 3.4
2	10
3	10
4	5
5	1

Располагая всеми возможными состояниями схемы, выделим те из них, которые соответствуют ее неработоспособному состоянию. Для этого, используя табл. 3.4 и рис. 3.3, б, проанализируем влияние на работоспособность схемы числа ее отказавших элементов. При x = 0 и x = 1 все состояния схемы работоспособны. При x = 2 из 10 возможных состояний 8работоспособны, а 2 – неработоспособны. При x = 3 число работоспособных состояний равно 2, а неработоспособных – 8. При x = 4 и x = 5 все состояния схемы будут неработоспособными. Эти состояния выделены в табл. 3.4 прямоугольными рамками.

Вероятности для каждого состояния схемы вычисляются по формуле q^x P^(N-x). Так как события, характеризующие состояние схемы, являются взаимно несовместными, то для вычисления вероятности безотказной работы схемы необходимо просуммировать вероятности для работоспособных состояний схемы:

,

где k_p– число работоспособных состояний схемы;P_i– вероятностьi-го работоспособного состояния схемы.

Подставляя в полученное выражение q = 1 –Pи произведя преобразова­ния, получим окончательное выражение для вероятности безотказной работы мостиковой схемы:

.