-
Численные методы определения кин.
Аналитические решения задач для тел с трещиной получены только для некоторых частных случаев, они сведены в таблицу. Поэтому при решении большинства реальных задач для оценки НДС и КИН используют численные методы.
Метод конечных элементов.
Условно разделяют на прямые и энергетические методы определения КИН.
Прямые методы.
Один из основных методов (асимптотические методы) основан на использовании асимптотических формул и заключается в следующем: с использованием любого численного метода определяется НДС вблизи вершины трещины; затем в формулу (5.20) подставляются значения тензора напряжений и определяется .
; ;
; . (5.20)
Преимущества: возможность использования стандартных процедур и программ.
Недостатки: погрешность решения зависит от погрешности конечно-элементной аппроксимации, т.е. необходимо мелкое разбиение в вершине трещины; коэффициент интенсивности характеризует скорость изменения напряжений, поэтому нужно рассматривать точку как можно ближе к вершине трещины, вследствие чего получаем большую погрешности численного решения.
Пути повышения точности решения: использование мелких сеток; поэтапное решение задачи с постепенным сгущением сетки в вершине трещины; использование сингулярных конечных элементов.
Энергетические методы.
Данные методы определения КИН основываются на использовании зависимости коэффициента интенсивности напряжений от изменения потенциальной энергии упругого деформирования формула (5.21).
; (5.21)
для плоско-напряженного состояния, в случае плоско-деформированного состояния значение «приведенного» модуля Юнга вычисляется по формуле (5.22):
. (5.22)
Метод податливости (метод полной энергии).
В изотермических задачах теории упругости изменение потенциальной энергии упругого деформирования при изменении длины трещины равно работе внешних сил (5.23).
. (5.23)
В методе конечных элементов это реализуется по следующей схеме:
; (5.24)
; (5.25)
, (5.26)
где -м индексом обозначены узлы в которых приложена внешняя нагрузка.
, (5.27)
В матричном виде:
; (5.28)
, (5.29)
где , - узловые усилия и перемещения.
Порядок решения задачи:
В силу симметрии можно рассматривать половину тела с трещиной. Трещина в МКЭ задается свободной поверхностью (узлы не закреплены). Приращение длины трещины моделируется высвобождением узла перед вершиной трещины.
l0 l
Рис. 6. – Конечно-элементная модель тела с трещиной.
Для выбранной конечно-элементной сетки (Рис. 6); при длине трещины и заданной внешней нагрузки решается задача теории упругости (определяем НДС). Находим матрицы узловых перемещений . На этой же сетке конечных элементов и при той же нагрузке, но при длине трещины () решаем задачу нахождения матрицы узловых перемещений . Найденные величины подставляем в формулу (5.29) и определяем КИН.
Преимущества метода: использование одной и той же конечно-элементной сетки исключает систематическую ошибку. Возможность использования грубого разбиения, за исключением области вершины трещины, где задается приращение длины трещины.
Недостатки: можно использовать только там, где справедливо соотношение (5.21), справедливо только для плоских случаев (трещин), в основном на модельных задачах.
Метод виртуального роста трещины.
Приращение роста трещины задается смещением узла (Рис. 7).
Рис. 7. – Схема смещения узла КЭ сетки.
Меняется геометрия – меняется и матрица жесткости.
(5.30)
Дифференцирование матрицы сводится к вычислению приращений (их отношения).
(5.31)
Метод граничных элементов (Рис. 8).
С помощью любого МГЭ (по аналогии с МКЭ) можно определить НДС и с использованием сингулярных формул либо других зависимостей определить КИН. В качестве граничного элемента выступает трещина.
Метод разрывных смещений.
В данном методе постановка физической и математической задачи совпадают. Следовательно, для оценки НДС этот метод является одним из наиболее предпочтительных,
Рис. 8. – Граничный элемент.
где
– разрыв смещений. (5.32)
Решение задачи теории упругости имеет вид:
(5.33)
(5.34)
(5.35)
(5.36)
(5.37)
Рассмотрим пример:
Трещина нормального отрыва в бесконечной плоскости под действием внутреннего давления (Рис. 9).
Рис. 9. – Тело с трещиной, нагруженное внутренним давлением.
, ;
, ;
, . (5.38)
На бесконечности:
.
Разделим трещину на отрезков (граничных элементов). Предположим, что граничные элементы настолько малы, что разрыв смещения в направлении оси y в пределах каждого элемента можно считать постоянным. Нормальное напряжение в точке , вызванное постоянным вдоль отрезка разрывом смещения равно (5.39):
. (5.39)
Если разрыв смещений имеет место на отрезке с центром в точке , то значение нормального напряжения будет вычислено по формуле (5.40):
, (5.40)
где – разрыв смещений на отрезке .
Напряжение в центре -го элемента, вызванное разрывом смещений в -ом элементе, находится путем подстановки вместо :
. (5.41)
Согласно принципу суперпозиции, напряжение в центре -го элемента, вызванное разрывами смещений во всехэлементах, равно:
, (5.42)
где – коэффициенты влияния, находятся по формуле (3.43):
. (5.43)
Численное решение задачи о трещине под действием внутреннего давления определяется из решения системы с независимыми:
. (5.44)
Эти уравнения можно решить относительно (Рис. 10):
Аналитическое
решение
Численное
решение
Рис. 10. – Сравнение аналитического и численного решений.
-
Определение НДС для анизотропного случая.
Уравнения теории упругости для ортотропного материала:
;
; (5.45)
;
; ; .
Для обобщенного плоско-напряженного состояния:
;
; (5.46)
.
Для обобщенного плоско-деформированного состояния:
; ;
. (5.47)
Для ПДС закон Гука для ортотропной среды можно записать в следующем виде
(исключив ):
;
; (5.48)
,
где коэффициенты описываются формулами (5.49):
;
;
; (5.49)
;
;
.
Можно записать коэффициенты через технические постоянные (5.50):
; ;
; , (5.50)
где , , , , – эффективные упругие характеристики.
Таким образом, заменяя технические постоянные на можно показать, что уравнения, описывающие ПНС и ПДС имеют один и тот же вид.
Рассмотрим решение для ортотропного тела с трещиной. Дифференциальное уравнение (5.51) для плоской задачи теории упругости (для ортотропного материала) впервые было получено Лехницким:
, (5.51)
где функция Эри.
Введем оператор ( ):
. (5.52)
Тогда основное уравнение относительно запишется в форме:
,
где - корни характеристического уравнения (комплексно-сопряженые величины) в научной литературе иногда обозначают ,; - действительные числа:
;
; (5.53)
.
Уравнение Лехницкого (5.51) может быть использовано для задачи определения НДС для бесконечной ортотропной среды с трещинами различного типа.
Решение для трещины нормального отрыва (5.54) имеет вид:
;
;
;
;
;
; (5,54)
;
;
.
Для трещины поперечного сдвига (5.55):
;
;
;
; (5.55)
.
Для трещины продольного сдвига (5.56):
;
; (5.56)
,
где – действительная часть от комплексного числа, – мнимая часть от комплексного числа.
Анализ решений:
– для анизотропного и для изотропного случаев в решении присутствует сингулярность по напряжениям, ее порядок – ½. Это следствие того, что решение получено по теории упругости (материал работает только в упругой области) и в вершине напряжения стремятся к бесконечности;
– в анизотропном случае (в отличие от изотропного) решение зависит не только от КИН и координат, но и от упругих характеристик материала.