VI. Критерии страгивания и роста трещины.

1. Концепция Гриффитса – Орована – Ирвина.

2. Модель Дагдейла – Панасюка – Леонова.

3. Инвариантные J и Г интегралы.

4. Критерии разрушения композиционных материалов.

1. Концепция Гриффитса – Орована – Ирвина.

Имеющиеся традиционные критерии оценки прочности не позволяют оценить состояние тела с трещиной поскольку сведений о концентрации напряжений в области вершины трещины недостаточно для ответа на вопрос о том будет, распространяться трещина или нет.

Пусть дана бесконечная плоскость, ослабленная трещиной нормального отрыва длиной (Рис. 1). Необходимо определить напряжения (), при которых трещина начнет распространяться.

Рис. 1. – Бесконечная плоскость с трещиной нормального отрыва.

Впервые эту задачу сформулировал и решил английский ученый Гриффитс в 1921-1924г .

Пусть – потенциальная энергия упругого деформирования бесконечной плоскости без трещины, W-потенциальная энергия деформирования плоскости с трещиной длиной . Величина W<W₀ в силу того, что в плоскости с трещиной присутствуют области, свободные от напряжений. Гриффитс используя решение Инглиса для эллиптического отверстия, рассмотрев предельный случай (стягивание эллипса, в трещину) получил величину изменения потенциальной энергии :

, (6.1)

где – длина трещины, – модуль Юнга материала, – приложенная внешняя нагрузка, – толщина пластины.

Гриффитс предположил, что высвобождающаяся энергия (разница 6.1) затрачена на образование новых поверхностей трещины, другими словами для образования новой поверхности трещины (в плоском случае увеличение длины трещины) необходимо затратить определенную энергию (энергию разрушения).

Для оценки энергии идущей на увеличение длины трещины он ввел новую характеристику –  – величину удельной энергии поверхностного разрушения трещины.

Площадь трещины вычисляется по формуле (6.2), тогда поверхностная энергия трещины Г может быть найдена по формуле (6.3):

, (6.2)

. (6.3)

Если предположить, что изменение потенциальной энергии упругого деформирования расходуется только на образование новых поверхностей трещины, то баланс энергии запишется в следующем виде (критическое состояние согласно Гриффитса):

(6.4)

Согласно Гриффитса величина  считается константой трещиностойкости материала (параметр материала, который характеризует способность материала сопротивляться распространению в нем трещины). Физический смысл этой величины был дан по аналогии с поверхностным натяжением жидкости.

Исследуем на устойчивость данное состояние (дадим малое приращение длине трещины):

(6.5)

; ( трещина отсутствует ) (6.6)

– точка экстремума.

Т.к. вторая производная:

, (6.7)

то можно утверждать, что трещина находится в состоянии неустойчивого равновесия, т.е. «готова к движению».

Из (6.6) найдем значение критической нагрузки:

(6.8)

Для плоской задачи толщина пластины может быть принята . Тогда:

(6.9)

– при достижении внешней нагрузки трещина начнет распространяться.

Гриффитс решал данную задачу для ПНС, но подобную формулу можно получить и для случая ПДС. Для ПДС критерий страгивания и роста трещины имеет вид:

. (6.10)

Если зафиксировать значение внешней нагрузки, то можно определить максимально возможный размер дефекта, т.е. длину трещины, до которой будет соблюдаться устойчивость трещины. Критическая длина трещины для ПНС:

(6.11)

Таким образом, критерий разрушения, предложенный Гриффитсом имеет вид:

, (6.12)

где – константа трещиностойкости материала.

В дальнейшем поверхностную энергию разрушения стали отождествлять с понятием работы разрушения. Гриффитс выполнил не только теоретические исследования, но и предложил пути экспериментального определения ; провел эксперименты на стеклянных образцах и показал хорошее соответствие теории и практики.

Попытка обобщить полученные результаты на металлы и их сплавы не увенчалась успехом. Эксперименты на традиционных конструкционных материалах давали результаты качественно отличающиеся от расчетных. Другим недостатком данного подхода являлась необходимость решения задачи для всего тела с трещиной.

Гениальные исследования Гриффитса были преданы забвению почти на 30 лет, по двум основным причинам:

1. Решение задачи по Гриффитсу требовало определения НДС и оценки потенциальной энергии упругого деформирования для всего тела (чисто математические трудности в решении задач теории упругости).

2. Задача решалась в условиях упругой деформации без учета затрат энергии других видов.

В 1948 году венгерский ученый Орован провел экспериментальные исследования на тонких стальных пластинах с трещиной, и показал, что для большинства конструкционных сталей вблизи вершины трещины наблюдается зона пластической деформации в виде тонкой полоски (Рис. 2), при этом остальной образец находится в условиях упругого деформирования.

Рис. 2. – Пластическая область вблизи вершины трещины.

Такое разрушение было названо квазихрупким. Очевидно, что энергия, высвобождающаяся при образовании новых поверхностей трещины, расходуется не только на увеличение площади трещины, но и на пластическую деформацию в вершине трещины. Орован предложил использовать условия разрушения по Гриффитсу с учетом затрат энергии на пластическое деформирование в следующем виде:

, (6.13)

где – энергия, затраченная на пластическое деформирование материала в вершине трещины.

Запишем критерий Гриффитса в модифицированном виде:

. (6.14)

Для большинства материалов , следовательно, справедливо утверждение:

. (6.15)

Известный английский механик-исследователь Ирвин ввел понятие интенсивности высвобождения (освобождения) энергии (параметр G) - как величину потока энергии на единицу длины в вершине трещины. Она определяется следующим образом через поверхностную энергию разрушения:

. (6.16)

В условиях изотермической линейной упругости ее задают как изменение потенциальной энергии упругого деформирования при изменении площади поверхности трещины:

, (6.17)

где - работа внешних сил, '' +'' – свободные захваты, ''–'' – фиксированные захваты.

Ирвин предложил вычислять величину G через усилия сцепления в вершине трещины считая, что изменение потенциальной энергии тела с движущейся трещиной происходит только из-за работы разрушения при образовании новых поверхностей в вершине трещины.

Пусть длина трещины увеличилась на (Рис. 3).

Рис. 3. – Область в вершине трещины.

Если считать, что поле НДС при движении трещины меняется только в малой области вершины трещины, то:

(6.18)

После подстановки величин и uиз сингулярных формул при условии:

, (6.19)

,

и интегрирования получим:

. (6.20)

Для частных типов трещин справедливо:

,

, (6.21)

,

где - интенсивность высвобождения энергии для трещин I, II, и III типа соответственно.

Современная интерпретация концепции Гриффитса – Орована – Ирвина может быть сформулирована в виде следующих критериев разрушения:

1. Энергетический критерий: трещина начнет распространяться тогда, когда интенсивность освобождения энергии (поверхностная энергия разрушения) превысит критическое значение (параметр трещиностойкости материала).

, (6.22)

2. Силовой критерий: трещина начнет распространяться тогда, когда коэффициент интенсивности напряжений превысит критическое значение.

(6.23)

Критерий назван силовым потому, что величина КИН характеризует скорость изменения полей напряжений (внутренних усилий) вблизи вершины трещины.

Зависимость аналогичная (4.21) справедлива и для критических величин:

, , , (6.24)

но !!! (6.25)

Эквивалентность силового и энергетического критериев (6.24) возможна только в линейно-упругой постановке.

В качестве константы трещиностойкости материала наибольше распространение получил критический коэффициент интенсивности напряжений из-за того, что использование этого критерия позволяет применить традиционные схемы расчета НДС. Наиболее опасной трещиной является трещина I типа, поэтому в качестве основной технической константы трещиностойкости материала принято считать критический коэффициент интенсивности напряжений для трещины нормального отрыва в условиях плоской деформации (только для однородных изотропных материалов).

В вершине трещины для большинства материалов присутствует зона пластичности. В технике принято считать, что если размер (длина) зоны пластичности в вершине трещины не превышает 20% длины трещины l, то такое разрушение считается квазихрупким, и для него справедливо все выше приведенные соотношения.

Оценим размер зоны пластичности в вершине трещины, используя сингулярные формулы (Рис.4):

,

, , (6.26)

,

тогда для плосконапряженного состояния формула для вычисления размера зоны пластичности будет иметь вид:

(6.27)

Для плоско-деформированного состояния:

(6.28)

Рис. 4. – Размер зоны пластичности в вершине трещины.

В данном подходе предполагается, что напряжения внутри зоны пластичности постоянны и равны пределу текучести, что не совсем соответствует действительности. Напряжения вблизи вершины трещины могут быть больше , поэтому реальный размер зоны пластичности больше. При этом в области перестают действовать сингулярные формулы, описывающие НДС в вершине трещины. Ирвин решил задачу в более строгой постановке и показал, что реальный размер зоны пластичности в два раза больше, чем оценка по формуле (6.27).

Для учета зоны пластичности в вершине трещины в рамках линейно-упругого подхода длину трещины увеличивают на величину r (Рис. 5):

(6.29)

Выражение (6.29) получило название «поправка Ирвина на пластичность».

Рис. 5. – Зона пластичности в вершине трещины.

Для новой длины трещины размер зоны пластичности в вершине трещины размер зоны пластичности в вершине трещины – остаются справедливы сингулярные формулы для расчета НДС вблизи вершины трещины.

КИН для новой длины трещины называют « К – эффективное» ():

(6.30)

вводят только для ПНС, т.к. для ПДС - в силу малости размера зоны пластичности - добавка незначительная.

Аналитическое выражение типа (6.30) найдено только для трещины в бесконечной плоскости:

(6.31)

Во всех остальных случаях вычисляется с использованием итерационной процедуры по следующей схеме:

1. Вычисляется при заданном коэффициенте К-тарировки (F) :

2. Находится новая длина трещины с учетом поправки на пластичность:

(6.32)

3.Пересчитывается коэффициент тарировки для новой длины трещины:

…

4. Вычисляется новый КИН:

и так далее; пункты 1-3 повторяем до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность:

(6.33)

Зона пластичности в вершине трещины для ПДС и для ПНС отличается не только размерами вблизи вершины трещины но и формой (Рис. 6), и характером распределения (Рис. 7). Это видно из решения задачи пластичности (задача решалась с использованием критерия Мизеса):

Рис. 6. – Форма зоны пластичности.

Рис. 7. – Реальное распределение напряжений в вершине трещины.

Как видно ПДС отличается от ПНС как видом зоны пластичности, так и распределением напряжений. Это обуславливает различные характеры разрушения в условиях ПНС и ПДС. В условиях ПДС происходит разрушение преимущественно за счет отрыва по нормальной плоскости. В случае ПНС разрушение происходит за счет сдвига по площадкам под углом к направлению приложения нагрузки.

Различие в характерах разрушения для ПДС и ПНС приводит к зависимости КИН от типа НДС и от толщины образца (Рис. 8).

Рис. 8. – Зависимость критического КИН от толщины образца t.

С увеличением толщины образца (с переходом от ПНС к ПДС) значение уменьшается и в условиях преимущественного ПДС асимптотически стремится к величине - критический коэффициент интенсивности напряжений для трещины нормального отрыва в условиях плоской деформации.

При дальнейшем увеличении толщины, не меняется в силу того, что критический коэффициент интенсивности напряжений в условиях ПДС является наименьшим и не зависит от толщины образца, поэтому этот параметр выбран в качестве основной константы трещиностойкости для большинства конструкционных материалов.

Для оценки типа напряженного состояния имеется критерий (условие) «Сроули-Брауна», считается, что условие ПДС соблюдается, если справедливы неравенства:

, (6.34)

где t – толщина; l – длина трещины.