V. Коэффициент интенсивности напряжений (кин).

1. Поля напряжений и перемещений в окрестности вершины трещины.

2. Частные случаи определения КИН.

3. Численные методы определения КИН.

4. Определение НДС в вершине трещины для анизотропного случая.

1. Поля напряжений и перемещений в окрестности вершины трещины.

Ставится задача вычисления напряженно-деформированного состояния вблизи вершины трещины. Данная задача сводится к решению плоской задачи теории упругости для математического разреза с граничными условиями, реализующими один из типов трещин. Рассмотрим тело с трещиной (Рис. 1), выберем систему координат с центром в вершине трещины.

Рис. 1. – Тело с трещиной.

Заменим реальную трещину математическим разрезом (Рис. 2), решение задачи удобно рассматривать в полярных координатах (центр координат в вершине трещины).

Рис. 2. – Математическая модель тела с трещиной.

Аналитические решения могут быть получены с помощью методов функций комплексного переменного. Решение в явном виде задачи теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния вблизи вершины трещины существует для трех типов простых трещин. В полученных решениях для перехода от плоского-напряженного состояния к плоско-деформированному состоянию нужно сделать замену:

(5.1)

1. Для трещины нормального отрыва (тип I) решение имеет следующий вид:

;

;

;

, ; (5.2)

;

.

2. Для трещины поперечного сдвига (тип II):

;

;

;

; ; (5.3)

;

.

3. Для трещины продольного сдвига ( тип III ):

; ;

; ; (5.4)

.

, , – величины, характеризующие изменение напряженно-деформированного состояния в вершине трещины, зависящие от геометрии образца и внешних нагрузок, называются коэффициентом интенсивности напряжений соответственно для трещины нормального отрыва (I тип), поперечного (II тип) и продольного (III тип) сдвига.

При радиусе, стремящемся к нулю, ненулевые компоненты тензора напряжений стремятся к бесконечности . Это является следствием решения задачи в упругой постановке. Поля напряжений и деформаций вблизи трещины для каждого вида трещины отличаются только на величину КИН (коэффициент интенсивности напряжений).

2. Частные случаи определения кин.

Задача определения КИН с математической точки зрения не менее сложная, чем задача определения НДС. В настоящее время имеются только несколько аналитических решений для наиболее простых видов трещин (см. справочники по механике разрушений). Остальные частные случаи получены с помощью различных приближенных методов. Рассмотрим несколько частных случаев, конфигурации которых наиболее часто встречаются в технике и широко используются в инженерных расчетах.

I.Трещина нормального отрыва в бесконечной плоскости нагруженная на бесконечности растягивающим усилием (Рис. 3, А).

(5.5)

Формула (5.5) носит название – «решение Ирвина».

Если образец имеет ограничения по внешним размерам, то вводят поправку – , которая называется “К-тарировка”- коэффициент учитывающий форму, внешние размеры образца и характер расположения трещины:

(5.6)

II. Краевая трещина в полубесконечной плоскости (Рис.3, Б):

(5.7) формула (5.7) – «решение Бови».

4. Краевая трещина в бесконечной полосе (Рис. 3, В):

, где (5.8)

, , (5.9)

здесь b – ширина полосы, l – длина трещины. Формула (5.8) – «решение Гросса».

В реальных задачах полоса имеет конечные размеры. Если , то используем «решение Гросса»; иначе необходимо учитывать величину (длину полосы).

5. Центральная трещина в бесконечной полосе (Рис. 3, Г):

(5.10)

формула (5.10) с учетом условия (5.9) носит название «решения Ирвина».

, , (5.11)

формулы (5.11) –«решение Федерсена».

, (5.12)

формула (5.12) – «решение Исиды».

А Б В Г

Рис. 3. – Виды трещин:

А) Трещина нормального отрыва;

Б) Краевая трещина в полубесконечной плоскости;

В) Краевая трещина в бесконечной полосе;

Г) Центральная трещина в бесконечной полосе.

V. Бесконечная полоса с двумя краевыми трещинами (Рис. 4, А):

– «решение Бови». (5.13)

– «решение Ирвина». (5.14)

VI. Круглая трещина в массиве (Рис. 4, Б):

, (5.15)

где - радиус трещины. Формула (5.15) – «решение Снеддона».

VII. Бесконечная плоскость с трещиной поперечного сдвига (Рис. 4, В):

. (5.16)

VIII. Бесконечная плоскость с трещиной продольного сдвига, нагрузка перпендикулярна листу (Рис. 4, Г):

. (5.17)

А Б



2l



В Г

Рис. 4. – Виды трещин:

А) Бесконечная полоса с двумя краевыми трещинами;

Б) Круглая трещина в массиве;

В) Бесконечная плоскость с трещиной продольного сдвига;

Г) Бесконечная плоскость с трещиной поперечного сдвига.

IX. Трещина в бесконечной анизотропной плоскости (Рис. 5, А):

;

; (5.18)

.

X. Асимметричное расклинивающее усилие в плоскости под произвольным углом (Рис. 5, Б). Суперпозиция трех видов трещин.

;

; (5.19)

,

где - расстояние от оси симметрии до точки, в которой сосредоточено произвольное усилие.

а б

Рис. 5. – Виды трещин:

А) Трещина в бесконечной анизотропной плоскости;

Б) Плоская трещина с произвольным усилием, сосредоточенным на берегах трещины.

Задача определения НДС в простейшем случае сводится к следующему: из справочника берется частное решение наиболее близкое к реальному, из него находится КИН, а затем найденное значение подставляем в асимптотические формулы (5.2 – 5.4).