Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим

или ,

где n = v₂ / v₁.

Отсюда искомая разность потенциалов

. (3)

Подставим числовые значения физических величин и вычислим:

.

№ 11. Конденсатор емкостью С₁ = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U₁ = 40 В. После отключения от источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью С₂ = 5мкФ. Какая энергия W´ израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Р е ш е н и е.

Энергия W´, израсходованная на образование искры,

W´ = W₁ – W₂ (1)

где W₁ - энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W₂ - энергия, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов. Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

, (2)

где С - емкость конденсатора или батареи конденсаторов; U -разность потенциалов.

Выразив в формуле (1) энергии W₁ и W₂ по формуле (2) и принимая во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

, (3)

где U₂- разность потенциалов на зажимах батареи параллельно соединенных конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остается прежним, выразим разность потенциалов U₂ следующим образом:

.

Подставим выражение U₂ в формулу (3):

.

После преобразований имеем .

Подставим числовые значения и вычислим W´:

.

№12. Потенциометр с сопро­тивлением R_п = 100 Ом подключен к батарее, э.д.с. которой ε = 160 В и внутреннее сопротивление r = 50 Ом. Определить показание вольтметра с сопротивлением R_v = 500 Ом, соединенным с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра. Какова разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра?

Р е ш е н и е.

Показание U₁ вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис. 8), определяется по формуле

U₁ = I₁ R₁ , (1)

где I₁ - сила тока в неразветвленной части цепи; R₁ сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра.

Силу тока I₁ найдем по закону Ома для всей цепи:

, (2)

где R - сопротивление внешней цепи.

Внешнее сопротивление Rесть сумма двух сопротивлений

, (3)

Сопротивление R₁ параллельного соединения может быть найдено по формуле,откуда .

Подставив числовые значения, найдем

Из выражений (2) и (3) определим силу тока:

.

Если подставить значения I₁ и R₁ в формулу (1), то можно определить показание вольтметра: U₁ = 1,03·45,5 В = 46,9 В.

Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I₂ на половину сопротивления потенциометра: .

Подставляя в эту формулу числовые значения, получим

.

№ 13. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом нарастает в течение времени Δt = 2 с по линейному закону от I₀ = 0 до I₂ = 6 А. Определить теплоту Q, выделившуюся в этом проводнике за вторую секунду.

Р е ш е н и е. Закон Джоуля - Ленца в виде Q = I² R t справедлив только для постоянного тока (I = const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде

dQ = I² R dt. (1)

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В нашем случае

I = k t + I_{0 ,} (2)

где k - коэффициент пропорциональности, численно равный приращению силы тока в единицу времени, т. е.

.

С учетом (2) формула (1) примет вид

dQ = k² R t² dt. (3)

Для определения теплоты, выделившейся за конечный промежуток времени Δt, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от t₁ до t₂:

.

При определении теплоты Q, выделившейся за вторую секунду, пределы интегрирования t₁ = 1 с, t₂ =2 с, тогда

.

№ 14. Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трех сопротивлений и гальванометра (рис. 9). В этой цепи R₁ = 100 Ом, R₂ = 50 Ом, R₃ = 20 Ом, э.д.с. элемента ε₁ = 2 В. Гальванометр регистрирует ток I₃ = 50 мА, идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить э.д.с. ε₂ второго элемента. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.

Указание. Для расчета разветвленных цепей применяются правила Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа. Алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю, т. е.  I_i = 0.

Второе правило Кирхгофа. В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на отдельных участках цепи равна алгебраической сумме э.д.с., в этом контуре.

На основании этих правил можно составить уравнения, необходимые для определения искомых величин (сил токов, сопротивлений и э.д.с.). Применяя правила Кирхгофа, следует соблюдать следующую последовательность.

1. Перед составлением уравнений произвольно выбрать: а) направления токов (если они не заданы по условию задачи) и указать их стрелками на чертеже; б) направление обхода контуров.

2. При составлении уравнений по первому правилу Кирхгофа считать токи, подходящие к узлу, положительными; токи, отходящие от узла, отрицательными. Возможное число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, на единицу меньше числа узлов, содержащихся в цепи.

3. При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа надо считать, что: а) падение напряжения на участке цепи (т.е. произведение IR) входит в уравнение со знаком плюс, если направление тока в данном участке совпадает с выбранным направлением обхода контура; в противном случае произведение IR входит в уравнение со знаком минус; б) э.д.с. входит в уравнение со знаком плюс, если она повышает потенциал в направлении обхода контура, т.е. если при обходе приходится идти от минуса к плюсу внутри источника тока; в противном случае э.д.с. входит в уравнение со знаком минус.

Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму правилу Кирхгофа, должно быть меньше числа замкнутых контуров, имеющихся в цепи. Для составления уравнений первый контур можно выбрать произвольно. Все последующие контуры следует выбирать таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь цепи, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров. Если при решении уравнений, составленных указанным выше способом, получены отрицательные значения силы тока, то это означает, что ток через данное сопротивление в действительности течет в направлении, противоположном выбранному.

Р е ш е н и е.

Выберем направления токов, как они показаны на рис. 9, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.

По первому правилу Кирхгофа для узла Fимеем

I₁ – I₂ – I₃ = 0. (1)

По второму правилу Кирхгофа имеем для контура АВСDFА:

-I₁R₁ – I₂R₂ = -ε₁,

или после умножения обеих частей равенства на -1

I₁ R₁ + I₂ R₂ = ε₁ . (2)

Соответственно для контура AFGHA:

I₁ R₁ + I₃ R₃ = ε₂. (3)

После подстановки числовых значений в формулы (1), (2) и (3) получим:

I₁ – I₂ = 0,05;

50 I₁ + 25 I₂ = 1;

100 I₁ + 0,05·20 = ε₂.

Перенеся в этих уравнениях неизвестные величины в левые части, а известные - в правые, получим следующую систему уравнений:

I₁ – I₂ = 0,05; 50 I₁ + 25 I₂ = 1; 100 I₁ - ε₂ = -1.

Эту систему с тремя неизвестными можно решить обычными приемами алгебры, но так как по условию задачи требуется определить только одно неизвестное ε₂ из трех, то воспользуемся методом Крамера.

Составим и вычислим определитель Δ системы:

.

Составим и вычислим определитель Δε₂:

.

Разделив определитель Δε₂ на определитель Δ, найдем числовое значение э.д.с. ε₂:

ε₂ = -300/(-75) = 4 В.