- •Федеральное агентство морского и речного транспорта
- •Глава 1. Дискретные случайные Величины
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.2. Функция распределения случайной величины
- •1.3. Закон распределения дискретной случайной величины
- •1.4. Функция распределения дискретной случайной величины
- •1.5. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •1.6. Свойства математического ожидания.
- •3. Теорема сложения для математического ожидания.
- •4. Теорема умножения для математического ожидания.
- •1.7. Дисперсия дискретной случайной величины
- •1.8. Свойства дисперсии
- •7. Математическое ожидание и дисперсия среднего арифметического.
- •1.9. Биномиальное распределение
- •1.10. Распределение Пуассона
- •Глава 2. НепрерыВные случайные Величины
- •2.1. Плотность непрерывной случайной величины
- •2.2. Особенность непрерывной случайной величины
- •2.3. Вероятностный смысл плотности распределения
- •2.4. Математическое ожидание непрерывной случайной величины
- •I. Наводящее рассуждение.
- •II. Определение математического ожидания.
- •III. Математическое ожидание функции случайного аргумента.
- •IV. Свойства математического ожидания непрерывной случайной величины.
- •2.5. Дисперсия непрерывной случайной величины
- •2.6. Нормальное распределение
- •2.7. Показательное распределение
- •2.8. Равномерное распределение
- •2.9. Преобразование случайных величин
- •I. Линейное преобразование нормального закона.
- •II. Общий случай преобразования случайной величины.
- •2.10. Вероятность попадания в промежуток для нормального распределения.
- •I. Вероятность попадания в произвольный промежуток.
- •II. Вероятность отклонения от математического ожидания.
- •III. Правило «трех сигм».
- •2.11. Корреляция случайных величин
- •1. Нормированные случайные величины.
- •2. Корреляционный момент.
- •3. Коэффициент корреляции.
- •Глава 3. Закон больших чисел
- •3.1. Первое неравенство Чебышева
- •3.2. Второе неравенство Чебышева
- •3.3. Сходимость по вероятности
- •3.4. Общий закон больших чисел в форме Чебышева.
- •3.5. Частный закон больших чисел в форме Чебышева.
- •3.6. Закон больших чисел в форме я.Бернулли.
- •3.7. Центральная предельная теорема.
- •Глава 4. ДвумеРные случайные Величины
- •4.1. Функция распределения двумерной случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •4.2. Дискретные двумерные случайные величины
- •4.3. Непрерывные двумерные случайные величины
- •Вероятностный смысл плотности
- •4.4. Вероятность попадания случайной точки в заданную область
- •4.5. Свойства плотности непрерывной двумерной случайной величины
- •4.6. Условные законы распределения составляющих
- •I. Случай дискретной двумерной случайной величины.
- •II. Случай непрерывной двумерной случайной величины.
- •4.7. Критерии независимости составляющих
- •Список литературы
- •Оглавление
- •Глава I. Дискретные случайные величины………………...3
- •Глава II. Непрерывные случайные величины ………..…22
- •Глава IV. Двумерные случайные величины ……………………..… 51
- •Ястребов Михаил Юрьевич
1.9. Биномиальное распределение
Определение. Дискретная случайная величина имеетбиномиальное распределение (распределена по биномиальному закону), если ее возможные значения
выражают число успехов виспытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха, а соответствующие вероятности равны вероятностям числа успехов:. Таким образом, закон биномиального распределения имеет вид:
.
Для отыскания числовых характеристик биномиального распределения — математического ожидания и дисперсии — введем вспомогательные случайные величины: —индикатор -го испытания ():
, если в -м испытании имела место неудача;
, если в -м испытании имел место успех.
Случайные величины независимы, поскольку связаны с исходами независимых испытаний, и имеют одинаковые законы распределения. Найдем их числовые характеристики:
;
.
Исходная случайная величина (число успехов) равна сумме индикаторов:(в сумме справа столько единиц, сколько раз виспытаниях имел место успех, а остальные слагаемые равны нулю).
По свойствам математического ожидания и дисперсии:
;
.
Итак, для случайной величины , имеющей биномиальное распределение,
.
1.10. Распределение Пуассона
Определение. Дискретная случайная величина с бесконечным множеством значений распределена по закону Пуассона с параметром , если она принимает значения с вероятностями
.
Распределение Пуассона имеют случайные величины, описывающие, например, работу АТС (пример системы массового обслуживания), катодную эмиссию электронов.
Найдем математическое ожидание и дисперсию распределения Пуассона, имея в виду, что
— ряд Маклорена для показательной функции.
1) . Первое слагаемое ряда равно нулю из-за множителя; далее, припосле сокращения в каждом слагаемом ряда получаем:. Поэтому, вынося постоянный множительза знак ряда, получаем:
.
2) Используем для вычисления дисперсии формулу (7) и уже известное значение математического ожидания.
.
Случайная величина имеет закон распределения
.
Поэтому
.
Каждую дробь в скобках представляем в виде суммы двух слагаемых:
; ; …;
и т. д.
Группируя сначала все первые слагаемые, а затем из суммы вторых слагаемых вынося общий множитель , получаем:
.
Отсюда по формуле (7): .
Итак, для случайной величины , имеющей распределение Пуассона с параметром: .
Глава 2. НепрерыВные случайные Величины
2.1. Плотность непрерывной случайной величины
Напомним, что функция распределения случайной величиныопределяется формулой:.
Определение. Случайная величина называетсянепрерывной, если существует неотрицательная кусочно–непрерывная функция , интегрируемая наи такая, что функция распределения представима в виде интеграла с переменным верхним пределом:
.
Функция называется в этом случаеплотностью распределения случайной величины.
Свойства плотности распределения.
1. В точках непрерывности плотность является производной функции распределения:
. (9)
В случае, когда плотность непрерывна на всей числовой оси, это следует из теоремы о производной интеграла с переменным верхним пределом [12]. ▄
Следствие. В точках непрерывности плотности функция распределениядифференцируема (а значит, и непрерывна) и является первообразной для плотности.
2. . (10)
Доказательство. По определению несобственного интеграла
. ▄
3. Для непрерывной случайной величины вероятность принять значение из полуоткрытого промежутка («вероятность попадания в промежуток») равна интегралу от плотности по этому промежутку:
. (11)
Доказательство. По свойству функции распределения:
▄
Замечание. Поскольку определенный интеграл в формуле (11) равен площади криволинейной трапеции для плотности , то при одинаковой длине промежутков больше вероятность попадания в тот из них, у которого больше площадь соответствующей криволинейной трапеции. Так, для плотности, график которой изображен на рис. 3, вероятность попадания в промежутокбольше, чем вероятность попадания в промежуток.
p(x)
0
1
2 3 4 x
Рис.3.