- •Федеральное агентство морского и речного транспорта
- •Глава 1. Дискретные случайные Величины
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.2. Функция распределения случайной величины
- •1.3. Закон распределения дискретной случайной величины
- •1.4. Функция распределения дискретной случайной величины
- •1.5. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •1.6. Свойства математического ожидания.
- •3. Теорема сложения для математического ожидания.
- •4. Теорема умножения для математического ожидания.
- •1.7. Дисперсия дискретной случайной величины
- •1.8. Свойства дисперсии
- •7. Математическое ожидание и дисперсия среднего арифметического.
- •1.9. Биномиальное распределение
- •1.10. Распределение Пуассона
- •Глава 2. НепрерыВные случайные Величины
- •2.1. Плотность непрерывной случайной величины
- •2.2. Особенность непрерывной случайной величины
- •2.3. Вероятностный смысл плотности распределения
- •2.4. Математическое ожидание непрерывной случайной величины
- •I. Наводящее рассуждение.
- •II. Определение математического ожидания.
- •III. Математическое ожидание функции случайного аргумента.
- •IV. Свойства математического ожидания непрерывной случайной величины.
- •2.5. Дисперсия непрерывной случайной величины
- •2.6. Нормальное распределение
- •2.7. Показательное распределение
- •2.8. Равномерное распределение
- •2.9. Преобразование случайных величин
- •I. Линейное преобразование нормального закона.
- •II. Общий случай преобразования случайной величины.
- •2.10. Вероятность попадания в промежуток для нормального распределения.
- •I. Вероятность попадания в произвольный промежуток.
- •II. Вероятность отклонения от математического ожидания.
- •III. Правило «трех сигм».
- •2.11. Корреляция случайных величин
- •1. Нормированные случайные величины.
- •2. Корреляционный момент.
- •3. Коэффициент корреляции.
- •Глава 3. Закон больших чисел
- •3.1. Первое неравенство Чебышева
- •3.2. Второе неравенство Чебышева
- •3.3. Сходимость по вероятности
- •3.4. Общий закон больших чисел в форме Чебышева.
- •3.5. Частный закон больших чисел в форме Чебышева.
- •3.6. Закон больших чисел в форме я.Бернулли.
- •3.7. Центральная предельная теорема.
- •Глава 4. ДвумеРные случайные Величины
- •4.1. Функция распределения двумерной случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •4.2. Дискретные двумерные случайные величины
- •4.3. Непрерывные двумерные случайные величины
- •Вероятностный смысл плотности
- •4.4. Вероятность попадания случайной точки в заданную область
- •4.5. Свойства плотности непрерывной двумерной случайной величины
- •4.6. Условные законы распределения составляющих
- •I. Случай дискретной двумерной случайной величины.
- •II. Случай непрерывной двумерной случайной величины.
- •4.7. Критерии независимости составляющих
- •Список литературы
- •Оглавление
- •Глава I. Дискретные случайные величины………………...3
- •Глава II. Непрерывные случайные величины ………..…22
- •Глава IV. Двумерные случайные величины ……………………..… 51
- •Ястребов Михаил Юрьевич
1.3. Закон распределения дискретной случайной величины
Определение. Случайная величина называется дискретной, если все ее возможные значения можно представить в виде конечной или бесконечной последовательности: .
Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называется таблица (конечная или бесконечная), содержащая все ее возможные значенияи вероятности принятия этих значений:
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
… |
|
… |
Будем обозначать закон распределения также в виде:
или .
Примеры. 1. Испытание: бросание игральной кости. Случайная величина — количество выпавших очков. Возможные значения — числа. Для каждого из этих значений схема равновозможных исходов дает вероятность 1/6. Закон распределения имеет вид:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
2. Испытание: три раза бросается монета. Случайная величина — количество выпадений герба. Возможные значения – числа. Вероятности значений находятся по схеме Бернулли как вероятности числа успехов (см. [13], п. 3.11), где вероятность успеха в отдельном испытании, вероятность неудачи:
;
;
;
.
Закон распределения имеет вид:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
1/8 |
3/8 |
3/8 |
1/8 |
3. Испытание: Стрельба по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при отдельном выстреле равна . Случайная величина— количество произведенных выстрелов. Возможные значения:; множество значений бесконечно. Найдем вероятности этих значений, считая результаты отдельных выстрелов независимыми событиями.
Если первое попадание произошло при -м выстреле, то первыевыстрелов были промахами, а последний,-й, — попаданием. Введем события— попадание при-м выстреле (), так что
.
Тогда по теореме умножения для независимых событий (см. [13], п. 3.8):
.
Теорема. Сумма вероятностей закона распределения дискретной случайной величины равна :
. (1)
(если множество возможных значений бесконечна, то сумма в (1) понимается как сумма ряда, то есть как предел частичных сумм).
Доказательство. События при разных попарно несовместны. Поскольку одно из возможных значений обязательно реализуется в результате испытания, то. Тогда
. ▄
1.4. Функция распределения дискретной случайной величины
Рассмотрим задачу нахождения функции распределения дискретной случайной величинына примере следующего закона распределения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Четыре возможных значения случайной величины разбивают числовую ось на пять промежутков. Рассмотрим поочередно возможные случаи расположения аргумента .
1. Если , то событиеявляется невозможным, в том числе и для крайней точки промежутка. Поэтому.
2. Если , то событиесовпадает с событием, поскольку левееимеется лишь одно возможное значение случайной величины, а именно,. Значит,
.
3. Если , то событиеозначает, чтоили, поскольку левееимеются только два возможных значения случайной величины. Таким образом, имеем для этого случая:— сумма несовместных событий. Значит,
.
4. Если , то событиеозначает, что, или, или, поскольку левееимеются три указанных значения. Таким образом, в этом случае:
— сумма попарно несовместных событий. Значит,
.
5. Наконец, при событиеявляется достоверным, поскольку все возможные значения случайной величины лежат левее. Следовательно,
.
Итак, график функции распределения имеет ступенчатый характер (рис. 2). Точка на правом конце каждой «ступеньки» означает, что именно на ней находится точка графика с данной абсциссой. Наоборот, стрелка на левом конце указывает, что крайняя левая точка «выколота». Таким образом, значения функции вблизи слева от аргумента совпадают со значением функции в самой точке, и, значит, имеют место непрерывность слева и разрыв первого рода (скачок) справа.
Рис.2.
График на рис. 2 наглядно иллюстрирует общие свойства функции распределения, описанные в п.1.2.