- •Федеральное агентство морского и речного транспорта
- •Глава 1. Дискретные случайные Величины
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.2. Функция распределения случайной величины
- •1.3. Закон распределения дискретной случайной величины
- •1.4. Функция распределения дискретной случайной величины
- •1.5. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •1.6. Свойства математического ожидания.
- •3. Теорема сложения для математического ожидания.
- •4. Теорема умножения для математического ожидания.
- •1.7. Дисперсия дискретной случайной величины
- •1.8. Свойства дисперсии
- •7. Математическое ожидание и дисперсия среднего арифметического.
- •1.9. Биномиальное распределение
- •1.10. Распределение Пуассона
- •Глава 2. НепрерыВные случайные Величины
- •2.1. Плотность непрерывной случайной величины
- •2.2. Особенность непрерывной случайной величины
- •2.3. Вероятностный смысл плотности распределения
- •2.4. Математическое ожидание непрерывной случайной величины
- •I. Наводящее рассуждение.
- •II. Определение математического ожидания.
- •III. Математическое ожидание функции случайного аргумента.
- •IV. Свойства математического ожидания непрерывной случайной величины.
- •2.5. Дисперсия непрерывной случайной величины
- •2.6. Нормальное распределение
- •2.7. Показательное распределение
- •2.8. Равномерное распределение
- •2.9. Преобразование случайных величин
- •I. Линейное преобразование нормального закона.
- •II. Общий случай преобразования случайной величины.
- •2.10. Вероятность попадания в промежуток для нормального распределения.
- •I. Вероятность попадания в произвольный промежуток.
- •II. Вероятность отклонения от математического ожидания.
- •III. Правило «трех сигм».
- •2.11. Корреляция случайных величин
- •1. Нормированные случайные величины.
- •2. Корреляционный момент.
- •3. Коэффициент корреляции.
- •Глава 3. Закон больших чисел
- •3.1. Первое неравенство Чебышева
- •3.2. Второе неравенство Чебышева
- •3.3. Сходимость по вероятности
- •3.4. Общий закон больших чисел в форме Чебышева.
- •3.5. Частный закон больших чисел в форме Чебышева.
- •3.6. Закон больших чисел в форме я.Бернулли.
- •3.7. Центральная предельная теорема.
- •Глава 4. ДвумеРные случайные Величины
- •4.1. Функция распределения двумерной случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •4.2. Дискретные двумерные случайные величины
- •4.3. Непрерывные двумерные случайные величины
- •Вероятностный смысл плотности
- •4.4. Вероятность попадания случайной точки в заданную область
- •4.5. Свойства плотности непрерывной двумерной случайной величины
- •4.6. Условные законы распределения составляющих
- •I. Случай дискретной двумерной случайной величины.
- •II. Случай непрерывной двумерной случайной величины.
- •4.7. Критерии независимости составляющих
- •Список литературы
- •Оглавление
- •Глава I. Дискретные случайные величины………………...3
- •Глава II. Непрерывные случайные величины ………..…22
- •Глава IV. Двумерные случайные величины ……………………..… 51
- •Ястребов Михаил Юрьевич
II. Вероятность отклонения от математического ожидания.
Теорема. Пусть непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение с параметрамии. Тогда для всякоговероятность отклонения значенияот математического ожиданияпо модулю меньше чем на, задается формулой:
. (20)
Доказательство. Применим формулу (19) при
, так что . Поскольку функцияявляется нечетной, то
. ▄
Пример. Пусть имеет нормальное распределение, и. Найдем привероятность отклонения от математического ожидания:
.
III. Правило «трех сигм».
Применим последнюю теорему и формулу (20) к отклонению . При этом
.
Итак, для нормально распределенной случайной величины с параметрами ивероятность отклонения реализованного значения от математического ожидания менее чем на, приближенно равна. Во многих практических ситуациях случайное событие с такой вероятностью принято считать практически достоверным.
Поэтому полагают, что практически все реализуемые значения нормально распределенной случайной величины с параметрами ипопадают в интервал. В этом и заключается «правило трех сигм».
2.11. Корреляция случайных величин
1. Нормированные случайные величины.
Определение. Случайная величина называетсяцентрированной, если она имеет математическое ожидание, равное нулю: .
Пример. Случайная величина , распределенная по нормальному закону с параметрамии, является центрированной, поскольку.
Напомним, что для случайной величины , имеющей математическое ожидание, случайная величинаназываетсяотклонением (отклонением от математического ожидания).
Теорема. Отклонение является центрированной случайной величиной.
Доказательство. По свойствам математического ожидания:
. ▄
Определение. Случайная величина называетсянормированной, если она имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию, равную единице: .
Теорема. Для случайной величины , у которой,(так что— среднеквадратическое отклонение), случайная величина
(21)
является нормированной.
Доказательство. По свойствам математического ожидания и дисперсии:
;
. ▄
Теорема. Для нормированной случайной величины справедлива формула:
. (22)
Доказательство. По формуле разности математических ожиданий (7):
. ▄
2. Корреляционный момент.
Определение. Пусть случайные величины иимеют математические ожиданияи. Их корреляционным моментомназывается математическое ожидание произведения отклонений:
.
Определение. 1. Случайные величины иназываютсякоррелированными, если их корреляционный момент не равен нулю: .
2. Случайные величины иназываютсянекоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю: .
Теорема. Если случайные величины инезависимы, то их корреляционный момент равен нулю:.
Доказательство. По свойствам математического ожидания:
(последнее равенство имеет место по теореме умножения для математических ожиданий независимых случайных величин). ▄
Следствие. Если случайные величины иявляются коррелированными, то они зависимы.
3. Коэффициент корреляции.
Определение. Коэффициентом корреляции случайных величин и, имеющих корреляционный моменти средние квадратические отклонения, называется число
.
В то время как корреляционный момент является размерной величиной, значение которой зависит от выбора единиц измеренияи, коэффициент корреляцииявляется безразмерной величиной.
Теорема (об оценке коэффициента корреляции). Справедливо неравенство:
.
Доказательство. Пусть и– соответствующие нормированные случайные величины, полученные по формуле (21). Тогда, внося постоянные множители под знак математического ожидания, имеем:
. (23)
Применим к дисперсии формулу разности математических ожиданий (7):
(применим формулу (22) к первому и третьему слагаемым, формулу (23) — ко второму)
.
Итак, . ▄
Замечание. В ходе доказательства для нормированных случайных величин установлено равенство:
. (24)
Теорема (необходимое условие независимости). Если
случайные величины инезависимы, то.
Доказательство. Поскольку инезависимы, то
. ▄
Теорема (критерий линейной связи). Для того чтобы случайные величины ибыли связаны функциональной линейной зависимостью вида, необходимо и достаточно выполнение условия.
Доказательство. 1. Необходимость. Пусть ; по свойствам математического ожидания и дисперсии:
;
.
Теперь
.
2. Достаточность. Пусть , то есть. Если, например,, то с учетом (24):
,
так что . Тогда, по свойству дисперсии
, то есть
.
Остается положить
; . ▄