Задания для СРС по механике 2015

В.С.Волькенштейн:

Задание № 7 Законы сохранения

И.Е.Иродов:

1.91. Небольшое тело А начинает скользить с вершины гладкой сферы радиуса R. Найти угол θ между вертикалью и радиусом-вектором, характеризующим положение тела А относительно центра сферы в момент отрыва от нее, а также скорость тела в этот момент.

1.118. Плот массы М с человеком массы m покоится на поверхности пруда.

Относительно плота человек совершает перемещение l′со скоростью v ′ и останавливается. Пренебрегая сопротивлением воды, найти:

а) перемещение l плота относительно берега;

б) горизонтальную составляющую силы, с которой человек действовал на плот в процессе движения.

1.144. Небольшое тело массы m медленно втащили на горку, действуя силой F, которая в каждой точке направлена по касательной к траектории (рис. 1.26). Найти работу этой силы, если высота горки h, длина ее основания l и коэффициент трения k.

1.159. Небольшая шайба А соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высотой H, имеющей горизонтальный трамплин (рис. 1.27). При какой высоте h трамплина шайба пролетит наибольшее расстояние S? Чему оно равно?

1.160. Небольшое тело А начинает скользить с высоты h по наклонному желобу, переходящему в полуокружность радиуса h/2 (рис. 1.28). Пренебрегая трением, найти скорость тела в наивысшей точке его траектории (после отрыва от желоба).

1.173. На гладкой горизонтальной плоскости находятся два бруска с массами m1 и m2 , соединенные пружинкой жесткости κ (рис. 1.33). Брусок 2 переместили влево на небольшое расстояние х и отпустили. Найти скорость центра масс системы после отрыва бруска 1 от стенки.

1.176. Летевшая горизонтально пуля массы m попала в тело массы М, которое подвешено на двух одинаковых нитях длины l (рис. 1.36), и застряла в нем, В результате нити отклонились на угол θ. Считая m << М, найти:

а) скорость пули перед попаданием в тело; б) относительную долю первоначальной кинетической

энергии пули, которая перешла во внутреннюю энергию.

В.С.Волькенштейн:

Задание № 8 Столкновения

И.Е.Иродов:

1.124. Снаряд, выпущенный со скоростью v0 =100м/ с под углом α = 45O к

горизонту, разорвался в верхней точке О траектории на два одинаковых осколка. Один осколок упал на землю под точкой О со скоростью v1 = 97 м/ с. С какой скоростью упал на землю второй осколок?

1.183. Частица массы m1 испытала упругое столкновение с покоившейся частицей массы m2 . Какую относительную часть кинетической энергии потеряла налетающая частица, если:

а) она отскочила под прямым углом к своему первоначальному направлению движения;

б) столкновение лобовое?

1.188. Снаряд, летящий со скоростью v = 500м/ с , разрывается на три одинаковых осколка так, что кинетическая энергия системы увеличивается в η = 1,5 раза. Какую максимальную скорость может иметь один из осколков?

1.191. Замкнутая система состоит из двух частиц с массами m1 и m2 , движущихся под прямым углом друг к другу со скоростями v1 и v2 . Найти в системе их центра масс:

а) импульс каждой частицы; б) суммарную кинетическую энергию обеих частиц.

1.194. Молекула испытала столкновение с другой, покоившейся молекулой той же массы. Показать, что угол между направлениями разлета молекул:

а) равен 90º, если соударение упругое; б) отличен от 90°, если соударение неупругое.

1.199. Шайба А массы m, скользя по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью v , испытала в точке О (рис. 1.42, вид сверху) упругое столкновение с гладкой неподвижной стенкой. Угол между направлением движения шайбы и нормалью к стенке ранен α. Найти:

а) точки, относительно которых момент импульса М шайбы остается постоянным в этом процессе;

б) модуль приращения момента импульса шайбы относительно точки О', которая находятся в плоскости движения шайбы на расстоянии l от точки О.

В.С.Волькенштейн:

Задание № 9 Движение в гравитационном поле

И.Е.Иродов:

1.215. Некоторая планета массы М движется по окружности вокруг Солнца со скоростью v = 34,9 км/с (относительно гелиоцентрической системы отсчета). Найти период обращения этой планеты вокруг Солнца.

1.217. Планета массы М движется вокруг Солнца по эллипсу так, что минимальное расстояние между ней и Солнцем равно r1 а максимальное г2, Найти с помощью третьего закона Кеплера период обращения ее вокруг Солнца.

1.219. Небольшое тело начинает падать на Солнце с расстояния, равного радиусу земной орбиты. Найти с помощью третьего закона Кеплера продолжительность падения.

1.222. Двойная звезда - это система из двух звезд, движущихся вокруг ее центра масс. Известны расстояние l между компонентами двойной звезды и период Т ее вращения. Считая, что l не меняется, найти массу системы.

1.223. Планета массы m движется по эллипсу вокруг Солнца так, что наименьшее и наибольшее расстояния ее от Солнца равны соответственно г1 и г2. Найти момент импульса М этой планеты относительно центра Солнца.

1.226. Космическое тело А движется к Солнцу С, имея

R

вдали от него скорость v0 и прицельный параметр l - плечо

R

вектора v0 относительно центра Солнца (рис. 1.48). Найти

наименьшее расстояние, на которое это тело приблизится к Солнцу.

В.С.Волькенштейн:

Задание № 10 Неинерциальные системы отсчета

И.Е.Иродов:

1.110. Человек массы m = 60 кг идет равномерно по периферии горизонтальной круглой платформы радиуса R = 3,0 м, которую вращают с угловой скоростью ω = 1,00 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Найти горизонтальную составляющую силы, действующей на человека со стороны платформы, если результирующая сил инерции, приложенных к нему в системе отсчета "платформа", равна нулю.

1.111. Поезд массы m = 2000 т движется на северной широте φ = 60°. Определить: а) модуль и направление силы бокового давления поезда на рельсы, если он движется вдоль меридиана со скоростью v = 54 км/ч;

б) в каком направлении и с какой скоростью должен был бы двигаться поезд, чтобы результирующая сил инерции, действующих на поезд в системе отсчета "Земля", была равна нулю.

1.112. Гладкий горизонтальный диск вращают с угловой скоростью ω = 5,0 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. В центре диска поместили небольшую шайбу массой m = 60 г и сообщили ей толчком горизонтальную скорость v0 = 2,6 м/с. Найти модуль силы Кориолиса, действующей на шайбу в системе отсчета "диск" через t = 0,50 с после начала ее движения.

1.116. На экваторе с высоты h = 500 м на поверхность Земли падает тело (без начальной скорости относительно Земли). На какое расстояние и в какую сторону отклонится от вертикали тело при падении?

В.С.Волькенштейн:

Задание № 11 Момент инерции. Динамика твердого тела

И.Е.Иродов:

1.258. Найти момент инерции тонкого проволочного кольца радиуса R и массы m относительно оси, совпадающей с его диаметром.

1.260. Однородный диск радиуса R имеет круглый вырез (рис. 1.53). Масса оставшейся (заштрихованной) части диска равна m. Найти момент инерции такого диска относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей:

а) через точку О; б) через его центр масс.

1.263. На однородный сплошной цилиндр массы М и радиуса R плотно намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массы m (рис. 1.55). В момент t = 0 система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени:

а) модуля угловой скорости цилиндра; б) кинетической энергии всей системы.

1.266. В установке (рис. 1.56) известны масса m однородного сплошного цилиндра, его радиус R и массы тел m1, и m2. Скольжения нити и трения в оси цилиндра нет. Найти угловое ускорение цилиндра и

1.268. Однородный сплошной цилиндр радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости ω0 и затем поместили в угол (рис.

1.58). Коэффициент трения между цилиндром и стенками равен k. Сколько времени цилиндр будет вращаться в этом положении?

1.281. Два горизонтальных диска свободно вращаются вокруг вертикальной оси, проходящей через их центры. Моменты инерции дисков относительно

этой оси J1 и J 2 , угловые скорости ωR1 и ωR2 . После падения верхнего диска на нижний оба диска из-за трения между ними начали через некоторое время вращаться как единое целое. Найти:

а) установившуюся угловую скорость вращения дисков; б) работу, которую совершили при этом силы трения.