Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика

Бағалар. Бағалардың сұрыптамасы (ығыстырылмағандық, тиянақтылық, эффективтілік). 11

Бернулли схемасы. Бернулли формулалары. Муавр –Лаплас теоремалары. Пуассон жуықтау формуласы. 5

Кездейсоқ шамалар. Кездейсоқ шаманың үлестірім заңы мен функциясы. Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалар.6

Кездейсоқ шаманың математикалық күтімі мен дисперсиясы. Қасиеттері.7

Ковариация. Корреляция коэффициенті. Қасиеттері.8

Комбинаторика элементтері. Жәшіктен шарлар таңдаудың әртүрлі схемалары.1

Нормаль үлестірім параметрлері үшін сенімділік интервалдары.12

Орталық шектік теорема.9

Тәуелсіз оқиғалар. Мысалдар.4

Толық ықтималдықтар формуласы. Байес формулалары.3

Шартты ықтималдық. Ықтималдықтарды көбейту формуласы.2

Эмпирикалық үлестірім функциясы. Таңдамалық орта және таңдамалық дисперсия.10

1. Комбинаторика элементтері. Жәшіктен шарлар таңдаудың әртүрлі схемалары.

n компонентті комбинация деп n-дік деп

түрінде ашылып жазылатын элементін айтады. – бұл комбинациясының i-нші компоненті деп аталады.

Теорема(комбинаториканың негізгі ережесі) n оң бүтін саны берілсін. түріндегі әртүрлі комбинациялардан тұратын Х жиыны беріліп, келесі шарттар орындалса:

• Х жиынындағы барлық комбинацияларды қарастырғанда, олардың компоненті әр түрлі мән қабылдай алатын болса,

(n.......... n-1) компоненттері бекітілген барлық комбинацияларды бөліп қарастырғанда, олардың компоненті әр түрлі мән қабылдай алатын болса, және саны -дің барлық бекітулерінде бірдей болса,онда берілген Х жиынындағы барлық комбинацияларының саны көбейтіндісіне тең болады.

Қайталанымсыз комбинациялар. Бұл жағдайда бас жиынтықтан алынған элемент кері қайтарылмайды. Көлемі n-ге тең бас жиынтық алынған көлемі r-ге тең қайталанымсыз таңдамалардың сандарын табамыз

Жәшіктен шар таңдау схемасындағы нәтижелер.Қайтарымсыз,реттелген.

Теорема 1. Жалпы таңдалынатын шар саны  болатынжәшік элементтен алынатын болсын,онда қайтарымсыз реттелген шарлар саны

 орналастырулар саны дейміз.

Дәлелдеу. Бірінші шарды  мүмкіндікпен аламыз. Келесі екінші шарды таңдау  ,және т.б.теорема бірді қолдана отырып, дәл  сан шар аламыз. Барлық мүмкіндіктерді көбейте отырып, соңында шар санын аламыз. Осыған сәйкесэлементтен тек !ауыстырулар мүмкін болады.Доказательство. Ауыстырулар- қайтарымсыз элементтенэлемент рет-ретімен орналасуы. Олардың саны !

Қайтарымсыз және ретсіз.Теорема 2. Жәшіктен   шар - нан қайтарымсыз және ретсіз алынатын болса, саны деп,

айтамыз.

Қайтарымды және ретпен.Теорема 4.  шаршарлардан алынғандақайтарымды және реттілігі сақталса, қайтарымды және реті сақталған терулер саны.

Доказательство. Бірінші шар  мүмкіндікпен алынады. Әрбір шарды алу барысында мүмкіндік болады,  осылай рет . Барлығы .

Теорема 5. Қайтарымды түрде шарды   элементтен алғанда төмендегідей жалпы санын береді:

Мысал-1 . А={1; 2; 3; 4; 5} жиыны берілген.А жиынының элементтерін қалданып неше тәсілмен а) бір орынды; б) екі орынды; в) үш орынды; г) төрт орынды санды құруға болады? (цифрлары қайталанбайтын болса)

Шешуі: а) Бір орынды санды бес тәсілмен алуға болатыны анық көрініп тұр:1, 2, 3, 4, 5. Шындығында, 5 элементтен 1 элемент алу, демек=бір орынды сан.

б) Екі орынды сан - 5 элементтен 2 элемент алу (алмастыру), =екі орынды сан.

в) =үш орынды сан.

г)

2.Шартты ықтималдық. Ықтималдықтарды көбейту формуласы.

Сынақ жүргізу барысында қандай да бір А оқиғасының болуына В оқығасының болуы қалай әсер ететіні туралы сұрақ туындайды. Осы екі оқиғаның арасындағы байланысқа қарапайым мысалдар: В оқиғасының болуы А оқиғасының болуына міндетті түрде алып келеді немесе В оқиғасының болуы А оқиғасының болмауына алып келеді. Ықтималдықтар теориясында А және В оқиғаларының арасындағы байланыс шартты ықтималдық ретінде сипатталады. Ол P(A|B) А оқиғасы В оқиғасы орындалған кезде:

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

Анықтама: - қандайда бір ықтималдық кеңістік . А,В – оқиғалар,.

В орындалады деп ұйғарғандағы А оқиғасының шартты ықтималдығы деп санын айтады және оныдеп белгілейді .

Шартты ықтималдық қарапайым ықтималдық қасиеттерінің бәріне ие:

• 

• Егер ,

• Егер ,

• Егер А қиылыспайтын А₁ , А₂ , А₃... оқиғалардың бірігуі болса,

онда

1-мысал. Қызыл және қара түсті екі ойын сүйегі бір мезгілде лақтырылады.

а) түсетін ұпайлардың қосындысы 8 болу ықтималдығын табу керек

б) қызыл сүйекте жұп ұпай түседі деп есептеп, түсетін ұпайлардың қосындысы 8 болу ықтималдығын қайта есепте Шешуі:

А) - қызылда , - қарада түскен ұпай

6, , Ықтималдықтың классикалық анықтамасын қолданамыз

б) ,, , ,,- В оқиғасы орындалады деп ұйғарғандағы А оқиғасының

шартты ықтималдығы деп аталады Мұндағы А оқиғасының а) пунктіндегі есептелген ықтималдығы шартсыз ықтималдық деп аталады , ал б) пунктіндегі есептелген ықтималдығы шартты ықтималдық деп аталады .Ықтималдықтарды көбейту формуласы

(1)-ден

Сол сияқты

Бұл формулалар екі оқиға үшін ықтималдықты көбейту формулалары деп аталады. А,В,С- үш оқиға үшін ықтималдықты көбейту формулаласы

болады.

- оқиғалары үшін ықтималдықты көбейту формулаласы

3.Толық ықтималдықтар формуласы. Байес формулалары.

Анықтама: - ықтималдық кеңістік . А – оқиғасы берілген .

Онда 1)

2)ø

шарттарын қанағаттандыратын үшін

(1)

теңдеуі орындалады.(1)- толық ықтималдықтар формуласы .

Жоғарыдағы шарттар орындалғанда (1) формуласымен қатар келесі формулада орындалады

(2)

(2) – Байес формуласы .

Есептер шығарғанда сынақ және А оқиғасы есептің шарттарында беріледі. гипотезаларын сынақтың берілгеніне қарай өзіміз таңдаймыз.

1-мысал.

25 емтихан билеттерінің бесеуі “жақсы ” . Екі студент бір-бір билеттен алады. Екінші студенттің “жақсы ” билет алу ықтималдығын табу керек.

Шешуі: Сынақ- екі студенттің бірінен соң бірі бір-бір билеттен алуы .

Оқиға- А={екінші студенттің “жақсы ” билет алуы }

Гипотезалар ( көмекші оқиғалар ):

={бірінші студенттің “жақсы ” билет алуы }

={ бірінші студенттің “жақсы ” билет алмауы }

- ?

Бұларды толық ықтималдықтар формуласына қоямыз .

, ,,

2-мысал.

Жоғарыдағы сынақта екінші студенттің “жақсы ” билет алғаны белгілі болса, бірінші студенттің “жақсы ” билет алу ықтималдығы.

Шешуі: Байес формуласы бойынша шығады