MuratovSamoylenko

Доказательство. Действительно, в силу свойств мультипликативного базиса имеем

X 2

[Ekr] + [Erk] + [Eii] =

Утверждение 3.3.5. Матричные единицы [Ekk] è [Err] подобны.

Доказательство. Если k = r, то утверждение очевидно. Пусть k 6= r. Рассмотрим матрицу

= [Erk][Ekk][Ekr] = [Err]:

3.3.2Простота алгебры Mn(C)

Определение 3.3.6. Алгебра A называется простой, если она не содержит нетривиальных двусторонних идеалов.

51

Утверждение 3.3.7. Алгебра Mn(C) является простой.

Доказательство. Пусть J двусторонний идеал в алгебре Mn(C) è [A] = k jkk 2 J ненулевая матрица. Допустим, что элемент sq 6= 0. Тогда при любых r; t = 1; : : : ; n

n

X

[Ers][A][Eqt] = [Ers][A][Eqt] = [Ers] ij[Eij] [Eqt] = sq[Ert]:

i;j=1

Так как J двусторонний идеал в алгебре Mn(C), [A] 2 J, а матрицы [Ers] è [Eqt] принадлежат Mn(C), òî

[Ers][A][Eqt] = sq[Ert] 2 J:

Но матрицы f[Ert]; r; t = 1; : : : ; ng образуют базис в Mn(C). Поэтому J = Mn(C). Таким образом, алгебра Mn(C) не имеет собственных двусторонних идеалов и следовательно, она простая.

Следствие 3.3.8. Алгебра B(V) является простой.

Доказательство. Так как при dim V = n алгебра B(V) изоморфна алгебре Mn(C), то в силу утверждения 3.3.7, алгебра B(V) простая.

3.3.3Автоморфизмы алгебры Mn(C)

Определение 3.3.9. Автоморфизм : A ! A алгебры A с единицей называется внутренним, если существует такой обратимый элемент c 2 A, что для любого a 2 A выполняется равенство:

В частности,

[Fkk][Fjj] = kj[Fkj] = kj[Fkk] = kj[Fjj]:

52

n

2). Пусть f 2 Cn ненулевой вектор. Так как P[Fkk] = I, òî ñóùå-

k=1

ствует такой номер p, 1 6 p 6 n, что [Fpp]f 6= 0.

Для каждого j = 1, . . . , n обозначим fj = [Fjp]f и покажем, что ffjgnj=1базис в Cn.

Действительно, [Fpj]fj = [Fpj][Fjp]f = [Fpp]f 6= 0. Поэтому fj 6= 0 для любого j = 1, . . . , n.

nn

XX

перехода от базиса fejgj=1 к базису ffjgj=1. Тогда [C]ej = fj и матрица [C] обратима. Следовательно,

[Fri][C]ej = [Fri]fj = [Fri][Fjp]f = ij[Frp]f = ijfr = ij[C]er:

Поэтому

[C] 1[Fri][C]ej = ijer:

Íî ijer = [Eri]ej. Таким образом,

[C] 1[Fri][C]ej = [Eri]ej;

и потому [C] 1[Fri][C] = [Eri]. Следовательно

'([Eri]) = [Fri] = [C][Eri][C] 1;

и значит, для любого [A] 2 Mn(C) '([A]) = [C][A][C] 1; т.е. автоморфизм ': Mn(C) ! Mn(C) является внутренним.

3.3.4Центр Z(M(C)) алгебры Mn(C)

Для любых [A] 2 Mn(C) è 2 C

[ I][A] = [A][ I]:

Следовательно, [ I] 2 Z(Mn(C)). Как показывает следующая теорема, других элементов центр Z(Mn(C)) не содержит.

53

Теорема 3.3.11. Z(M(C)) = f I : 2 Cg:

Таким образом, в матрице [B][Eij] все столбцы, кроме j-го, нулевые, а j-й столбец совпадает с i-м столбцом матрицы [B]. B свою очередь, в матрице

[Eij][B] все строки, кроме i-й, нулевые, а i-я строка совпадает с j-й строкой матрицы [B]. Так как [B][Eij] = [Eij][B], òî bij = 0 для любых i 6= j и bii = bjj = для любых i, j = 1, . . . , n. Следовательно, [B] = [ I].

3.3.5Коммутативные подалгебры алгебры Mn(C)

54

Если размерность n = 2k + 1 нечетная, то матрицы [A] из L2k+1 имеют âèä

то размерность подпространства dim Ln равна [n42 ]. Произведение любых двух матриц [A]; [B] 2 Ln равно нулю, поэтому Ln коммутативная по-

далгебра в Mn(C). Добавляя к Ln скалярные матрицы I, 2 C, мы получим коммутативную подалгебру A алгебры Mn(C)

A = Ln [ fCIg;

размерность которой равна dim A = [n42 ] + 1:

Замечание 3.3.12. Оказывается, что построенная коммутативная подалгебра имеет максимальную возможную размерность (теорема И.Шура): в

пособии II(L) мы приведем доказательство того, что максимальная размерность коммутативной подалгебры B Mn(C) равна [n42 ] + 1.

55

Глава 4

Инвариантные подпространства линейного оператора

4.1Инвариантные подпространства линейного оператора и матрицы

Определение 4.1.1. Линейное подпространство M V называется инвариантным подпространством линейного оператора A 2 B(V), если

AM M;

т.е. если Ax 2 M для любого x 2 M.

Для любого оператора A 2 B(V) все пространство V и нулевое подпространство f0g являются инвариантными. Эти инвариантные подпространства будем называть тривиальными.

Упражнение 4.1.2. Докажите следующие утверждения.

Если A 2 B(V), то подпространства Ker A и Ran A инвариантны относительно A.

Если оператор A 2 B(V) обратим и подпространство M V инвариантно относительно оператора A, то оно инвариантно и относительно обратного оператора A 1.

Если A 2 B(V), то сумма и пересечение любого семейства инвариантных подпространств оператора A является инвариантным подпространством.

56

Утверждение 4.1.3. Если операторы A и B коммутируют, то подпространства Ker A и Ran A инвариантны относительно оператора B.

Доказательство. Пусть x 2 Ker A. Тогда

ABx = BAx = 0;

ò.å. Bx 2 Ker A.

Пусть теперь x 2 Ran A. Тогда существует y 2 V такой, что

x = Ay:

Следовательно,

Bx = BAy = ABy:

Поэтому, Bx 2 Ran A.

Определение 4.1.4. Если M и N нетривиальные линейные подпространства векторного пространства V, инвариантные относительно линейного оператора A 2 B(V), такие, что V = MuN, то говорят, что оператор

A разложим.

Приведем примеры инвариантных подпространств операторов.

Для любого векторного пространства V и любого линейного оператора A 2 B(V) тривиальные подпространства M1 = f0g è M2 = V являются инвариантными относительно A.

Пусть V = Pn(C) пространство многочленов степени 6 n и D оператор дифференцирования. Тогда любое подпространство Pk(C), где k 6 n, является инвариантным относительно оператора D.

Если оператор A 2 B(V) задан в некотором базисе

fe1; : : : ; ek; ek+1; : : : ; eng

матрицей вида

57

то подпространство M, порожденное первыми k векторами базиса fe1; : : : ; ekg, является инвариантным относительно оператора A. Действительно, если y 2 M, то

[y] = (y1; : : : ; yk; 0; : : : ; 0)>;

и умножая матрицу на вектор видим, что

[A][y] = [z];

где [z] имеет вид

[z] = (z1; : : : ; zk; 0 : : : 0)>:

Таким образом, Ay = z 2 M, т.е. подпространство M инвариантно относительно оператора A.

Если оператор A 2 B(V) задан в некотором базисе fe1; : : : ; eng матрицей вида

то подпространство M, порожденное векторами fe1; : : : ; ekg и подпространство N, порожденное векторами fek+1; : : : ; eng, являются инвариантными относительно оператора A, причем V = M u N, т.е.

оператор A является разложимым.

Теорема 4.1.5. Имеют место следующие утверждения.

(i)Оператор A обладает нетривиальным инвариантным подпростран-

ством тогда и только тогда, когда его матрица в некотором базисе имеет вид

где матрицы [A11] è [A22] ненулевые.

58

(ii)Оператор A разложим тогда и только тогда, когда его матрица в некотором базисе имеет вид

где матрицы [A11] è [A22] ненулевые.

Доказательство. (i). Пусть оператор A обладает k-мерным инвариантным подпространством M, 0 < k < n. Рассмотрим такой базис

fe1; : : : ; ek; ek+1; : : : ; eng

пространства V, первые k векторов которого образуют базис в подпространстве M. Так как векторы Aej 2 M, j = 1, . . . , k, то их можно разложить по векторам fe1; : : : ; ekg, как векторам базиса M. Следовательно,

Ae1 = 11e1 + + k1ek;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Aek = 1ke1 + + kkek:

Поэтому матрица оператора A в базисе fe1; : : : ; ek; ek+1; : : : ; eng имеет

0[A22]

ãäå [A11] квадратная матрица размерности k.

Обратно, если матрица оператора A в некотором базисе

fe1; : : : ; ek; ek+1; : : : ; eng

имеет вид

59

то подпространство M, порожденное векторами fe1; : : : ; ekg, является инвариантным относительно оператора A.

(ii). Доказывается аналогично.

В случае, когда матрица [A] оператора A в некотором базисе имеет вид

!

[A11] 0

[A] = ;

0[A22]

где матрицы [A11] è [A22] квадратные, будем писать

[A] = [A11] [A22]:

Пусть M инвариантное подпространство оператора A. Тогда можно определить оператор

A=M: V=M ! V=M;

полагая

(A=M)[x] = [Ax]:

Оператор A=M называется фактор-оператором линейного оператора A по модулю M.

Кроме того, в этом случае можно определить оператор A M â B(M), полагая A Mx = Ax для x 2 B(M). Такой оператор называют сужением оператора A не подпространство M или индуцированным оператором.

4.2Характеристический многочлен и след линейного оператора. Собственные значе- ния и собственные векторы

Особую роль в теории линейных операторов играют одномерные инвариантные подпространства.

Пусть A 2 B(V) и N одномерное подпространство, порожденное ненулевым вектором x 2 V:

N = f x; 2 Cg:

Очевидно, что N инвариантно относительно A тогда и только тогда, когда Ax = x для некоторого 2 C.

60