MuratovSamoylenko

Определение 1.2.5. Векторное пространство V называется конечномерным, если оно обладает базисом, состоящим из конечного числа элементов.

Âпротивном случае оно называется бесконечномерным.

Âдальнейшем, если не оговорено противное, мы будем рассматривать конечномерные векторные пространства V.

Пусть V конечномерное векторное пространство. Система линейно независимых векторов fe1; : : : ; eng V является базисом пространства V тогда и только тогда, когда для любого вектора x 2 V имеет место

ãäå 1, . . . , n 2 C.

Утверждение 1.2.6. Åñëè B = fe1; : : : ; eng базис конечномерного векторного пространства V, то коэффициенты разложения (1.1) определяются однозначно.

Доказательство. Если для некоторого вектора x 2 V имеют место два разложения

x= 1e1 + + nen;

x= 1e1 + + nen;

то вычитая почленно из первого равенства второе, получим:

0 = ( 1 1)e1 + + ( n n)en;

из которого, в силу линейной независимости векторов e1, . . . , en, следует, ÷òî

1 = 1; : : : ; n = n:

Определение 1.2.7. Коэффициенты f 1; : : : ; ng разложения (1.1) называются координатами вектора x 2 V относительно базиса fe1; : : : ; eng.

Если в пространстве V выбран некоторый базис B = fe1; : : : ; eng, то вектор x удобно отождествлять с набором его координат относительно

этого базиса, при этом используют обозначение x = ( 1; : : : ; n). Основное значение базиса векторного пространства состоит в том, что

линейные операции в пространстве, вначале введенные абстрактно, при задании базиса становятся обычными линейными операциями с числами

11

координатами взятых векторов относительно этого базиса. В частности, если базис B векторного пространства V фиксирован, то при сложении

двух векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Упражнение 1.2.8. Докажите следующие утверждения.

Система ненулевых векторов fxkgmk=1, m > 1, линейно зависима тогда и только тогда, когда существует такой номер k 2 f2; 3; : : : ; mg, что

xk 2 Linhx1; : : : ; xk 1i.

Любую линейно независимую систему векторов fy1; : : : ; ymg конеч- номерного векторного пространства V можно дополнить до базиса.

Все базисы конечномерного векторного пространства V состоят из одинакового числа элементов.

Доказательство. Пусть B1 = fe1; : : : ; eng è B2 = ff1; : : : ; fmg два базиса векторного пространства V. Предположим, что n > m. Так как B2 = ff1; : : : ; fmg базис, то имеют место следующие равенства:

e1 = 11f1 + + 1mfm;

: : :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

en = n1f1 + + nmfm:

Рассмотрим однородную систему уравнений

8

> 11 1 + + n1 n = 0;

<

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

>

: 1m 1 + + nm n = 0:

Так как число неизвестных n больше числа уравнений m, то эта система имеет ненулевые решения. Пусть 1, . . . , n одно из них. Тогда

1e1 + + nen =

=( 11 1 + + n1 n)f1 + + ( 1m 1 + + nm n)fm =

=0 f1 + + 0 fm = 0;

что противоречит линейной независимости векторов fe1; : : : ; eng. Аналогично проверяется, что неравенство n < m также невозможно.

Таким образом, n = m.

12

Это утверждение позволяет ввести понятие размерности конечномерного векторного пространства.

Определение 1.2.10. Число элементов базиса конечномерного векторного пространства V называется размерностью или векторной размерно-

стью V и обозначается dim V.

Если размерность dim V = n, то векторное пространство V называется n-мерным. Примером n-мерного векторного пространства служит пространство Cn.

Определение 1.2.11. Два векторных пространства (V; +; ) и (W; ; ) над полем C называются изоморфными (обозначается V ' W), если су-

Заметим, что любое n-мерное векторное пространство V над полем C изоморфно Cn. В дальнейшем операции в изоморфных векторных пространствах V и W будем обозначать одинаково.

Упражнение 1.2.12. Докажите следующие утверждения.

Изоморфные конечномерные векторные пространства имеют одну и ту же размерность.

Все конечномерные векторные пространства, имеющие одну и ту же размерность, изоморфны между собой.

Конечномерные векторные пространства, имеющие разные размерности, не изоморфны друг другу.

Любое подмножество из (n+1)-го вектора n-мерного векторного пространства V линейно зависимо.

Приведем примеры базисов некоторых векторных пространств.

Пример 1.2.13. Пространство Cn. В этом пространстве базис образуют векторы

e1 = (1; 0; : : : ; 0);

: : : . . . . . . . . . . . . . . .

en = (0; : : : ; 0; 1):

Базис B = fe1; : : : ; eng называется каноническим базисом в Cn.

13

Пример 1.2.14. Пространство V = Mn(C) всех квадратных матриц kaijk порядка n, aij 2 C, i, j = 1, 2, . . . , n. Это пространство имеет размерность dim Mn(C) = n2. Канонический базис в Mn(C) образуют матрицы [Eij], ó

aij = 1, а все остальные элементы равны нулю.

Пространство Pn[C] полиномов, определенных на C, степени которых не превосходят n. Канонический базис пространства Pn[C] образуют векторы e0 = 1, e1 = z, . . . , en = zn. Координатами многочлена

p(z) = nzn + n 1zn 1 + + 1z + 0

в этом базисе являются его коэффициенты ( 0; 1; : : : ; n).

Пример 1.2.16. Пространство P[C] всех многочленов, определенных на C. Это пространство бесконечномерно. Канонический базис в нем образуют векторы ek = zk, k = 0, 1, . . . .

1.3 Подпространства векторного пространства

Определение 1.3.1. Подмножество M V называется подпространством векторного пространства V, если оно само является векторным пространством относительно определенных в V операций сложения и умножения на скаляры.

Подмножество M V является подпространством векторного пространства V, если из x; y 2 M, 2 C следует, что x + y 2 M и x 2 M:

M + M M; M M:

Ясно, что подмножество M V является подпространством векторного пространства V, если ChMi = M.

Тривиальным и примерами подпространств любого пространства V являются нулевое подпространство M = f0g и все пространство V. Приведем другие примеры подпространств векторного пространства V.

Пример 1.3.2. В пространстве C(C) всех непрерывных комплекснознач- ных функций на C пространство P[C] полиномов является подпространством, а пространство Pn[C] подпространством в P[C].

Пример 1.3.3. В пространстве Cn множество всех векторов

M = fx = (0; 2; : : : ; n); 2; : : : ; n 2 Cg

образует подпространство.

14

Упражнение 1.3.4. Любое подпространство M линейного пространства V содержит нулевой вектор.

Поскольку любое подпространство M векторного пространства V само

является векторным пространством, то все понятия, такие как линейная независимость, базис, размерность и т.д., применимы и к подпространствам. Так как в подпространстве M не может быть больше линейно неза-

висимых векторов, чем в самом пространстве V, то

dim M 6 dim V:

Åñëè fMjgj2J набор подпространств векторного пространства V, где

Следовательно, для любого подмножества S V пересечение всех подпространств из V, содержащих S, является наименьшим подпространством, содержащим S. Оно называется подпространством, порожденным множеством S, и обозначается l(S). Ясно, что

l(S) = Lin(S) = ChSi:

Упражнение 1.3.5. Если S = fe1; : : : ; ekg линейно независимое подмножество векторного пространства V, то M = l(S) k-мерное подпространство и векторы fe1; : : : ; ekg образуют в нем базис.

Упражнение 1.3.6. Пусть M и N два подпространства n-мерного векторного пространства V. Если M N, то

dim M 6 dim N;

причем

dim M = dim N

тогда и только тогда, когда M = N.

Упражнение 1.3.7. Если M k-мерное подпространство n-мерного пространства V, то существует такой базис fe1; : : : ; ek; ek+1; : : : ; eng пространства V, что

M = Che1; : : : ; eki;

ò.å. fe1; : : : ; ekg базис подпространства M.

15

Определение 1.3.8. Множество подпространств fM g 2 векторного пространства V называется цепью, если для каждой пары подпространств

M 1 è M 2 ëèáî M 1 M 2 , ëèáî M 2 M 1 . Цепи, отличающиеся лишь числом совпадающих подпространств, отождествляются, поэтому в дальнейшем мы предполагаем, что все ее подпространства попарно различны. Цепь подпространств называется максимальной (для максимальных цепей используется также термин флаг подпространств ), если она не является собственным подмножеством никакой другой такой цепи.

Упражнение 1.3.9. Докажите следующие свойства цепей.

(Принцип обрыва цепи) Любая цепь подпространств fM g 2 n-мер- ного векторного пространства V конечна, т.е. может быть записана

â âèäå

M0 M1 Mm; 0 6 m 6 n;

где все подпространства попарно различны.

Для того, чтобы цепь подпространств M0 M1 Mm áûëà максимальной, необходимо и достаточно, чтобы m = n и

dim Mk = k; k = 0; 1; : : : ; n;

причем M0 = f0g è Mn = V.

Любая цепь подпространств содержится в некоторой максимальной цепи, которая в общем случае определяется неоднозначно.

Åñëè fMkgnk=0 максимальная цепь подпространств, то существует такой базис fe1; : : : ; eng векторного пространства V, что векторы fe1; : : : ; ekg образуют базисы в подпространствах Mk, k = 1, . . . , n.

Пусть M и N два подпространства n-мерного пространства V.

Определение 1.3.10. Если каждый вектор x 2 V однозначно представим в виде x = x1 + x2, ãäå x1 2 M, à x2 2 N, то говорят, что пространство V разложено в прямую сумму подпространств M и N, и записывают:

V = M u N

Утверждение 1.3.11. Для того, чтобы пространство V разлагалось в прямую сумму подпространств M и N, необходимо и достаточно, чтобы

(i)M \ N = f0g;

(ii)dim M + dim N = dim V.

16

Доказательство. Необходимость утверждения очевидна. Докажем достаточность. Пусть dim V = n, dim M = k и dim N = m. Выберем в под-

пространстве M базис B1 = fe1; : : : ; ekg, а в подпространстве N базис B2 = ff1; : : : ; fmg. В силу условия (ii), k + m = n. Покажем, что

B= fe1; : : : ; ek; f1; : : : ; fmg

базис пространства V. Действительно, если линейная комбинация

1e1 + + kek + 1f1 + + mfm = 0;

òî

1e1 + + kek = 1f1 mfm:

Íî 1e1 + + kek 2 M, à 1f1 mfm 2 N и, в силу условия (i), M \ N = f0g. Поэтому

1e1 + + kek = 0; 1f1 mfm = 0:

Поэтому, в силу линейной независимости наборов векторов fe1; : : : ; ekg è ff1; : : : ; fmg

1 = = k = 0; 1 = = m = 0:

Таким образом, B = fe1; : : : ; ek; f1; : : : ; fmg набор n линейно независимых векторов, и поскольку dim V = n, они являются базисом векторного пространства V.

Пусть x произвольный вектор пространства V. Тогда имеет место разложение вектора x по базису B:

x = 1e1 + + kek + 1f1 + + mfm:

Ïðè ýòîì

x1 = 1e1 + + kek 2 M; x2 = 1f1 + + mfm 2 N;

è x = x1 + x2.

Покажем, что такое разложение единственно. Предположим, что существует еще одно разложение:

x = x01 + x02; x01 2 M; x02 2 N:

Тогда вычитая из второго разложения первое, получим:

0 = x1 x01 + x2 x02;

17

откуда x1 x01 = x02 x2, причем x1 x01 2 M è x02 x2 2 N. В силу того же условия (i)

т.е., разложение x = x1 + x2, ãäå x1 2 M è x2 2 N, единственно.

Пусть M и N два произвольных подпространства n-мерного векторного пространства V. Как уже отмечалось выше, S = M \ N также подпространство пространства V.

По подпространствам M и N можно построить еще одно подпространство K = M + N, которое называется их суммой. Векторами этого пространства являются всевозможные суммы вида

Заметим, что в отличии от прямой суммы двух подпространств, представление вектора x 2 K в виде (1.2) может быть неоднозначным.

Упражнение 1.3.12. Показать, что сумма подпространств M и N сопадает с наименьшим подпространством, содержащим M и N.

Теорема 1.3.13. (Формула Грассмана) Пусть M и N два произвольных подпространства n-мерного векторного пространства V. Тогда

dim M + dim N = dim(M + N) + dim(M \ N):

Доказательство. Пусть dim(M \ N) = k, dim M = k + l, dim N = k + m. Выберем в пересечении S = M \ N базис fe1; : : : ; ekg и дополним его, с одной стороны, до базиса в M

с другой стороны до базиса в N

fe1; : : : ; ek; g1; : : : ; gmg: (1.4)

Покажем, что векторы

образуют базис в сумме подпространств K = M + N.

Сначала проверим линейную независимость системы (1.5). Пусть

1f1 + + lfl + 1e1 + + kek + 1g1 + + mgm = 0:

18

Тогда

1f1 + + lfl + 1e1 + + kek = 1g1 mgm:

Левая часть этого равенства вектор из M, а правая вектор из N.

Таким образом,

1g1 mgm 2 S = M \ N

è òàê êàê fe1; : : : ; ekg базис в S, то

1g1 mgm = c1e1 + + ckek:

В силу линейной независимости системы векторов (1.4), это возможно только тогда, когда все коэффициенты равны нулю. В частности, 1 =

= m = 0. Поэтому,

1f1 + + lfl + 1e1 + + kek = 0;

откуда, в силу линейной независимости системы (1.3), получаем, что все коэффициенты 1, . . . , l, 1, . . . , k равны нулю. Таким образом, система векторов (1.5) линейно независима.

Покажем теперь, что любой вектор x 2 K = M + N представим в

виде линейной комбинации векторов системы (1.5). По определению подпространства K = M + N вектор x можно представить в виде

x = x1 + x2; x1 2 M; x2 2 N:

Òàê êàê x1 2 M, òî

x1 = (1)1 f1 + + (1)l fl + (1)1 e1 + + (1)k ek:

С другой стороны, так как x2 2 N, òî

x2 = (2)1 e1 + + (2)k ek + 1(2)g1 + + m(2)gm:

Складывая эти равенства, получим, что вектор x можно представить в виде линейной комбинации векторов (1.5):

x = (1)1 f1 + + (1)l fl

+( (1)1 + (2)1 )e1 + + ( (1)k + (2)k )ek

+1(2)g1 + + m(2)gm:

Следовательно, система векторов (1.5) образует базис подпространства K = M + N и его размерность равна dim K = k + l + m. Наконец,

dim M + dim N = (k + l) + (k + m) = (k + l + m) + k = dim K + dim S:

19

Следствие 1.3.14. Пусть M и N два произвольных подпространства n-мерного векторного пространства V. Тогда

(i)dim(M + N) 6 dim M + dim N;

(ii)dim(M u N) = dim M + dim N.

Объединение подпространств векторного пространства V не всегда является подпространством.

Для того, чтобы объединение конечного числа под- пространств fMkgmk=1 векторного пространства V было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы одно из них содержало все остальные.

Суммой подпространств fMkgmk=1 векторного пространства V íàçû- вается наименьшее подпространство M, содержащее все подпространства

Mk. В этом случае пишут:

m

X

M = Mk = M1 + + Mm:

k=1

1.4Факторпространство

Пусть M подпространство векторного пространства V. Обычно существует много других подпространств N, таких что

V = M u N:

Не существует естественного критерия, позволяющего каноническим образом выбрать единственное среди всех подпространств N, дополняющих

подпространство M до всего пространства V. Однако существует конструкция, позволяющая по паре (M; V) строить новое векторное простран-

ство, играющее роль такого дополнения. Рассмотрим на V отношение, полагая

M

x y () x y 2 M; x; y 2 V:

20