MuratovSamoylenko

В этом случае говорят, что векторы x и y сравнимы по модулю M. От-

M

ношение есть отношение эквивалентности на V, т.е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Обозначим через [x] класс эквивалентности,

порожденный вектором x:

Классы эквивалентности, порожденные эквивалентными векторами, в си-

M

лу свойств отношения , совпадают. В противном случае, классы эквивалентности не пересекаются. Обозначим множество всех классов эквивалентности через V=M.

Утверждение 1.4.1. Множество V=M = f[x] : x 2 Vg является век-

торным пространством относительно следующих алгебраических операций:

[x] + [y] = [x + y]; x; y 2 V;

[x] = [ x]; x 2 V; 2 C:

Доказательство. Покажем сначала корректность введенных алгебраиче-

ских операций.

Пусть x0 M x, y0 M y. Тогда

[x0] = [x]; [y0] = [y];

è

(x0 + y0) (x + y) = (x0 x) + (y0 y) 2 M:

Поэтому

x0 + y0 M x + y;

и следовательно,

[x0 + y0] = [x + y]:

0 M

Пусть теперь x x и 2 C. Тогда

x x0 = (x x0) 2 M:

0 M

Следовательно, x x, и потому

[ x0] = [ x]:

21

Таким образом, алгебраические операции в множестве V=M определены корректно.

Теперь покажем, что V=M векторное пространство. Действительно, для любых x; y; z 2 V

[x] + [y] = [x + y] = [y + x] = [y] + [x];

([x] + [y]) + [z] = [(x + y) + z] = [x + (y + z)] = [x] + ([y] + [z]):

Легко видеть, что [0] = M и [x] + [0] = [x] для любого x 2 V. Далее,

[ x] = [x], и потому [x] + [ x] = [0].

Следовательно, V=M коммутативная группа по сложению. Кроме того, умножение на скаляр удовлетворяет свойствам:

1 [x] = [x]; x 2 V;

( [x]) = [( )x] = ( )[x]; ; 2 C; x 2 V;

и имеют место два закона дистрибутивности:

( + )[x] = [( + )x] = [ x + x] = [ x] + [ x] = [x] + [x]; ; 2 C; x 2 V;

([x] + [y]) = [x + y] = [ (x + y)] = [ x + y]

= [ x] + [ y] = [x] + [y]; 2 C; x; y 2 V:

Таким образом, V=M векторное пространство.

Замечание 1.4.2. Легко видеть, что для любого x 2 V

[x] = fx + y: y 2 Mg = x + M:

При этом для любого x0 2 V

[x] + [x0] = (x + x0) + M;[x] = x + M:

Множество [x] = x + M называют смежным классом (вектора x) по M.

Определение 1.4.3. Векторное пространство V=M называется факторпространством векторного пространства V по (модулю) M.

22

Теорема 1.4.4. Если V = M u N, то отображение

: N ! V=M

определяемое равенством:

(y) = y + M = [y]

является изоморфизмом векторных пространств N и V=M.

силу утверждения 1.3.11, M \ N = 0. Следовательно, y1 = y2.

Пусть теперь [x] = x + M 2 V=M, x 2 V. Так как V = M u N, то вектор x однозначно представим в виде:

x = z + y; z 2 M; y 2 N:

M

Поэтому x y = z 2 M, и значит x y. Следовательно, для любого x 2 V однозначно определяется y 2 N, такой, что

[x] = [y] = (y); y 2 N:

Таким образом, взаимно однозначно отображает N на V=M. Линейность следует непосредственно из определения:

( y1 + y2) = [ y1 + y2] = [y1] + [y2] = (y1) + (y2):

Теорема 1.4.5. Если M k-мерное подпространство n-мерного векторного пространства V, то

dim(V=M) = dim(V) dim(M) = n k:

Доказательство. Пусть fe1; : : : ; ekg базис в M. Дополним его до базиса в V:

fe1; : : : ; ek; ek+1; : : : ; eng:

Рассмотрим векторное подпространство N V, порожденное векторами fek+1; : : : ; eng:

N = Chek+1; : : : ; eni

Тогда

V = M u N:

Поэтому факторпространство V=M изоморфно подпространству N и

dim(V=M) = dim(N) = dim(V) dim(M) = n k:

23

Последнее равенство можно записать в следующем виде:

dim(V=M) + dim(M) = dim(V):

Эта формула называется формулой дополнения .

1.5Сопряженное пространство

Определение 1.5.1. Если функция

f : V ! C

такова, что

f( x + y) = f(x) + f(y); ; 2 C; x; y 2 V;

то она называется линейным функционалом на V. Приведем примеры линейных функционалов.

Пример 1.5.2. Пусть V = Cn. Для любого вектора x = f 1; : : : ; ng 2 Cn положим:

f(x) = 1:

Тогда f линейный функционал на Cn.

Пример 1.5.3. Пусть V = Cn è 1, . . . , n фиксированный набор ска- ляров. Для любого вектора x = f 1; : : : ; ng 2 Cn положим:

n

X g(x) = k k:

k=1

Тогда g линейный функционал на Cn.

Пример 1.5.4. Пусть V = Pn[C]. Для любого p 2 Pn[C] положим:

h(p) = p(0):

Тогда h линейный функционал на Pn[C].

Множество V всех линейных функционалов на V является векторным пространством над полем C относительно следующих алгебраических операций

24

(i)(f + g)(x) = f(x) + g(x), f, g 2 V , x 2 V;

(ii)( f)(x) = f(x), 2 C, f 2 V , x 2 V.

Определение 1.5.5. Векторное пространство V назывется сопряжен- ным (векторным сопряженным ) пространством пространства V.

Следовательно, ff1; : : : ; fng базис в V .

25

Следствие 1.5.7. Векторное пространство V конечномерно, причем

dim V = dim V = n

Следствие 1.5.8. Если f(x) = 0 для любого линейного функционала f 2 V , то x = 0.

Доказательство. Пусть B = fe1; : : : ; eng базис в V, x 2 V и x =

n

P iei. Тогда для сопряженного базиса B = ff1; : : : ; fng â V имеем:

i=1

n

X

fj(x) = i ij = j; j = 1; : : : ; n:

i=1

Следовательно, по нашему предположению, j = 0 äëÿ âñåõ j = 1, . . . , n, ò.å. x = 0.

Обозначим

V = (V ) :

Следствие 1.5.9. Соответствие

V 3 x 7!z 2 V

между векторными пространствами V и V , определяемое формулой

z(f) = f(x); f 2 V ;

есть изоморфизм.

Доказательство. 1). Покажем, что соответствие

V 3 x 7!z 2 V

линейное. Действительно, если 2 C, то

( z)(f) = z(f) = z( f) = ( f)(x) = f(x) = f( x):

Следовательно,

V 3 x 7! z 2 V :

Кроме того, если

V 3 y 7!t 2 V ;

26

òî

(z + t)(f) = z(f) + t(f) = f(x) + f(y) = f(x + y);

потому

V 3 x + y 7!z + t 2 V :

2). Покажем, что это соответствие инъективное. Пусть

V3 x1 7!z1 2 V ;

V3 x2 7!z2 2 V ;

è z1 = z2. Тогда

f(x1) = z1(f) = z2(f) = f(x2)

для любого f 2 V . Следовательно, f(x1 x2) = 0 для любого f 2 V . В силу следствия 1.5.8, x1 x2 = 0, ò.å. x1 = x2 и потому соответствие

V 3 x 7!z 2 V

инъективно.

3). Любое линейное инъективное отображение векторных пространств

сохраняет линейную независимость. Поэтому базис векторного пространства V перейдет в линейно независимое множество в V . Íî

dim V = dim V = dim V:

Следовательно, базис в V перейдет в базис в V , т.е. соответствие

V 3 x 7!z 2 V

сюръективное, а потому и биективное, т.е. является изоморфизмом векторных пространств V и V .

Замечание 1.5.10. Так как векторные пространства V и V имеют одина-

ковую размерность, то они изоморфны. В следствии 1.5.9 рассматривается специальный изоморфизм, который обычно называют каноническим.

Упражнение 1.5.11. Пусть ff1; : : : ; fkg некоторое семейство функци- оналов из V . Обозначим через

Ker(f1; : : : ; fk) = fx 2 V : f1(x) = = fk(x) = 0g:

Показать, что Ker(f1; : : : ; fk) подпространство V.

Найти размерность dim Ker(f1; : : : ; fk).

Показать, что для любого подпространства M V существует такое семейство функционалов ff1; : : : ; fkg èç V , ÷òî

M = Ker(f1; : : : ; fk):

27

Глава 2

Операторы в конечномерном векторном пространстве и их матрицы

2.1Понятие линейного оператора

Пусть V векторное пространство.

Определение 2.1.1. Отображение

A: V ! V

называется линейным оператором, если

A( x + y) = Ax + Ay:

для любых x; y 2 V, ; 2 C.

Приведем примеры линейных операторов в векторных пространствах.

Пример 2.1.2. Единичный (тождественный) оператор: Ix = x для всех x 2 V.

Пример 2.1.3. Нулевой оператор: 0x = 0 для всех x 2 V.

Пример 2.1.4. Пусть x0 2 V è f 2 V фиксированы. Положим

Ax = f(x)x0; x 2 V:

A линейный оператор в V.

28

Пример 2.1.5. Пусть V = Cn. Положим

S+x = (0; 1; : : : ; n 1);

S x = ( 2; : : : ; n; 0):

S+ и S линейные операторы в Cn. Оператор S+ называется оператором правого сдвига, а S оператором левого сдвига.

Пример 2.1.6. Пусть V = P[R] пространство многочленов, определен-

оператор умножения на независимую переменную

T p(t) = tp(t):

Операторы D; S; T линейные операторы в P[R].

Приведем один из общих методов построения линейных операторов.

Пусть fe1; : : : ; eng базис векторного пространства V и fy1; : : : ; yng произвольный набор из n векторов пространства V. Тогда существует и притом единственный линейный оператор A такой,

÷òî

Aei = yi; i = 1; 2; : : : ; n:

Доказательство. Пусть x 2 V и

x = 1e1 + + nen

его разложение по базису fe1; : : : ; eng. Определим отображение A: V ! V по правилу:

Ax = y = 1y1 + 2y2 + + nyn:

29

Докажем, что A линейный оператор в V. Действительно, пусть x02 V,

; 2 C è

x0 = 10 e1 + + n0 en:

Тогда

Ax0 = 10 y1 + + n0 yn

è

x + x0 = ( 1e1 + + nen) + ( 10 e1 + + n0 en) = = ( 1 + 10 )e1 + + ( n + n0 )en:

Поэтому

A( x + x0) = ( 1 + 10 )y1 + + ( n + n0 )yn =

=( 1y1 + + nyn) + ( 10 y1 + + n0 yn) =

=Ax + Ax0;

т.е. A линейный оператор и Aei = yi, i = 1, 2, . . . , n.

Докажем теперь единственность оператора A с указанными свойства-

ìè.

Пусть A0 еще один такой линейный оператор, что A0ei = yi. Тогда для любого вектора x = 1e1 + + nen имеем:

Ax = 1y1 + + nyn = 1A0e1 + + nA0en = = A0( 1e1 + + nen) = A0x;

откуда следует равенство A = A0.

Обозначим через B(V) множество всех линейных операторов в векторном пространстве V. В B(V) определены следующие алгебраические операции:

30