Глава 6
Комплексные числа
§ 28. Что такое комплексные числа
Повторить: § 17: векторы на плоскости.
В этой главе мы познакомимся с комплексными числами, о которых уже неоднократно упоминали. Итак, что же это такое?
Как известно, из отрицательного числа извлечь квадратный корень невозможно: квадраты всех чисел неотрицательны. Давайте, однако, вообразим, что нашлось такое необычное число i, квадрат которого равняется −1. Посмотрим, что получится, если это число i добавить к обычным числам.
Для начала поумножаем i на само себя: i2 = −1 (как мы и
договаривались), тогда i3 = (i2) · i = (−1) · i = −i; i4 = i3i = = (−i) · i = −i2 = −(−1) = 1 и т. д.
Задача 28.1. Чему равно i5? i6? i2003?
Теперь давайте умножать число i на обычные числа и складывать его с обычными числами. При этом будут получаться выражения наподобие 1 − i, −4i, 2 + 5i и т.д. Раскрывая скобки
иприводя подобные члены, такие выражения можно складывать
иперемножать; поскольку i2 всякий раз можно заменять на −1,
164
в выражения, получающиеся после упрощений, i будет входить не более чем в первой степени:
(2 + 5i) + (3 − i) = 2 + 3 + 5i − i = 5 + 4i;
(2 + 5i)(3 − i) = 6 + 15i − 2i − 5i2 = 6 + 13i − 5(−1) = 11 + 13i.
Задача 28.2. Упростите выражения: а) √3 + i 3; б) (1 + i)20.
Имея в распоряжении число i, мы можем извлечь корень не
только из −1, но и из любого отрицательного числа. Например, в |
|||||||||||||||
√ |
|
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
2 |
= i |
2 |
·2 = −2. |
||
качестве −2 подойдет число i 2, поскольку (i |
2) |
|
|
||||||||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
мы тоже |
|
Впрочем, −i |
2 также даст в квадрате −2; число −i |
2 |
|
||||||||||||
будем называть квадратным корнем из −2. Выделять из этих двух квадратных корней один «арифметический корень» мы не будем: для чисел, в записи которых участвует i, не удается разумным образом определить, какие из них следует считать положительными, а какие — отрицательными.
Задача 28.3. Пользуясь формулой для корней квадратного уравнения, найдите корни уравнения x2 − 4x + 5 = 0 (дискриминант этого уравнения отрицателен, так что в их записи будет участвовать i). Проверьте найденные значения x, подставив их в уравнение.
А если выражение с i стоит в знаменателе? Сейчас мы увидим, что всякую дробь, в знаменателе которой присутствует i, можно преобразовать так, чтобы в знаменателе были только обычные числа. Покажем это на примере.
Пусть требуется упростить выражение 2 +1 3i. Поступим так
же, как мы делали, когда в школьных примерах избавлялись от иррациональности в знаменателе: домножим числитель и знаменатель на «сопряженное выражение» 2 − 3i:
|
1 |
|
= |
2 − 3i |
|
= |
2 − 3i |
= |
|
2 |
|
+ |
3 |
i. |
|||
|
2 + 3i |
|
|
|
|
13 |
|
|
|||||||||
|
|
(2 + 3i)(2 − 3i) |
4 − (−9) |
|
|
|
|
13 |
|||||||||
Задача 28.4. Упростите выражения: а) |
7 − 11i |
; б) |
|
1 |
. |
|
|
||||||||||
3 + i |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|||
|
|
|
|
|
165 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь можно ответить на вопрос, стоящий в заглавии этого параграфа: комплексные числа — это те самые выражения с участием i, которыми мы до сих пор занимались. Точнее говоря:
Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — обычные (действительные, или вещественные) числа. Комплексные числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d. Чтобы сложить или перемножить два комплексных числа, надо раскрыть скобки и привести подобные члены, заменяя i2 на −1.
Если провести это приведение подобных в общем виде, получится вот что:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i;
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
Чтобы поделить одно комплексное число на другое, надо «домножить на сопряженные»:
a + bi |
= |
(a + bi)(c − di) |
= |
ac + bd |
+ i |
bc − ad |
. |
|
c + di |
|
(c + di)(c − di) |
c2 + d2 |
|
||||
|
|
|
c2 + d2 |
|||||
Задача 28.5. Умножьте ac ++ dibi, вычисленное по вышеприведенной
формуле, на c+di и убедитесь, что действительно получится a+bi (то есть что деление комплексных чисел действительно является действием, обратным к умножению).
Комплексное число a+bi удобно изображать точкой на плоскости с координатами (a; b) (рис. 28.1). Абсцисса этой точки, то есть a, называется вещественной (или действительной) частью числа a+bi, а ордината этой точки, то есть b, называется мнимой частью числа a + bi. Плоскость с системой координат, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Комплексные числа, мнимая часть которых равна нулю, располагаются при таком изображении на оси абсцисс (когда речь
166
Рис. 28.1. Комплексная плоскость.
идет о таком изображении комплексных чисел, ось абсцисс принято называть вещественной, или действительной, осью, а ось ординат — мнимой осью). Комплексные числа, лежащие на действительной оси, складываются и умножаются так же, как обычные действительные числа: ведь в их записи i не участвует. Поэтому можно считать, что действительные числа — частный случай комплексных, а действительная ось, которую они заполняют, — это знакомая нам с младших классов числовая прямая.
Задача 28.6. Докажите, что уравнение z2 = −1 не имеет (в комплексных числах) других решений, кроме i и −i.
Указание. Пусть z = x + iy. Тогда z2 = x2 − y2 + i · 2xy. По условию, z2 = −1. Так как комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, получаем:
(
x2 − y2 = 1;
2xy = 0.
Решите эту систему уравнений.
Задача 28.7. Найдите все комплексные решения уравнения z3 = 1 и изобразите их на комплексной плоскости.
Указание. Решений три; на комплексной плоскости они окажутся вершинами правильного треугольника.
Задача 28.8. Найдите все комплексные решения уравнения z2 = = 5 − 12i.
167
Задача 28.9. Докажите, что для всякого отличного от нуля ком-
плексного числа a + bi существуют ровно два решения уравнения z2 = a + bi.
Результат задачи 28.9 показывает, что, имея в своем распоряжении комплексные числа, можно извлекать квадратные корни не только из отрицательных, но и вообще из любых комплексных чисел.
Если дано комплексное число z = a + bi, то сопряженным к нему называется число a − bi. Мы уже сталкивались с сопряженными комплексными числами, когда обсуждали деление комплексных чисел. Число, сопряженное к комплексному числу z, обозначается z¯. Говорят еще, что числа z и z¯ сопряжены друг другу. Сопряженные числа изображаются на комплексной плоскости точками, симметричными относительно действительной оси.
Задача 28.10. Докажите тождества:
¯
а) (¯)z = z; б) (z + w) = z¯ + w¯; в) (zw) = z¯ + w¯.
Задача 28.11. Пусть z и w — комплексные числа, не являющиеся действительными. Докажите, что z и w сопряжены тогда и только тогда, когда z + w и zw — действительные числа.
Задача 28.12. Докажите, что всякое квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня, сопряженных друг с другом. Верна ли для таких уравнений теорема Виета?
Если изобразить комплексные числа точками на плоскости, то оказывается, что у действий над комплексными числами есть геометрический смысл. Давайте выясним, какой геометрический операции соответствует сложение комплексных чисел.
Соединим начало координат 0 (соответствующее числу нуль) с точкой на плоскости, соответствующей комплексному числу z = x + iy — получится вектор OZ, имеющий координаты (x; y). Так как при сложении векторов их координаты складываются, то равенство z1 + z2 = z3 равносильно равенству OZ1 + OZ2 = OZ3 (рис. 28.2). Итак, сложить комплексные числа — все равно что сложить соответствующие векторы.
168