§ 2. Тангенс

В предыдущем параграфе мы научились измерять крутизну с помощью синуса угла. Есть и другой способ измерения крутизны, составляющий, как пока еще говорят, альтернативу синусу.

Представим себе, что человек, поднимаясь по тропе, приближается к крутому берегу (рис. 2.1). Если измерять крутизну подъема с помощью отношения высоты подъема к длине пути, то получится уже знакомый нам синус. Давайте теперь вместо длины пройденного человеком пути измерять, насколько он приблизился к берегу по горизонтали. Иными словами, рассмотрим расстояние AC — проекцию пути на горизонталь. В качестве характеристики крутизны возьмем отношение BC/AC. Это отношение называется тангенсом угла.

Определение. Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета этого треугольника, лежащего против угла, к катету треугольника, прилежащему к углу (рис. 2.1).

Как и синус угла, тангенс не зависит от выбора прямоугольного треугольника, содержащего этот угол.

Обозначается тангенс угла α так: tg α (читается «тангенс альфа»).

Задача 2.1. Докажите, что тангенс угла не зависит от размеров прямоугольного треугольника, содержащего этот угол.

Задача 2.2. Для данного острого угла α что больше: sin α или tg α?

9

Выясним, как связаны синус и тангенс угла. Пусть, например, известен тангенс угла α; как найти его синус? Воспользуемся тем, что для вычисления tg α годится любой прямоугольный треугольник с углом α; выберем тот из них, что изображен на рис. 2.1. По

p

теореме Пифагора его гипотенуза равна 1 + tg2 α, так что

Задача 2.3. Пусть α — острый угол; выведите формулу, выражающую tg α через sin α.

Задача 2.4. Для каждого из углов 10◦, 30◦, 60◦ найдите приближенные значения их тангенса. Что больше: тангенс или радианная мера? И на сколько процентов больше?

Из предыдущей задачи вы должны были увидеть, что тангенсы фигурировавших в ней углов больше, чем их радианная мера. На самом деле это верно для любых острых углов. Наглядно это можно пояснить с помощью рис. 2.2а. На нем AC = 1, так что длина дуги CMC0 равна 2α (мы считаем, что угол измерен в радианах), а длина ломаной CBC0 равна 2 tg α. Из рисунка ясно, что длина ломаной CBC0 больше, чем длина дуги CMC0,1 так что 2 tg α > 2α, откуда tg α > α.

Аккуратное доказательство этого неравенства вы узнаете, решив следующую задачу.

Задача 2.5. Докажите неравенство tg α > α.

Указание. Сравните площадь треугольника ABC и сектора AMC (рис. 2.2б). Площадь сектора равна половине произведения длины дуги, ограничивающей этот сектор, на радиус окружности.

1Веревочку CBC0 надо укоротить, чтобы она облегала дугу CMC0 вплотную.

10

Рис. 2.2. tg α > α.

§ 3. Косинус

Определение. Косинусом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение катета, прилежащего к углу α, к гипотенузе треугольника (рис. 3.1).

Рис. 3.1. cos α = AC/AB.

От выбора прямоугольного треугольника, содержащего угол α, это отношение не зависит.

Косинус угла α обозначается cos α («косинус альфа»).

Задача 3.1. Докажите следующие формулы:

11

Задача 3.2. Докажите формулу: sin2 α + cos2 α = 1.

Указание. Воспользуйтесь теоремой Пифагора.

Задача 3.3. Пусть α — острый угол. Выведите формулу, выража-

p

ющую cos α через tg α: cos α = 1/ 1 + tg2 α.

Указание. Воспользуйтесь рис. 2.1 из предыдущего параграфа.

Задача 3.4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна a, угол при основании равен α. Найдите: а) основание; б) высоту, опущенную на боковую сторону; в) высоту, опущенную на основание.

Не существует простой формулы, позволяющей по величине угла найти точное значение его синуса или косинуса. Тем не менее для некоторых углов точные значения синуса, косинуса и тангенса легко вычислить. Сделаем это для углов 30◦, 45◦ и 60◦.

Начнем с угла 45◦. Чтобы посчитать его синус, косинус и тангенс, надо, согласно нашим определениям, взять прямоугольный треугольник с углом 45◦. В качестве такого треугольника можно взять половинку квадрата со стороной 1 (рис. 3.2).

Из теоремы Пифагора ясно, что диагональ этого квадрата рав-

√

на 2. Следовательно, из треугольника ACD получаем:

√ √

sin 45◦ = CD/AC = 1/ 2 = 2/2;

√

cos 45◦ = AD/AC = 2/2; tg 45◦ = CD/AD = 1.

12

Теперь займемся углами 30◦ и 60◦. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 1 и опустим в нем высоту (рис. 3.3). Эта высота разделит его на два прямоугольных треугольника с гипотенузой 1 и острыми углами 60◦ и 30◦; при этом AD = 1/2 (высота BD в равностороннем треугольнике является также бис-

сектрисой и медианой). По теореме Пифагора находим BD =

√ √

AB2 − AD2 = 3/2. Теперь, когда длины всех сторон треугольника ABD нам известны, остается только выписать:

Кстати, тот факт, что sin 30◦ = 1/2, был известен вам и раньше, только в другом обличье, как теорема о том, что катет, лежащий против угла 30◦, равен половине гипотенузы.

Приведем более сложный пример явного вычисления синуса и косинуса. Для этого рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с углом при основании 72◦ и углом при вершине 36◦ (рис 3.4). Проведем в нем биссектрису AM угла A и подсчитаем все углы. Из рисунка видно, что треугольники ABM и ACM равнобедренные и AC = AM = BM. Если AB = a, то AC = 2a cos 72◦, MC = 2AC cos 72◦ = 4a cos2 72◦; так как AB = BC = MC + BM = MC + AC, получаем равенство

Можно доказать, что правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки в том и только в том случае, когда

13

отношение его стороны к радиусу описанной окружности можно выразить через целые числа с помощью четырех арифметических действий и извлечения квадратного корня. Решив задачу 3.6, вы убедитесь, что правильный пятиугольник именно таков. В 1796 году К. Ф. Гаусс окончательно выяснил, какие правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки (будущему великому немецкому математику было тогда всего 19 лет, и это была его первая научная работа). В частности, оказалось, что циркулем и линейкой можно построить правильный 17-угольник.

Для практических применений нужны не столько точные формулы, сколько приближенные значения синусов и косинусов конкретных углов. В прежние времена эти значения собирались в таблицы тригонометрических функций. Пример такой таблицы мы приводим ниже. Излишне объяснять, что таблицы, использовавшиеся на практике, давали значения тригонометрических функций не через 5◦, а с гораздо более мелким шагом. В настоящее время тригонометрические таблицы утратили былое значение: чтобы приближенно найти синус или косинус угла, достаточно нажать несколько клавиш на микрокалькуляторе или компьютере.

Таблица 3.1. Значения тригонометрических функций (с двумя знаками после запятой)

Задача 3.7. Найдите с помощью таблицы 3.1 приближенное значение cos 25◦.

14