Задача 15.8. В треугольнике биссектриса угла между сторонами длиной a и b имеет длину l и делит противоположную сторону на отрезки длиной x и y. Докажите формулу: l2 = ab − xy.
Задача 15.9. В треугольнике ABC биссектриса угла, смежного к углу BAC, пересекает прямую BC в точке M (рис. 15.6). Докажите, что MB/MC = AB/AC.
Задача 15.10. Высоты треугольника равны 2, 3 и 4. Найдите углы этого треугольника.
§ 16. Теорема синусов
Мы уже перевели на язык формул первый и третий признаки равенства треугольников (то есть мы можем восстановить все элементы треугольника, если даны две его стороны и угол между ними или же три стороны). А те-
перь давайте выясним, какие формулы будут соответствовать второму при-
знаку равенства треугольников, кото-
|
|
|
|
рый гласит, что треугольник полно- |
|
|
|
||
|
|
|
|
стью определяется стороной и двумя |
|
|
прилежащими к ней углами. Чтобы |
||
|
|
|
|
получить соответствующие формулы,
рассмотрим стороны a и b треугольника ABC, выходящие из вершины C, и опустим из C высоту h на сторону AB (рис. 16.1). Тогда h =
a sin β (независимо от того, будет ли чертеж таким, как на рисунке, или же угол β будет тупым или прямым). Точно так же можно записать равенство h = b sin α. Значит, a sin β = b sin α, откуда, деля обе части на sin α sin β, получаем равенство a/ sin α = b/ sin β: отношение длины стороны к синусу противолежащего угла будет одно и то же для стороны a и стороны b. Однако то же самое можно сделать и для любых двух сторон, так что эти отношения для всех трех сторон равны. Получилось у нас вот что:
74
Теорема синусов (предварительная форма). Если в треугольнике против сторон a, b, c лежат углы α, β, γ соответственно, то
a |
= |
|
b |
= |
c |
. |
sin α |
sin β |
|
||||
|
|
sin γ |
||||
Задача 16.1. К стороне a треугольника прилегают углы β и γ.
а) Найдите остальные стороны и углы этого треугольника.
б) Найдите площадь этого треугольника.
В теореме синусов в том виде, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в каком мы ее получили, присут- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ствует недоговоренность: мы узна- |
|
|
|
|
|||||
ли, что отношения сторон к сину- |
|
|
|||||||
сам противолежащих им углов рав- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ны между собой, но чему же именно |
|
|
|
|
|
|
|||
равны эти отношения? Чтобы отве- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тить на этот вопрос, вспомним кое- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что из геометрии. |
|
|
|
Рис. 16.2. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
Для начала вспомним, как связаны угловая величина дуги и длина стягиваемой ей хорды. Из
равнобедренного треугольника ABO на рис. 16.2 видно, что если дуга AB имеет угловую величину α, а радиус окружности равен R, то AB = 2 · AM = 2R sin(α/2) (на рисунке дуга занимает меньшую из двух половин окружности, но величина дуги, дополняющей дугу AB до полной окружности, равна β = 360◦ − α и sin(β/2) = sin(180◦ − α/2) = sin(α/2), так что формулой можно пользоваться для любых дуг).
Второй факт из геометрии, который нам понадобится, — это теорема о вписанном угле. Пусть на окружности даны дуга AB и точка M, не лежащая на ней (рис. 16.3а), тогда угол AMB называется вписанным углом1, опирающимся на дугу AB. Теорема о
1Если дуга AB больше половины окружности, угол AMB становится больше 180◦, что нынешние учебники запрещают. Мы опускаем необходимые уточнения.
75
|
|
|
|
|
|
а) |
б) |
Рис. 16.3. Вписанные углы
вписанном угле гласит, что величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Из этой теоремы следует, в частности, что величина угла AMB, где точки A, M, B лежат на одной окружности, полностью определяется дугой AB и не зависит от положения точки M вне дуги AB: на рис. 16.3б углы AM1B, AM2B, AM3B, и т. д. равны.
|
|
|
|
Теперь, когда в нашем распоряжении есть |
|
|
|
|
теорема о вписанном угле, мы можем нако- |
|
|
|
|
нец уточнить теорему синусов. Именно, рас- |
|
|
|
|
смотрим треугольник ABC с углами A = α, |
|
|
B = β, C = γ и сторонами AB = c, |
||
|
|
BC = a, CA = b, и опишем около него окруж- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ность. Радиус окружности обозначим через R |
|
|
|
|
|
(рис. 16.4). В этой окружности длина хорды^
BC равна, как мы видели, 2R sin(BC /2) (име- Рис. 16.4. ется в виду та из дуг BC, что не содержит
точки A). С другой стороны, по теореме о впи-
^
санном угле BC /2 = α, хорда же BC — не что иное, как сторона a треугольника ABC. Подставляя эти равенства в выражение для BC, получаем, что a = 2R sin α, или a/ sin α = 2R. Проделывая то же для двух других сторон, получаем:
76
Если в треугольнике против сторон a, b, c лежат углы α, β, γ соответственно, то
a |
= |
b |
= |
|
c |
= 2R, |
|
sin α |
sin β |
sin γ |
|||||
|
|
|
|||||
где R — радиус окружности, описанной около треугольника.
Задача 16.2. Треугольник с углами α, β, γ вписан в окружность радиуса R. Найдите площадь треугольника.
Задача 16.3. а) Докажите, что площадь треугольника со сторонами a, b и c, вписанного в окружность радиуса R, равна abc/4R.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами a, b и c.
Задача 16.4. Сторона квадрата ABCD равна a. Найдите радиус окружности, проходящей через вершину A, центр квадрата и середину стороны BC.
Задача 16.5. В окружности проведены три хорды, каждая из которых пересекается с двумя другими. Каждая из этих хорд делится точками пересечения на три отрезка равной длины a. Найдите радиус окружности.
Задача 16.6. Диагонали разбивают выпуклый четырехугольник на четыре треугольника. Радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, одинаковы и равны R. Найдите стороны четырехугольника.
Задача 16.7. В круг радиуса R вписана трапеция, основания которой видны из центра под углами α и β. Найдите площадь трапеции.
Задача 16.8. Диагонали трапеции, вписанной в круг радиуса R, образуют с ее боковыми сторонами углы α и 2α. Найдите площадь трапеции.
Задача 16.9. Вокруг треугольника ABC со стороной BC = a и углами ABC = β и ACB = γ, описана окружность. Биссектриса угла A пересекает окружность в точке K. Найдите длину хорды
AK.
77
Задача 16.10. Внутри угла величины α лежит точка, находящаяся на расстояниях m и n от сторон угла. Найдите ее расстояние от вершины угла.
78