Механика_сплошной_среды_

Глава 1

ГИДРОСТАТИКА

Гидростатика – раздел МСС, рассказывающий об условиях равновесия жидкостей и газов под действием приложенных сил.

1.1. Массовая сила, напряжение, давление

Различают силы массовые и поверхностные.

1. Массовая сила – сила, приходящаяся на единицу массы тела и независимая от присутствия других частей тела.

Примеры массовых сил:

-ускорение силы тяжести;

-сила инерции, приходящаяся на единицу массы.

Массовую силу будем обозначать w. Значит, если на массу m дей-

ствует сила F , то массовая сила будет равна

F w m .

Эта формула справедлива, когда сила распределена равномерно внутри всей массы (т.е. на кусочки одинаковой массы действуют

одинаковые силы). В этом случае const. w

Если же сила внутри тела распределена неравномерно, массу m

Силу dF, как и F, можно назвать общей массовой силой.

2

2. Поверхностная сила – сила, действующая на поверхность в результате контакта.

Еѐ можно назвать контактной силой. Если убрать контакт, исчезнет и эта сила.

1)Книга лежит на столе. Сила, с которой книга действует на стол благодаря своей тяжести – поверхностная сила.

2)Поместим в жидкость какое-нибудь тело. Сила, оказываемая жидкостью на поверхность, с которой она соприкасается – поверхностная сила.

Поверхностная сила распределена, рассредоточена по поверхно-

сти тела. Это значит, что на каждый элемент поверхности действует

какая-то своя сила (рис. 1.1). Сложив эти силы, получим суммарную

поверхностную силу F (рис. 1.2).

понента силы F, а FII – касательная, или сдвигающая компонента.

Сила, приходящаяся на единицу площади, называется напря-

жением (рис. 1.3).

Напряжение обозначим f . Значит, если на

площадь S действует сила F, то напряжение

будет равно

f FS .

называется давлением (или нормальным напряжением).

Словами эту формулу можно высказать так:

3

давление – это сила, действующая в направлении перпендикуляра (в направлении нормали) на единицу площади.

называется напряжением сдвига (касательным напряжением). | Если тело покоится в покоящейся жидкости, то сдвигающее

Следовательно, в покоящейся жидкости на любую площадку действует только нормальное к площадке напряжение.

|На любую частицу покоящейся жидкости со всех сторон действует |одинаковое давление (рис. 1.4).

 Вокруг частицы мысленно опишем бесконечно малый объѐм в виде треугольной призмы с размерами dx, dy, dz (рис. 1.5). Тогда (а)

а гипотенуза треугольной грани равна dx2 dy2 .

Окружающая жидкость оказывает давление py на ле- Рис. 1.4

4

После сокращения на dz получим систему уравнений

Теперь возведѐм первое и второе уравнения системы (б) во вторую степень и сложим. Получим

px2dy2 py2dx2 p2 (dx2 dy2 ).

Подстановка сюда (в) даст py p. Итак, px py p. Эти равенства

не содержат , и, значит, не зависят от угла . Следовательно, дав-

ление на любую грань одинаково и не зависит от угла наклона грани. ■

Из-за независимости давления от его направления, в покоящейся жидкости давление является скалярной величиной:

p FS .

Всистеме СИ величина давления, равная 1 Н/м2 , называется

Паскалем:

1мН2 1 Па.

Вкачестве единицы давления используются также:

техническая атмосфера 1ат 1 смкгс2 0.98 105 Па;

физическая атмосфера 1 атм 1.01 105 Па.

За д а ч а 1. В комнату входит женщина весом 550 Н, обутая в туфли на высоком каблуке. Площадь одного каблука 0.5 см2. Когда женщина идѐт, еѐ вес попеременно падает то на один каблук, то на другой. Какое давление при этом приходится на пол?

5

П р и м е ч а н и е. Если сила распределена по (S) неравномерно, то (S) нужно разбить на элементы (dS) (бесконечно малые участки). Силу, действую-

щую на (dS), обозначим dF . Тогда

fddSF .

1.2.Уравнения гидростатики

Внутри покоящейся жидкости мысленно выделим бесконечно малый прямоугольный кусочек объѐмом dV (рис. 1.6). Его масса

где – плотность. На кусочек со стороны окружающей жидкости

ответствии с (1.1) общая массовая сила, действующая на массу dm,

равна Так как кусочек неподвижен, сумма всех сил равна ну- w dm.

лю:

dV dx dy dz.

В проекциях на оси координат уравнение (а) запишется так:

Ввиду одинаковости вида этих выражений займѐмся каким-

Силы, действующие в направлении оси Oy, давят на левую и правую грани. Обозначим p давление жидкости на левую грань. Площадь левой грани dx dz, поэтому на неѐ действует сила p dxdz.

6

Давление на правую грань может отличаться от p, поэтому обозначим его p y p, где y p добавка к p (частный дифференциал,

или приращение давления при смещении на расстояние dy). На правую грань действует сила ( p y p) dxdz (рис. 1.6). Равенство (в)

запишется так:

pdxdz wy dV ( p y p)dxdz 0.

Рис. 1.6

Раскроем скобки и преобразуем левую часть. Будем иметь wy dV y p dxdz 0,

то подстановка в (г) даст

wy p 0.y

Аналогичные равенства получаются при преобразовании первого и третьего выражений в (б). В итоге получим систему дифференциальных уравнений:

7

8

1.3. Жидкость в поле силы тяжести

Вертикальную ось Oz направим вниз от свободной поверхности жидкости (рис. 1.7). Координата z будет указывать глубину.

В поле силы тяжести на каждую частицу жидкости действует мас-

уравнение говорит о том, что p зависит от глубины z.

Значит, во всех точках воображаемой горизонтальной плоскости, пересекающей покоящуюся жидкость, давление одинаково. (1.3)

Из третьего уравнения получаем

dpdz g,

dp g dz,

dp g dz.

Так как любая жидкость практически несжимаема, еѐ плотность

Получилась зависимость давления p от глубины z. Чтобы найти константу C, зададим начальное условие:

9

Пр и м е ч а н и е 1. Значения плотности различных жидкостей даются в справочниках. Поэтому обычно плотности считаются известными.

Пр и м е ч а н и е 2. Утверждение (1.3) может не быть справедливым, если с горизонтальная плоскость пересекает разные жидкости. Например, на рис. 1.8 показана трубка, заполненная ртутью и водой. Воображаемая плоскость АБ пересекает ртуть и воду, по-

pатм 105 Па.

На верхние открытые поверхности бензина и ртути действует атмосферное давление, которое примем равным pатм 105 Па. В левом нижнем колене

(изгибе) содержится бензин. На бензине выделяем горизонтальный уровень А- А. Давление в трубке, оказываемое сверху на левый участок А и правый участок А, одинаково. С помощью формулы (1.3) это равенство запишется так:

В правом нижнем колене содержится ртуть. На ртути выделяем горизонтальный уровень Б-Б. Давление в трубке, оказываемое сверху на левый участок Б и правый участок Б, одинаково. На левый участок Б давит столб воды высотой hв hx , поэтому

10