8. Теорема о сочетании элементов симметрии

1) Осевая теорема Эйлера- фундаментальная теорема. Равнодействующей двух пересекающихся осей симметрии является третья ось, проходящая через точку их пересечения. Честные случаи: 1) если есть поворотная ось симметрии порядка n и перпендикулярно этой оси проходит поворотная ось 2-го порядка, то всего имеется n осей 2-го порядка; 2) если под углом а пересекаются две поворотные оси 2-го порядка, то перпендикулярно им проходит поворотная ось с элементарным углом поворота в 2 раза большим угла пересечения (2а).

2) Точка пересечения оси симметрии второго порядка (L2) или четной оси симметрии с перпендикулярной ей плоскостью симметрии есть центр симметрии. Обратная теорема: Если центр симметрии и через него проходит плоскость симметрии, то перпендикулярно этой плоскости через центр симметрии проходит двойная ось симметрии.

3) Линия пересечения двух плоскостей симметрии является осью симметрии, причем, угол поворота оси вдвое больше угла между плоскостями.

Следствия:1) в присутствии оси симметрии порядка n и плоскости, проходящей вдоль оси, всего имеем n таких плоскостей; 2) Плоскость, проходящая вдоль инверсионной оси симметрии 3-го и 4-го порядков, приводит к появлению оси 2-го порядка. Перпендикулярной инверсионной оси и проходящей по биссектрисе угла между плоскостями.

Способов сочетания элементов симметрии кристаллических многогранников всего 32 и каждый способ называется точечная группа симметрии, или класс симметрии, или вид симметрии.

9) Принципы вывода 32 классов симметрии.

10) сингонии

11) Международная символика классов симметрии ( Германа-Могена)

* Плоскость симметрии – m

* Центр симметрии ( инверсии) 1( с черточкой наверху).

* Поворотные оси – 1,2,3,4,6

* Инверсионные оси – 3,4,6 ( с черточкой )

* nm – оси симметрии n-порядка и n плоскостей вдоль нее

* n/m ось симметрии n-порядка и перпендикулярная ей плоскость симметрии.

* n2 – ось симметрии n порядка и n осей 2-го порядка, ей перпендикулярных.

* n/mm – ось n-го порядка и плоскости: одна перпендикулярная и n параллельных ей.

* Знак «/» используется, когда надо показать, что элементы симметрии расположены взаимно перпендикулярно.

12) простые формы кристаллических многогранников, принципы их вывода.

По характеру своего огранения все кристаллы разделяют на простые формы и комбинации.

Простые формы – это фигуры, состоящие из одинаковых и симметрично расположенных друг относительно друга граней. Примером могут служить куб и октаэдр. Простых форм кристаллов всего 47. Это обосновывается математически, исходя из 32 классов симметрии.

Пример: петнагондодэкаэдр – это крисатл, состоящий из 12 граней пятиугольной формы.

Моно- один, одно дека- десять, десяти

Ди-два. Дважды додека- двенадцать

Три-три,трех,трижды эдра-грань

Тетра-четыре, четырех,четырежды гониа-угол

Пента- пять, пяти, пятью пинакос-доска

Гекса-шесть, шести, шестью клино - наклоняю

Окта-восемь,восьми,восемью

Простые формы бывают открытыми, т.е не замыкающими пространство со всех сторон, и закрытыми, замыкающими пространство

Из 47 простых форм 7 относятся к сингониям низшей категории, 27 средней категории и 15 высшей категории.

14) комбинации простых форм.

Комбинация- это фигура, имеющие различные по очертаниям и величине грани, т.е. один кристалл представляет собой сочетание ряда простых форм. Примером может служить параллелепипед с гранями трех конфигураций в виде парных прямоугольников – пинакоидов, различных по величине.

15,16,17,18) Кристаллографические координатные системы, их параметры.

При характеристике многогранников, кроме элементов симметрии, важно определять положение отдельных граней в пространстве и взаимное их расположение. Для этого внутри многогранников условно проводят координатные оси, пересекающиеся в центре. Координатные оси, проведенные параллельно рядом пространственной решетки, называются кристаллографическими осями.

Кристаллографические оси имеют три оси, реже их четыре, когда приходится иметь дело с кристаллами тригональной и гексагональной сингонии. При трех осях одна из них (1) должна быть направлена к наблюдателю, другая (2) – слева направо и третья (3) располагается вертикально.

Параметры граней

Отрезки, отсеченные гранью кристалла на выбранных осях, называются параметрами данной грани.

Благодаря тому что кристаллы имеют пространственные решетки, была обнаружена закономерность в отношениях параметров разных граней кристалла. Это выражается в том, что отношение индексов двух пересекающих координатные оси граней одного и того же кристалла дает целые и сравнительно малые числа:

a/a1:b/b1:c/c1=m:n:p –закон целых чисел(Гаюи). Второй закон клисталлографии.

Отношение отрезков, отсекаемых двумя гранями кристалла на координатных осях( или на трех пересекающихся ребрах) относятся друг к другу как целое, взаимно простые и малые числа.

Для сравнения между собой параметров граней кристалла одна из его граней принимается за масштабную. Ее называют единичной гранью. При измерении положения других граней изучаемого кристалла параметры это грани принимают за единицу.

Индексы и символы граней

Для упрощения обозначения положения граней в системе кристаллографических осей рекомендуется пользоваться не числами m,n и p, а обратными им величинами, которые получили название индексы Миллера:

1/m:1/n:1/p=h:k:l

Символ единичной грани всегда равен (111)

Отрезки которые отсекает исследуемая грань : a,b,c, берутся их отношение к параметрам единичной грани a/a0:b/b0:c/c0 – эти параметры обозначаются как p:q:r и называются параметрами Вейсса.

Закон Вейса: Каждая грань кристалла принадлежит по меньшей мере двум поясам(зонам).

Установка кристаллов.

Для определения символов граней кристалл устанавливают в системе координатных осей.

Оси координат в кристалле размещаются в соответствии с элементами симметрии. Их можно разместить следующим образом: 1) по осям симметрии; 2) по нормалям к плоскостям симметрии ( в случае отсутствия или недостаточного числа осей) и 3) параллельно действительным или возможным ребрам кристаллов( обычно в случае отсутствия или недостаточного числа осей и плоскостей симметрии).

19)Закон постоянства двугранных углов (Стено). Первый закон кристаллографии

Выражается в том, при одних и тех же условиях кристаллы одного вида заключают между соответствующими гранями одинаковые углы.

При росте кристаллов могут меняться размеры и формы граней, но углы между соответствующими гранями остаются неизменными, поскольку постоянны углы наклона плоских сеток их пространственных решеток одна относительно другой. С помощью величин двугранных углов можно точно определить, какому минералу принадлежит тот или иной кристалл.

20,21)

Причина геометрической правильности форм кристалла в закономерном внутреннем строении. Периодичность кристалла выражается в том. Что одинаковые структурные элементы закономерно повторяются, эта повторяемость может быть описана при помощи трансляций( симметрические преобразования) – переноса структур из точки в точку на расстояние, равное периоду трансляции ( периоду идентичности). Кристалл можно рассматривать как пространственную решетку- бесконечное трехмерное периодическое образование. Кристаллическая решетка- схема внутреннего строения кристаллического вещества. Для построения пространственной решетки нужно взять 4 исходные точки, далее идет параллельный перенос по трем направлениям. Основных троек трансляций всего 14, они называются решетками Бравэ или группами трансляций.