розпізнати спотворений образ х³=² = (спотворений біт підкреслений)

На рис. 6.5 наведена ця мережа й позначені деякі її зв’язки.

Рис. 6.5. Мережа Гопфілда, що складається з 7 нейронів

Елементи матриці ваг W розмірності7x7, що має вигляд

W=,

де – матриця ваг для i-го (i=1,2) образу, що навчає, визначається за формулою (6.1)

w₁₂ = 1(-1) + (-1) (-1) = 0; w₁₃ = 1-1) + (-1)1 = -2;

w₁₄ = 11 + (-1)(-1) = 2;w₁₅ = 1(-1) + (-1)1= -2;

w₁₆ = 11+ (-1)(-1) = 2;w₁₇ = 11+ (-1)1= 0 и т. д.

Після визначення всіх ваг матриця набуває вигляду

W=

Обчислимо енергію кожного образу, беручи до уваги тільки ак­тивні нейрони. Для першого образу

Тоді Е¹ = -13. Аналогічно отримуємо для другого образу

Розпізнавання образу х³=² починаємо з визначення його енер­гії, що після проведення аналогічних обчислень дорівнюватиме

За формулами (6.3) і (6.4) обчислюємо нові стани нейронів і від­повідні значення вихідних сигналів, які з урахуванням біпо­лярної активаційної функції дорівнюватимуть

Таким чином, після подання х³=² мережа перейде в стійкий , що відповідає образу з енергією, як неважко переконатися, Е = -9. Отже, мережа правильно розпізнала (відновила спотворений) образ.

6.3. Синхронна мережа Гопфілда

Як ми вже зазначали, у цій мережі нейрони змінюють свій стан одночасно, прагнучи перейти в деякі стійкі стани. Однак при цьо­му поняття стійкого стану має дещо інший зміст. Розглянемо це на прикладі.

Приклад 6.4. Нехай на виходах синхронної мережі Гопфілда, заданою матрицею ваг і значеннями по­рогів , у деякий момент часу к при подачі на її входи век­тора з’являються одиничні сигнали. Тоді в наступний (k + 1)-й момент часу нейрони перейдуть у нові стани, визначені відповідно до (6.3)

і на їхніх виходах з’являться сигнали

.

На (k + 2)-му такті сигнали надійдуть на входи нейро­нів, переводячи їх у стани

після чого на їхніх виходах з’являться сигнали (k + 2) = 1 (і =), тобто мережа перейшла в початковий стан. Неважко помітити, що мережа осцилює.

Що ж відбувається з енергією мережі? У момент часу k значен­ня енергетичної функції (6.5) дорівнюватиме

а при переході в новий стан на (к + 1)-му такті

Отже, хоча синхронна мережа осцилює, значення її енергетич­ної функції не змінюється.

Використання енергетичної інтерпретації дозволяє побачити основну відмінність між синхронним й асинхронним способами активації мережі Гопфілда. Дійсно, випадковий вибір вершини при асинхронній активації призводить до зміни шляху досягнення мережею свого стійкого стану, тобто до зміни послідовності аналізу мережею проміжних образів. Отже, асинхронна активація збіль­шує деяку невизначеність шляху переходу мережі з початкового в кінцевий стан. При синхронній активації всі вершини оновлю­ються разом, тому проміжні образи не змінюються. Крім того, мережа осцилює між двома різними станами. Обидва ці способи активації призводять до одного результату, тому звичайно їхній вибір не є принциповим.

6.4. Неперервна мережа Гопфілда

Неперервний варіант мережі Гопфілда є узагальненням дискретної мережі у випадку використання замість порогової функції актива­ції неперервної. Звичайно в якості такої функції використовують синусоїдальну або функцію гіперболічного тангенса, а динаміку мережі описують у неперервному часі. У найбільш загальному вигляді такий опис, запропонований у роботах М. Коєна й С. Ґрос- сберґа [22] ІД ж. Гопфілда [24], може бути поданий у такий спосіб:

де — деяка стала часу;() — функція активації виду

.

Система, динаміка якої описується рівнянням (6.17), може або прагнути до деякого стійкого стану, або перебувати в хаотич­ному русі, або осцилювати. Вибір симетричної матриці вагових коефіцієнтів дозволяє забезпечити рух системи до стійкого стану. При цьому збіжність гарантується теоремою Коєна — Ґроссберґа [22]. Стійкі стани свідчать про те, що система перебуває в рівновазі й справедливо

У цьому випадку виходи системи визначаються в такий спосіб:

де приймає дійсні значення з інтервалу [0, 1].

Динаміка неперервної мережі Гопфілда може бути описана за аналогією з (6.17) шляхом заміни змінних х на стани нейронів

У цьому випадку система диференціальних рівнянь, що опису­ють мережу, набуває вигляду

а стійкі стани мережі можуть бути визначені у такий спосіб:

Як й у випадку дискретної мережі, аналіз неперервної мережі Гопфілда може бути проведений за допомогою енергетичної функ­ції. Однак доведення збіжності для неперервної мережі загально­го вигляду є досить складним. Для аналізу неперервного випадку Гопфілд використав енергетичну функцію такого вигляду:

Можна показати, що при переході в стійкий стан, як і в дис­кретному випадку, енергетична функція мережі зменшується.