- •Высшая математика (краткий курс лекций)
- •§2. Линейные операции над векторами.
- •§3. Линейная комбинация векторов.
- •§4. Скалярное произведение векторов.
- •§5.Векторное произведение векторов.
- •§7. Линейная зависимость векторов
- •§8. Размерность и базис векторного пространства.
- •§9. Евклидово пространство.
- •§9. Линейные операторы.
- •Глава 2. Матрицы и определители.
- •§1. Основные сведения о матрицах.
- •§2. Операции над матрицами.
- •Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой квадратной матрицей того же порядка:
- •§3. Определители квадратных матриц.
- •§4.Обратная матрица.
- •Алгоритм вычисления обратной матрицы:
- •§5. Базисный минор матрицы. Ранг матрицы.
- •Глава 3. Системы линейных уравнений.
- •§1. Основные понятия и определения.
- •§2. Система n линейных уравнений с n неизвестными.
- •2.1. Матричный метод (метод обратной матрицы).
- •§3. Метод Гаусса. (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)
- •§4. Система m линейных уравнений с n переменными.
- •§5. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.
- •Глава 4. Основы аналитической геометрии.
- •§1.Уравнение линии на плоскости.
- •§2. Уравнение прямой на плоскости. Различные виды уравнений прямой.
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
- •Уравнение прямой в отрезках.
- •Нормальное уравнение прямой.
- •Угол между прямыми на плоскости.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •§3.Кривые второго порядка. Уравнение вида
- •Окружность.
- •Эллипс.
- •Гипербола.
- •Парабола.
- •§4. Системы координат.
- •Полярная система координат.
- •§5. Аналитическая геометрия в пространстве.
- •5.1.Плоскость в пространстве.
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.
- •Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.
- •Общие уравнения прямой в пространстве.
- •5. 4.1. Цилиндрические поверхности.
- •5.4.2 Поверхности вращения.
- •Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной
- •§7. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.
- •§7. Квадратичные формы.
- •Приведение квадратичных форм к каноническому виду.
- •Глава 5. Комплексные числа.
- •§1. Определение комплексного числа.
- •§2. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
- •§3. Тригонометрическая форма числа.
- •§4. Действия с комплексными числами.
- •§5. Показательная форма комплексного числа.
- •§6. Разложение многочлена на множители.
§9. Евклидово пространство.
Ранее мы определили линейное (векторное) пространство, в котором можно складывать векторы и умножать их на число, ввели понятие размерности и базиса, теперь в данном пространстве введемметрику, т.е. способ измерять длины и углы. Это можно сделать, если ввести понятиескалярного произведения.
Определение.Скалярным произведениемдвух векторовX= (x1,x2, . . .,xn) иY= (y1,y2, . . .,yn) называетсячисло (Х,У) = x1y1+y2x2+ . . .+ ynxn (8.1)
Скалярное произведение имеет экономический смысл: еслиX= (x1,x2, . . .,xn) – это вектор объемов различных товаров, аY= (y1,y2, . . .,yn) – вектор их цен, то скалярное произведение(Х,У) = x1y1+y2x2+ . . .+ ynxn выражает суммарную стоимость этих товаров.
Скалярное произведение имеет следующие свойства:
(X,Y) = (Y,X) – коммутативное свойство;
(X,Y + Z)=(X,Y) + (X,Z) – дистрибутивное свойство;
(X,Y) = (X,Y) – для любого действительного числа;
(X,X) > 0, еслиХ– ненулевой вектор;(X,X) = 0, еслиX – нулевой вектор.
Определение.Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным свойствам с 1 по 4 (рассматриваемым как аксиомы), называетсяевклидовым пространством.
Длиной (нормой) вектораХв евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата:
(8,2).
Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Очевидно, что нулевой вектор ортогонален любому другому вектору. Из определения следует, что если два ненулевых вектора ортогональны, то угол между ними равен/2 (т.к.cos/2 = 0)/
Векторы e1,e2, . . . en n-мерного евклидова пространства образуютортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, т.е.(ei,ej) = 0 приi j иei= 1 приi= 1,2, . . .n.
Теорема (без доказательства). Во всякомn-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Примером ортонормированного базиса является система nединичных векторовei, у которыхi– ая компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю :e1 = (1, 0, . . . 0),e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . ,en = (0, 0, . . . , 1).
§9. Линейные операторы.
Рассмотрим два линейных пространства: RnразмерностиnиRmразмерностиm.
Определение.Если задан закон (правило), по которому каждому векторуХ пространстваRn ставится в соответствие единственный векторYпространстваRm, то говорят, что заданоператор (преобразование, отображение)А(Х) и записываютY = A(X).
Оператор (преобразование) называетсялинейным, если для любых векторовX иYпространстваRnи любого числавыполняются соотношения:
1.A(X+Y) = A(X)+A(Y)– свойство аддитивности оператора;
2. A(X) = A(X) – свойство однородности оператора.
Вектор Y = A(X)называетсяобразом вектора Х, а сам векторХ– прообразом вектораY.
Если пространства RnиRmсовпадают, то операторАотображает пространствоRnв себя. Именно такие операторы мы и будем рассматривать в дальнейшем.
Линейный оператор полностью определяется своими значениями на базисных векторах. В самом деле. пусть вn- мерном линейном пространстве с базисомe1,e2, . . . enзадано линейное преобразованиеА. Тогда векторыА(e1),А(e2), . . . ,А(en)- также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:
А(e1)= a11e1+ a21 e2+…+ an1 en
А(e2)= a12 e1+ a22 e2+…+ an2 en
……………………………….
А(en)= an1 e1+ an2 e2+…+ ann en
Тогда таблица (матрица) nnА =называетсяматрицей линейного преобразования А.
Таким образом,каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе.И наоборот,каждой матрице размерности nnсоответствует линейный оператор n- мерного пространства.