- •Высшая математика (краткий курс лекций)
- •§2. Линейные операции над векторами.
- •§3. Линейная комбинация векторов.
- •§4. Скалярное произведение векторов.
- •§5.Векторное произведение векторов.
- •§7. Линейная зависимость векторов
- •§8. Размерность и базис векторного пространства.
- •§9. Евклидово пространство.
- •§9. Линейные операторы.
- •Глава 2. Матрицы и определители.
- •§1. Основные сведения о матрицах.
- •§2. Операции над матрицами.
- •Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой квадратной матрицей того же порядка:
- •§3. Определители квадратных матриц.
- •§4.Обратная матрица.
- •Алгоритм вычисления обратной матрицы:
- •§5. Базисный минор матрицы. Ранг матрицы.
- •Глава 3. Системы линейных уравнений.
- •§1. Основные понятия и определения.
- •§2. Система n линейных уравнений с n неизвестными.
- •2.1. Матричный метод (метод обратной матрицы).
- •§3. Метод Гаусса. (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)
- •§4. Система m линейных уравнений с n переменными.
- •§5. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.
- •Глава 4. Основы аналитической геометрии.
- •§1.Уравнение линии на плоскости.
- •§2. Уравнение прямой на плоскости. Различные виды уравнений прямой.
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
- •Уравнение прямой в отрезках.
- •Нормальное уравнение прямой.
- •Угол между прямыми на плоскости.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •§3.Кривые второго порядка. Уравнение вида
- •Окружность.
- •Эллипс.
- •Гипербола.
- •Парабола.
- •§4. Системы координат.
- •Полярная система координат.
- •§5. Аналитическая геометрия в пространстве.
- •5.1.Плоскость в пространстве.
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.
- •Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.
- •Общие уравнения прямой в пространстве.
- •5. 4.1. Цилиндрические поверхности.
- •5.4.2 Поверхности вращения.
- •Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной
- •§7. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.
- •§7. Квадратичные формы.
- •Приведение квадратичных форм к каноническому виду.
- •Глава 5. Комплексные числа.
- •§1. Определение комплексного числа.
- •§2. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
- •§3. Тригонометрическая форма числа.
- •§4. Действия с комплексными числами.
- •§5. Показательная форма комплексного числа.
- •§6. Разложение многочлена на множители.
Глава 5. Комплексные числа.
§1. Определение комплексного числа.
Определение.Комплексным числом z называется выражение, гдеa иb– действительные числа,i– мнимая единица, которая определяется соотношением:
При этом числоaназываетсядействительной частьючислаz(a = Re z), аb-мнимой частью(b = Im z).
Если a =Re z =0, то числоzбудет чисто мнимым, еслиb = Im z = 0, то числоzбудет действительным.
Определение.Числаиназываютсякомплексно – сопряженными.
Определение.Два комплексных числаиназываются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:
Определение.Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.
§2. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.
Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительнойчисловой осью, а вертикальная -мнимойосью. Вся плоскость называетсякомплексной плоскостью.
у
A(a, b)
rb
0a x
Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY– чисто мнимые.
С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.
§3. Тригонометрическая форма числа.
Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:
Такая форма записи называетсятригонометрической формой записи комплексного числа.
При этом величина rназываетсямодулем комплексного числа, а угол наклона- аргументом комплексного числа.
.
Из геометрических соображений видно:
Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.
§4. Действия с комплексными числами.
Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.
1) Сложение и вычитание.
2) Умножение.
В тригонометрической форме:
,
С случае комплексно – сопряженных чисел:
3) Деление.
Втригонометрической форме:
4)Возведение в степень.
Из операции умножения комплексных чисел следует, что
В общем случае получим:
,
где n –целое положительное число.
Это выражение называетсяформулой Муавра.
(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)
Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.
Пример.Найти формулыsin2иcos2.
Рассмотрим некоторое комплексное число
Тогда с одной стороны .
По формуле Муавра:
Приравнивая, получим
Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то
Получили известные формулы двойного угла.
5) Извлечение корня из комплексного числа.
Возводя в степень, получим:
Отсюда:
Таким образом, кореньn– ой степени из комплексного числа имеетnразличных значений.