- •Высшая математика (краткий курс лекций)
- •§2. Линейные операции над векторами.
- •§3. Линейная комбинация векторов.
- •§4. Скалярное произведение векторов.
- •§5.Векторное произведение векторов.
- •§7. Линейная зависимость векторов
- •§8. Размерность и базис векторного пространства.
- •§9. Евклидово пространство.
- •§9. Линейные операторы.
- •Глава 2. Матрицы и определители.
- •§1. Основные сведения о матрицах.
- •§2. Операции над матрицами.
- •Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой квадратной матрицей того же порядка:
- •§3. Определители квадратных матриц.
- •§4.Обратная матрица.
- •Алгоритм вычисления обратной матрицы:
- •§5. Базисный минор матрицы. Ранг матрицы.
- •Глава 3. Системы линейных уравнений.
- •§1. Основные понятия и определения.
- •§2. Система n линейных уравнений с n неизвестными.
- •2.1. Матричный метод (метод обратной матрицы).
- •§3. Метод Гаусса. (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)
- •§4. Система m линейных уравнений с n переменными.
- •§5. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.
- •Глава 4. Основы аналитической геометрии.
- •§1.Уравнение линии на плоскости.
- •§2. Уравнение прямой на плоскости. Различные виды уравнений прямой.
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
- •Уравнение прямой в отрезках.
- •Нормальное уравнение прямой.
- •Угол между прямыми на плоскости.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •§3.Кривые второго порядка. Уравнение вида
- •Окружность.
- •Эллипс.
- •Гипербола.
- •Парабола.
- •§4. Системы координат.
- •Полярная система координат.
- •§5. Аналитическая геометрия в пространстве.
- •5.1.Плоскость в пространстве.
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.
- •Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.
- •Общие уравнения прямой в пространстве.
- •5. 4.1. Цилиндрические поверхности.
- •5.4.2 Поверхности вращения.
- •Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной
- •§7. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.
- •§7. Квадратичные формы.
- •Приведение квадратичных форм к каноническому виду.
- •Глава 5. Комплексные числа.
- •§1. Определение комплексного числа.
- •§2. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
- •§3. Тригонометрическая форма числа.
- •§4. Действия с комплексными числами.
- •§5. Показательная форма комплексного числа.
- •§6. Разложение многочлена на множители.
§7. Квадратичные формы.
Определение:Однородный многочлен второй степени относительно переменныхх1 их2
Ф(х1, х2) = а11,
не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени, называется квадратичной формойпеременныхх1их2.
Определение:Однородный многочлен второй степени относительно переменныхх1,х2их3
не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формойпеременныхх1,х2их3.
Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет симметрическую матрицу А =. Определитель этой матрицы называетсяопределителем квадратичной формы.
Пусть на плоскости задан ортогональный базис . Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты х1, х2.
Если задана квадратичная форма Ф(х1, х2) = а11, то ее можно рассматривать как функцию от переменных х1и х2.
Приведение квадратичных форм к каноническому виду.
Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .
Это симметрическое преобразование можно записать в виде:
y1 = a11x1 + a12x2
y2 = a12x1 + a22x2
где у1и у2– координаты векторав базисе.
Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде
Ф(х1, х2) = х1у1+ х2у2.
Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1и х2– скалярное произведение.
Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.
Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:
.
При переходе к новому базису от переменных х1и х2мы переходим к переменными. Тогда:
Тогда.
Выражениеназываетсяканоническим видомквадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.
Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.
Пример.Привести к каноническому виду квадратичную форму
Ф(х1, х2) = 27.
Пример.Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:
17x2+ 12xy+ 8y2– 20 = 0.
Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.
Решение:
Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.
Решение:Составим характеристическое уравнение квадратичной формы: при
Решив это уравнение, получим 1 = 1,2 = 11.
Найдем координаты собственных векторов:
полагаяm1 = 1, получимn1 =
полагаяm2 = 1, получимn2 =
Собственные векторы:
Находим координаты единичных векторов нового базиса.
Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:
Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:
Пример.Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.
4ху + 3у2+ 16 = 0
Коэффициенты: a11= 0;a12= 2;a22= 3.
Характеристическое уравнение:
Корни: 1= -1,2= 4.
Для 1= -1 Для2= 4
m1= 1;n1= -0,5;m2= 1;n2= 2;
= (1; -0,5) = (1; 2)
Получаем: -каноническое уравнение гиперболы.