Решение «симплекс-методом»

а) Составим экономико-математическую модель задачи:

4X1 + 0.7X2<=95000

2X1 + 0.6X2<=49400

14X1 + 21X2<=60000

X1>=0; X2>=0

F = X1 + X2  max

Б) перейдем к системе уравнений

Примем у1 – остаток костюмной ткани, у2 – остаток подкладочной ткани, у3 – остаток фурнитуры. Тогда:

4X1 + 0.7X2+ у1=95000

2X1 + 0.6X2+у2=49400

14X1 + 21X2+у3=60000

X1>=0; X2>=0

F = X1 + X2  max

В) выразим остатки:

у1= 4(-X1) + 0.7(-X2)+ 95000

у2= 2(-X1) + 0.6(-X2)+49400

у3=14(-X1) + 21(-X2)+60000

X1>=0; X2>=0

F = (-1)(-X1) + (-1)(-X2)  max

И составим симплекс матрицу и определим разрешающий элемент:

	-х1	-х2	В	Q
У1	4	0.7	95000	23750
У2	2	0.6	49400	24700
У3	14	21	60000	4285.71 –мин
F	-1	-1

Г) найдем оптимальный вариант производства:

	У3	-х2	В
У1	-4/14	-5.3	77857.14	- остаток костюмной ткани
У2	-2/14	-2.4	40828.57	- остаток подкладочной ткани
-х1	1/14	1.5	4285.71	- количество костюмов «двойка»
F	1/14	0.5	4285.71	- максимальное (оптимальное) количество продукции

Интерпретация: после первого преобразования была получена оптимальная (итоговая) симплекс-матрица, т.к. нет возможности дополнительного прироста произведенной продукции за счет изменения структуры выпуска, о чем свидетельствует отсутствие в F-строке отрицательного элемента. Таким образом, оптимальный план производства включает 4285.71 изделия: изготовление 4285.71 костюма «двойка» и отказ от производства жилетов. При этом не использованными останутся: 77857.14м костюмной ткани и 40828.57м подкладочной ткани. Фурнитура расходуется полностью. Дополнительная единица фурнитуры приведет к росту целевой функции (кол-ву продукции) на 1/14 единицы при дополнительном расходе из остатков 4/14м костюмной и 2/14м подкладочной ткани. При необходимости изготовления 1 жилета предприятию придется отказаться от 1,5 костюмов, что приведет к уменьшению количества продукции на 0,5 изделия и дополнительно высвободит 5.3м костюмной и 2.4м подкладочной ткани. Предприятию следует исследовать рынок предложения фурнитуры.

Откройте задачу линейного программирования, решенную на лекции. Посмотрим, как пошагово можно решить такую задачу в среде EXCEL.

Решение задач линейного программирования в среде Excel.

Откроем на новый лист. Занесём исходные данные в виде таблицы в рабочую область Excel. Результаты также соберем в таблицу.

Рисунок 3.1 – Копия рабочей области

Рисунок 3.2 – Копия рабочей области в виде формул

В верхнем подменю «Сервис» (в более поздних версиях программы Закладка «Данные», блок «Анализ») запустим «Поиск решения», куда внесем основные параметры: целевую функцию, место нахождения результатов и полный перечень ограничений.

Рисунок 3.3 – Рабочая панель «Поиск решения»

После выполнения сохраним найденное решение.

Рисунок 3.4 – Рабочая панель «Поиск решения»

Результат будет иметь следующий вид.

Рисунок 3.5 – Результат выполнения сервиса «Поиск решения»

2.КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ.

1. При рассмотрении экономического смысла задач следует учитывать, что числовые значения приняты условно. При решении задач, независимо от варианта, следует вносить все исходные данные.

2. Задача должна быть решена и симплекс-методом, правильность решения которого можно проверить с помощью программы simp.exe, и в среде EXCEL. Оба варианта должны быть на разных страницах.

3. Задачу также можно решить графически.

3.ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ.

Задача N 1.

Торговое предприятие продаёт два вида товаров (А и Б) в количествах Х1 и Х2,используя при этом три вида ресурсов: - рабочее время продавцов в количестве 420 часов;

- площадь торгового зала, составляющая 80 кв.м;

- бумага обёрточная,510 м.

Известны плановые нормативы затрат этих ресурсов в расчёте на единицу товара и прибыли от их продажи.

Требуется определить максимальную прибыль от реализации товаров.

Показатели	Товар А	Товар Б
1.Расход рабочего времени на единицу товара,ч	0,6	0,7
2.Использование площади торгового зала на единицу товара,кв.м	0,1	0,2
3.Расход обёрточной бумаги на упаковку единицы товара,м	0,6	2,9
4.Прибыль от реализации единицы товара, д.е.	5	8

Задача N 2.

Продукцией гормолокозавода является молоко и сметана, расфасованные в тонны молока и сметаны расходуется соответственно: 1.01т и 9.45т. Всего для производства молочной продукции завод может использовать 110т молока. На расфасовку 1т сметаны уходит 3.25ч,а на расфасовку 1т молока - 0.18ч. Основное оборудование может быть занято в течении 21.4ч. Тары для упаковки 1т молока необходимо 2000шт.,а сметаны - 5000шт.Завод имеет в наличии 150000шт. Определить максимальное количество молокопродуктов, которое может выпустить завод.

Задача N 3.

На определенном предприятии организуется цех для использования остающихся от основного производства материалов. Цех может освоить выпуск продукции 2-х видов : столы и книжные шкафы. Эти виды продукции могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), но количество рабочих мест в цехе и ресурсы основных материалов ограничены заданными пределами. Необходимо найти набольшую возможную сумму прибыли. В таблице приведены исходные числовые данные задачи, включающие нормы затрат и общий имеющийся объём ресурсов, а также величину прибыли за единицу каждого вида продукции.

Вид продукции	Нормы затрат на единицу продукции			Прибыль на ед.прод.
	Рабочее время, чел-час	Древесина, куб.м.	Стекло, кв.м.
Стол	9,2	0,3	1	3
Шкаф	4	0,6	2	2
Наличный объем (в месяц)	520	24	60

Задача N 4.На швейной фабрике изготовляются два вида изделий :А и Б,на которые используется три вида ткани. Расход каждого вида ткани на единицу изделия определённого вида дан в таблице. Необходимо определить максимальный выпуск изделий фабрикой, если известно фактическое наличие ткани на фабрике :

первого вида - 22000м;второго вида - 9000м;третьего вида - 56000м.

Вид ткани	Расход на единицу
	А	Б
Первый вид	1	1,5
Второй вид	0,5	0,4
Третий вид	3	4

Задача N 5.Кондитерская фабрика для производства двух видов карамели ( А и Б ) использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производство 1т карамели данного вида приведена в таблице. Найти максимально возможную прибыль от реализации.

Вид сырья	Нормы расхода сырья на 1 т карамели, т		Общее количество сырья, т
	А	Б
Сахарный песок	0,5	0,6	800
Патока	0,4	0,3	600
Фруктовое пюре	0,1	0,6	120
Прибыль от реализации 1 т продукции, т.д.е.	12	26

Задача N 6. При откорме животных используют определённые питательные вещества, но в различных пропорциях. Определить какое максимальное количество может откормить хозяйство, если известно, что оно разводит два вида животных и имеет 60кг корма А, 50кг корма Б и 82кг корма В. Имеются следующие данные о количестве корма каждого вида, необходимом одному животному :

Вид животного	Виды корма
	А	Б	В
Корова	3	4	7
Свинья	4	2	2

Задача N 7. На звероферме могут выращиваться чернобурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указано общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации 1 шкурки лисицы и песца. Определить максимально возможную прибыль от реализации шкурок.

Вид корма	Количество единиц корма, которое ежедневно должны получать		Общее кол-во корма
	лисица	песец
Первый вид	2	3	180
Второй вид	4	1	240
Третий вид	6	7	426
Прибыль, д.е.	160	120

Задача N 8.

Химический состав чугунного литья определяется содержанием в нем химических элементов. Готовый чугун должен иметь строго определенный химический состав, для этого должен быть определенный химический состав шихты. Данные о содержании в одной тонне шихты каждого виды определённых химических элементов и об их наличии на предприятии приведены в таблице. Определить максимально возможное количество шихты, используя данные таблицы.

Химические элементы	Виды шихты		Запас сырья
	1	2
Кремний	0,18	0,13	200
Марганец	0,02	0,9	92
Хром	0,9	0,13	650

Задача N 9. Кондитерская фабрика выпускает два вида изделий: торты и вафли. На производство единицы продукции расходуется определённое количество отдельных видов сырья. Нормы расхода и имеющееся количество сырья каждого вида приведены в таблице.

Вид сырья	Норма расхода сырья на одно изделие		Имеющееся количество сырья
	торты	Вафли
Сахар	0,3	0,1	20 000
Масло	0,12	0,02	10 000
Мука	0,5	0,1	22 000

Зная, что от реализации своих изделий фабрика получает прибыль (а именно: от реализации 1 торта-5 д.е., 1 пачки вафель – 1 д.е.), определить максимальную прибыль, которую получит фабрика от реализации всей выпущенной продукции.

Задача N 10. Из двух видов сырья необходимо составить смесь, в состав которой должно входить не более 26 единиц химического вещества А, 30 единиц вещества Б, 24 единиц вещества В. Количество единиц вещества, содержащегося в 1кг сырья каждого вида, указано в таблице. Определить максимальное количество смеси, которое можно получить, используя приведенные данные.

Вещество	Количество единиц вещества, содержащегося в 1кг сырья вида		Состав смеси
	1	2
А	2,18	0,5	26
Б	2	5	30
В	1	6	24

Задача N 11.Один из цехов предприятия выпускает детские игрушки двух видов ( А и Б ).В наличии у цеха имеются следующие материалы : металл (отходы основного производства) в количестве 6000кг,резина - 1000кг,краска - 19000кг.На выпуск одной игрушки А расходуется 0.2 кг мeталла, 0.02кг резины и 0.7кг краски; на выпуск одной игрушки Б расходуется 0.1кг металла, 0.03кг резины и 0.15кг краски. От реализации одной игрушки А предприятие получает 3 д.е. прибыли, от реализации одной игрушки Б - 2.5 д.е. прибыли. Определите максимально возможную сумму прибыли от реализации всех выпущенных игрушек.

Задача N 12. Для перевозок грузов двух видов (А и Б) могут быть использованы три судна. Существуют нормы, которые показывают, какую площадь занимает одна условная единица груза определённого вида. Эти нормы приведены в таблице. Полезная площадь трюма судна "Н" составляет 300кв.м,судна "К" - 350кв.м,судна "Т" – 400 кв.м.Определить,какое максимальное количество груза (в условных единицах) могут перевезти эти суда.

Судно	Норма площади на одну условную единицу груза, кв.м.
	А	Б
«Н»	4	16
«К»	6	15
«Т»	12	12

Задача № 13.Коммерческий банк «Элита» планирует привлечь для осуществления активных операций депозитов юридических лиц (ДЮЛ) 192000, депозитов физических лиц 360000 (ДФЛ), межбанковский кредит (МБК) -184000.Предполагается,что средства будут направлены на кредитование, и распределятся следующим образом:

краткосрочный кредит: средняя сумма - 29000, формируется из: ДФЛ=18000, ДЮЛ=6000, МБК=5000;

среднесрочный кредит: средняя сумма-22000, формируется из: ДФЛ=15000,ДЮЛ=3000, МБК=3000;

долгосрочный кредит: средняя сумма-23000 формируется из: ДФЛ=12000, ДЮЛ==8000, МБК=3000.

Ожидаемая средняя прибыль от кредитования: краткосрочный-9000, долгосрочный-16000, среднесрочный-10000. Определить максимальную прибыль, количество договоров и остатки ресурсов, оптимизируя кредитный портфель с помощью симлекс-метода.

Задача № 14.Коммерческий банк «Церковный»имеет на корреспондентском счете в НБУ 270000.Кроме этого имеется реальная возможность привлечь межбанковский кредит в сумме 280000 и вклады населения(ВН) в сумме 540000. Средства направляются на выдачу кредитов в следующей пропорции:

-краткосрочные кредиты: средняя сумма-43500 состоит из: ВН=27000, МБК=9000, кор.счет=7500;

-среднесрочные кредиты: средняя сумма=33000 состоит из: ВН=22500, МБК=6000, кор.счет=4500;

-долгосрочные кредиты: средняя сумма-34500 состоит из: ВН=18000, МБК=12000, кор.счет=4500.

Ожидаемый доход по краткосрочному кредиту-18000,по среднесрочному кр.-20000, по долгосрочному-32000.

Определить максимально возможный доход, остаток ресурсов. Какой из видов кредитования не следует проводить?

Задача №15. Лизинговая компания для осуществления своей деятельности приобрела технологических линий-180 шт., энергетических установок-96 шт. и имеет 90000 т.д.е.. на счете для осуществления капитальных работ. Компания занимается сдачей в аренду целостных имущественных комплексов трех видов, состоящих из:

1 вид-9 линий, 3 ЭУ, требуется 2500 т.д.е. на строительство зданий;

2 вид-7,5 линий,2 ЭУ, требуется 1500 т.д.е. на строительство зданий;

3 вид-6 линий,4 ЭУ, требуется 1500 т.д.е. на строительство зданий;

Сдача в аренду комплексов 1-го вида принесет прибыль в размере 4500 т.д.е. в год, 2-го--5000 т.д.е. в год, 3-го – 8000 т.д.е. в год. Определите, на строительство каких комплексов следует направить средства и максимальную прибыль компании и остаток средств на счете.

Задача №16.КБ «Таврика» после увольнения управляющего инвестиционным отделом принял решение реализовать часть портфеля ценных бумаг и направить средства на кредитование. На реализацию выставляется 720 ОВГЗ, 384 акции ВТБ и 360 векселей НДЦ.

Реализацию предполагается производить пакетами:

1 вид пакета ЦБ включает:36 ОВГЗ,12 акций,10 векселей;

2 вид пакета ЦБ включает:30 ОВГЗ,8 акций,6векселей;

3 вид пакета ЦБ включает:24 ОВГЗ,16 акций,6 векселей.

Дополнительную прибыль от реализации можно ожидать в размере: по 1-му виду – 18000 д.е., по 2-му-20000 д.е., по 3-му - 32000 д.е. Составьте оптимальный план продаж, рассчитайте максимально возможную прибыль и определите остатки ЦБ.

Задача № 17. Фирма планирует переоснащение производства. Ей предлагается 2 вида станков, выполняющих одинаковые операции, но имеющие разные характеристики.

Первый станок можно приобрести по цене 30000 д.е., затраты на доставку – 500 д.е., на установку - 1000 д.е. Второй станок стоит 40000 д.е., затраты на доставку – 400 д.е., на установку – 1500 д.е. Станки способны принести годовую прибыль фирме в размере 10000 д.е. каждый.

Определить количество приобретаемых станков, суммарную годовую прибыль от их использования,если на покупку станков будет направлено 750 т.д.е., на доставку- 9 т.д.е., на установку-22 т.д.е.

Задача № 18. КБ «Украина» рассматривает возможность приобретения нескольких пакетов ценных бумаг. Инвестиционный портфель предполагается сформировать в течение месяца, путем постепенного их приобретения на фондовом рынке. Предполагается, что:

первый пакет ЦБ будет включать: ОГВЗ на 3000 д.е., акций-0,5 т.д.е.., облигаций корпоративных-1000 д.е.;

второй пакет: ОВГЗ на 4000д.е., акций-0,4 т.д.е., облигаций корпоративных- 1500д.е..

Доходность не зависит от вида пакета ЦБ и составляет 1000д.е. в год. Исходя из распределения ресурсов, на покупку ОВГЗ следует направить 5600 т.д.е., на покупку акций - 900т.д.е., облигаций - 2200т.д.е.. Определите структуру оптимального портфеля ЦБ и максимальную прибыль.

Задача № 19. КБ «Укринбанк» рассматривает вопрос о создании филиальной сети. Филиалы предполагается создавать в больших городах, в малых городах и в сельской местности. Для обеспечения создания и нормальной работы филиала требуется произвести капитальные работы, закупить оборудование и нанять персонал, причем в следующей пропорции:

-для больших городов: капитальных затрат – 60000 д.е., оборудования – 40000 д.е., персонала - 15 человек;

-для небольших городков: капитальных затрат – 75000 д.е., оборудования – 20000 д.е., персонал-15 человек;

-для сельской местности: капитальных затрат – 90000 д.е., оборудования-30000 д.е., персонал-25 человек.

Банк может выделить на капитальное строительство 1,8 млн.д.е., на оборудование – 960 т.д.е. и может привлечь с рынка труда 900 специалистов. Определите возможное количество филиалов и максимальную прибыль, исходя из того, что филиал в сельской местности приносит 45000д.е. дохода, в малом городе -50000д.е. и в большом городе - 80000д.е..

Задача № 20. КБ «Укрсоцбанк» проводит следующую деловую политику: он привлек депозитов населения-108000д.е., депозитов юридических лиц - 57600д.е., МБК - 54000д.е. и рассматривает возможность их размещения в финансовые активы, межбанковский кредит и кредитование юридических лиц. Чтобы дифференцировать риски, предполагается использование сразу нескольких видов ресурсов на одну операцию:

-на финансовые инвестиции: ДФЛ-1800, ДЮЛ-600, МБК-500д.е..

-на МБК: ДФЛ-1500, ДЮЛ-400, МБК-300д.е..

-на кредитование: ДФЛ-1200, ДЮЛ-800, МБК-300д.е..

Прибыль от финансовых инвестиций - 2700д.е.., от МБК - 300д.е.., от кредитования-4800д.е.. Рассчитать оптимальную схему распределения ресурсов и максимальную прибыль.

Задача № 21. КБ «Возрождение» принимает решение привлечь средства - выпуская депозитные сертификаты на сумму 21600д.е. и 115200д.е. соответственно. Банк оценил, что за 1 день торгов:

- на Украинской универсальной бирже будет продано сертификатов и облигаций на сумму 3600 и 1200д.е. соответственно;

• на УФБ: сертификатов на 3000д.е., облигаций-800д.е.;

• на ПФТС: сертификатов - 2400д.е., облигаций - 1600д.е..

Вместе с ним банк может получить эмиссионный доход за 1 день на УЦБ-280д.е., на УФБ-260д.е. и на ПФТС-240д.е.. Определить где и на какую сумму следует размещать сертификатов и облигаций, чтобы получить максимальный эмиссионный доход?

Задача № 22. КБ «Аваль» при формировании уставного фонда стремиться максимизировать эмиссионный доход. Он выпустил акций на сумму 4320000д.е., привилегированных акций на сумму 2304000д.е. и облигаций на сумму 2160000д.е..

На Украинской универсальной бирже за 1 день может быть размещено: акций на сумму 21600д.е., прив.акций на 72000д.е., облигаций - 60000д.е. при этом эмиссионный доход (ЭД) - 18000д.е.. На УФБ за 1 день - на 180000д.е.. акций, на 48000 д.е. прив.акций, и на 36000 д.е. облигаций, ЭД - 20000д.е.. При помощи сетевого маркетинга можно за 1 день разместить акций - на сумму 144000д.е.., прив.акций - на сумму 96000д.е., облигаций - на сумму 36000д.е., ЭД - 32000д.е..

Определите, будет ли сформирован уставной фонд при максимально возможном эмиссионном доходе?

Задача № 23. КБ «Правекс-банк» проводит открытую подписку на акции. Максимальный пакет для физических лиц включает 5 прив.акций и 30 акций, а для юридических лиц - 4 прив.акции и 40 акций. Всего к реализации представлено 90000 прив.акций и 560000 простых акций. При реализации 1-го пакета акций, банк получает эмиссионный доход в размере 100 д.е.. Определите количество прив.акций у юридических лиц, количество граждан акционеров (из расчета, что 1 гражданину продан 1 пакет) и максимально возможный эмиссионный доход.

Задача № 24. КБ «ОКБ» планирует открыть небольшой филиал во Львове. Основные депозиты филиала предполагается сформировать на основании вкладов клиентов - физических и юридических лиц. Затраты на оформление счета физического лица – 10д.е., юридического лица - 12д.е.. Затраты за квартал, связанные с операциями по счетам у физ. лиц-60д.е.., у юр.лиц-80д.е.. Но банк планирует взимание платы с клиентов, которая принесет ему ежеквартальный доход 20д.е. не зависимо от вида клиента. На оформление счетов предполагается затратить 18000д.е.., а на начальное обслуживание до наступления срока оплаты-112000д.е..

Определите структуру клиентов, их численность исходя из того, что банк стремится максимизировать прибыль.

Задача № 25. КБ «Причерноморье» в сумме заключенного договора залога и в результате невозврата кредита стал полноправным владельцем 90000 утюгов «PHILIPS» и 560000 чайников фирмы «BRAUN». Рассматривая возможность расплатиться с заемщиком, он находит 2 альтернативы: отдать на реализацию в сеть магазинов или реализовать залог через коммивояжеров.

Сеть магазинов может сбыть 250 утюгов и 1500 чайников в день, принося банку дополнительный доход в размере 500д.е.. Коммивояжеры (сетевики) способны реализовать 200 утюгов и 2000 чайников в день, обеспечивая такой же доход банку.

Определить, сколько дней будет продаваться залог у коммивояжера и в сети магазинов, если банк решил проводить сбыт сразу по двум каналам, максимизируя свою прибыль.

4.В ОТЧЁТЕ ДОЛЖНО БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНО :

1 Графическое решение задачи в письменном виде .

2.Решение задачи с помощью табличного симплекс-метода, снятого с экрана дисплея.

3.Сравнить данные , полученные с помощью графического и симплекс-метода.

Объяснить полученные результаты.

5.ИНСТРУКЦИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЮ

Программа, в которой реализован симплекс-метод линейного программирования, называется simp.exe.

Для вызова данной программы войдите в NORTON COMANDER и выберете каталог TASKS,

войдите в файл simp.exe.

Для вывода информации на дисплей нажмите клавишу F1.На экране повляется исходная симплекс-таблица. Вам необходимо:

1.Введите количество показателей (с помощью клавиши Enter)

2.Введите количество ограничений Последним элементом при вводе должен быть свободный член. Последняя строка -целевая функция.

Если данные введены правильно, нажмите Y. После этого на экране появляется отимальная таблица, вычисления закончены.

Для выхода из программы нажмите клавишу Esc.

6. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ И САМАКОНТРОЛЯ :

1. Суть графического метода решения задач ЛП.

2. Какие вы знаете универсальные методы решения задач ЛП ?

3. Какие вы знаете специальные методы решения задач ЛП ?

4. В каких случаях задача ЛП не имеет решения , имеет множество оптимальных решений ?

5. Задачи ЛП и методы их решения .

6. Применение в анализе хозяйственной деятельности ЛП .