Решение графическим способом

Б) Для решения задачи линейного программирования необходимо исходные данные представить в виде математической модели. Исходная система неравенств должна быть представлена в следующем виде:

a11X1+a12X2<=b1 (1)

a21X1+a22X2<=b2 (2)

a31X1+a32X2<=b3 (3)

X1=>0; X2=>0; aij>0; bi>0; cj>0 (4)

(i=1,3;j=1,2)

Целевая функция должна иметь такой вид :Z=c1x1+c2x2 и должна стремиться к максимуму. Если рассматривать в качестве примера задачу, содержание которой изложено в п.1.3.А), то математическая модель будет иметь следующий вид :

4X1 + 0.7X2<=95000

2X1 + 0.6X2<=49400

14X1 + 21X2<=60000

X1>=0; X2>=0

Целевая функция :

где 1) Х-это количество продукции фабрики, а именно :

Х1 -количество костюмов мужских «двойка»:

Х2 -количество жилетов;

2) Z-это общий выпуск продукции фабрики;

3) aij-это расход i-го вида ресурса на единицу j-го вида продукции;

4) bi -имеющееся на предприятии количество i-го вида ресурсов.

Данная задача решается как при двух, так и при трёх ограничениях. В первом случае, т.е. при двух ограничениях, третье ограничение (3) будет отсутствовать.

Систему исходных неравенств можно представить в виде трёх массивов, которые будут иметь следующую структуру :

a11 a12 b1

A= a21 a22 ; B=b2 ; C=c1c2

a31 a32 b3

В рассматриваемом примере эти массивы будут содержать такие элементы :

4 0,7 95000

A= 2 0,6 ; B=49400 ; C=1 1

14 21 60000

При наличии только двух ограничений элементы a31 a32 и b3 будут равны 0

В) Для решения задачи можно использовать графический метод.

Его суть состоит в следующем :

1) Сначала на графике строятся прямые следующего вида :

a11x1+a12x2=b1 i=1.2 или i=1.3

При их построении используется то, что они проходят через две точки: (b1/a11,0) на оси ОX и (0,b1/a12) на оси OY. Тот же принцип используется при построении прямой Z=c1x1+c2x2

2. Прямые вида a11x1+a12x2=b1 в своём пересечении ограничивают некоторую область Д, все точки которой соответствуют условиям (1),(2),(3),(4),а затем к ней строится касательная Z=c1x1+c2x2, причём параметр z определяется методом проб и ошибок.

Смысл заключается в том, чтобы соблюдались одновременно два условия:

- прямая должна иметь, как минимум, одну общую точку с областью Д, т.е. либо пересекать её, либо быть к ней касательной; Z=c1x1+c2x2

- Z должно быть максимальным.

3) Графическое решение задачи линейного программирования (традиционный способ). В(п.1.3.Б) была построена математическая модель экономической задачи. Рассмотрим принцип решения данной задачи при двух ограничениях графическим методом вручную.

Возьмём на плоскости переменных Х и Х прямоугольную систему координат и построим на ней прямые:

(прямая АB)4x1+0,7x2=95000

(прямая CD)2x1+0,6x2=49400 35714 B

Для построения прямой надо

найти две точки :(bi/ai1;0)

на оси 0X1,(0;bi/ai2) на

оси 0X2.Для построения пря-

мой AB такими точками являются:

- т.А(23750;0) на оси 0X1

[23750=95000/4]; 82333 Д

- т.B(0;135714) на оси 0X2

[135714=95000/0.7].

Для построения прямой CD точки:

- т.C(24700;0) на оси 0X1

[24700=49400/2];

- т.D(0;82333) на оси 0X2

[82333=49400/0.6].

Эти две прямые ограничивают 2857 Т

область Д (которая для нагляд-

ности может бытьзаштрихована).Теперь к А с x1

необходимо построить прямую KT: 4286 23750 24700

Z=x1+x2,для этого надо подобрать

такое значение Z,при котором пря-

мая KT удовлетворяла бы одновременно

двум условиям (п.1.2.В)).Возьмём Z=60000.Теперь строим прямую КТ: 14x1+21x2=60000,она пройдёт через две точки: т.К(4285.71;0) и т.Т(0;2857.14). Область Д была откорректирована (итоговая штриховка). Прямая КТ формирует итоговую область ограничений, следовательно значение т.К и т.Т являются единственными решениями. При этом максимум целевой функции достигается в точке К (F=1*4285.71+1*0=4285,71). Таким образом, оптимальный план производства состоит в изготовлении 4285.71 костюма «двойка» и отказе от изготовления жилетов.