Лекция 16. Математические модели средств измерений с распределенными параметрами

Если вход СИ нельзя представить в виде одной точки, и он рас­пределен по некоторой линии или поверхности, то такое СИ или сис­тему называют СИ или системой с распределенными параметрами [34, 57]. Динамические свойства таких СИ могут быть описаны ши­роким классом уравнений математической физики: дифференциаль­ными уравнениями в частных производных, интегральными урав­нениями, интегродифференциальными уравнениями с полными и частными производными и т. д.

По существу, большинство технических средств являются сред­ствами с распределенными параметрами. К наиболее типичным представителям, например, СИ механических и теплофизических величии с распределенными параметрами относятся измерительные преобразователи, а, следовательно, и приборы температур, давлений и тепловых расходомеров.

До настоящего времени основное внимание уделялось исследова­нию и описанию систем с сосредоточенными параметрами. Это объяс­няется исключительно тем, что эти модели значительно проще как в описании, так и в исследовании и являются некоторым упрощени­ем систем с распределенными параметрами. Однако возрастающие требования к точности СИ, а следовательно, и к адекватности ма­тематических моделей все чаще приводят к необходимости деталь­ного изучения именно СИ с распределенными параметрами.

О сложности динамических моделей систем с распределенными параметрами свидетельствует необходимость их описания краевы­ми задачами с граничными и начальными условиями. При этом под­ходы к описанию, а, следовательно, математические модели и их ис­следование весьма разнообразны и, как правило, связаны с конк­ретной задачей. Однако имеется и ряд обобщений. Например [58], для описания и расчета механических систем используется матрич­ный метод начальных параметров, позволяющий преобразовать ис­следование сложной механической системы в цикл алгебраических операций.

В справочном пособии [57] приведены около 500 краевых задач, разбитых на отдельные непересекающиеся группы. При этом пред­лагается использование [57, 58] структурного метода исследования систем с распределенными параметрами, который вообще говоря, является обобщением структурного метода (п. 4.2) для СИ с сосре­доточенными параметрами. Обобщение математических моделей не­которых типов ИМ [34] температуры, давления и других, и методов их анализа не противоречит идее и основным положениям структур­ного метода. Но основное внимание уделено математическим моде­лям в виде дифференциальных и интегральных уравнений.

В данной лекции рассмотрим лишь сущность структурного метода описания и исследования СИ с распределенными параметра­ми, описание динамических свойств в виде дифференциальных уравнений и основные динамические характеристики этих средств.

В основе структурного метода лежит идея распределенного блока, который соответствует физическому процессу в сплошной среде и является обобщением преобразователей или звеньев СИ с сосредоточенными параметрами.

Распределенным блоком [57] на­зывается устройство любой природы, в котором выделены вход и выход (рис. 4.19), причем на вход поступает входной распределен­ный сигнал V (х, t), а на выходе появляется выходной, также рас­пределенный сигнал U (х,t),

который, однако, может иметь и дру­гую размерность. Распределенный блок или преобразовательный элемент, как и в случае СИ с сосредоточенными параметрами, поз­воляет представить средство измерений в виде структурной схемы с последовательным, параллельным и встречно-параллельным соеди­нениями этих элементов. Это позволяет [57], используя правила пре­образования, суммирования и вычитания распределенных сигналов и имея математические модели отдельных элементов, получить ма­тематическую модель СИ с распределенными параметрами.

Распределенным [57], или многомерным [34], сигналом называ­ется функция f(х,t), , , где х — пространственная пере­менная; — область в r-мерном евклидовом пространстве ; D — область числовой оси.

Если в распределенном сигнале f (х, t), , размерность пространственной области есть r, то сигнал называется r-мерным распределенным сигналом.

Рассмотрим определения для некоторых частных случаев рас­пределенного сигнала. Если функция f (х, t) принимает числовые значения, то сигнал называется скалярным. Если в качестве функ­ционального пространства сигналов рассматриваются функции f, независящие от пространственной переменной х, а зависящие толь­ко от переменной t, то сигналы f(t) называют сосредоточенными. Если рассматриваются функции f, зависящие только от переменной х, то сигналы f (х) называют статическими распределенными.

Для исследования систем с распределенными параметрами вво­дится понятие многомерной -функции. Эта функция обладает те­ми же свойствами и значением, как и -функция, рассмотренная ра­нее (п. 2.2) для систем с сосредоточенными параметрами.

Так, например, четырехмерная -функция (одна временная и три пространственные координаты)

(4.136)

или

(4.137)

где — декартовы координаты некоторой точки М и М₀.

Также справедливо интегральное свойство

(4.138)

где V (M) — непрерывная функция в точке М₀.

Динамика СИ с распределенными параметрами может быть опи­сана дифференциальным уравнением [34, 57, 58]

(4.139)

с граничным

(4.140)

и начальным условиями

(4.141)

где l, Г, N — линейные дифференциальные операторы основного уравнения (4.139), граничных (4.140) и начальных (4.141) условий; — граница области .

Так как возможно существование некоторой функции линейно зависящей от , и , то уравнения (4.139) ... (4.141) могут быть приведены к эквивалент­ным с однородными граничными и нулевыми начальными усло­виями:

(4.142)

(4.143)

(4.144)

Импульсная характеристика для СИ с распределенны­ми параметрами будет функцией четырех переменных — двух вре­менных и двух пространственных — и является решением кра­евой задачи (4.142) ... (4.144) при

то есть

(4.145)

(4.146)

(4-147)

Зная импульсную характеристику, можно найти решение задачи (4.139) ... (4.141) при произвольных начальных условиях:

(4.148)

Для случая, если задача не зависит от пространственной перемен­ной х, выпадают граничные условия (4.143) или (4.146), а импульс­ная характеристика удовлетворяет уравнениям

(4.149)

(4.150)

Решение задачи при произвольных и f₃:

(4 151)

Для стационарных СИ импульсная характеристика будет зави­сеть только от трех аргументов — , так как уравнения (4.142) ... (4.144) инвариантны к сдвигу во времени. В этом случае

(4.152)

Для СИ с распределенными параметрами также, как и для средств с сосредоточенными параметрами, можно воспользоваться понятием единичной переходной функции , которая бу­дет представлять собой реакцию невозбужденного СИ на единичный ступенчатый распределенный сигнал.

Следует заметить, что для СИ с распределенными параметрами за выходные сигналы, как правило, принимаются некоторые усред­ненные по пространству значения входного сигнала, распределен­ного в чувствительном элементе [34]. Поэтому часто удается, во-пер­вых, упростить задачу, считая при этом . В этом случае выходной сигнал стационарного СИ может быть представлен в виде

(4.153)

Во-вторых, если выходной сигнал СИ является некоторым функци­оналом от локальной реакции , то соотношение (4.153) целе­сообразно привести к виду

(4.154)

называемому интегральной реакцией СИ с распределенными пара­метрами.

Передаточная функция, согласно определению для стационар­ной задачи, может быть получена преобразованием Лапласа во вре­мени от импульсной характеристики :

(4.155)

где — поле комплексных чисел.

Локальная передаточная функция может быть получена также с применением преобразований Лапласа к уравнениям задачи [34] при нулевых начальных условиях:

(4.156)

и представляет собой дробно-рациональную функцию.

Частотная передаточная функция или характеристика аналогич­но (4.155) получается преобразованием Фурье от импульсной харак­теристики:

(4.157)

Таким образом, СИ с распределенными параметрами (как и СИ с сосредоточенными параметрами) могут быть описаны дифферен­циальными уравнениями, передаточной и частотной передаточной функциями.

В качестве примера приведем математическую модель манометра с упругим чувствительным элементом без учета влияния аэродина­мических трасс. Его динамические свойства, как средства с распре­деленными параметрами в декартовых координатах, описываются краевой задачей

(4.158)

(4.159)

(4.160)

(4.160)

где — отклонение точки мембраны от положения равновесия; а — величина, характеризующая отношение натяже­ния к поверхностной плотности; — величина, обратная поверх­ностной плотности мембраны; — отношение коэффициента за­тухания от вязкого трения к массе мембраны.

Аналогично уравнения могут быть представлены в полярных ко­ординатах.

Если учитывать течение в аэродинамической трассе (подводные трубки и полость мембранной коробки), то давление р (t) в уравне­нии (4.158) следует рассматривать как входной сигнал другой си­стемы, являющейся также распределенной и описываемой краевой задачей. В этом случае динамические свойства СИ будут описывать­ся уже системой дифференциальных уравнений в частных произ­водных.

Для составления уравнений (4.158) ... (4.160) можно, например, воспользоваться физическими явлениями и законами [59] или уравнениями Лагранжа [60]. В основу методов составления мате­матической модели СИ с распределенными параметрами могут быть положены методы, рассмотренные для СИ с сосредоточенными па­раметрами. Однако при этом они значительно усложняются в свя­зи с необходимостью учета пространственного распределения сигнала и физических явлений в процессе его преобразования.

Представить здесь все разнообразие и пути составления матема­тических моделей СИ с распределенными параметрами не представ­ляется возможным. Поэтому воспользуемся обобщениями математи­ческих моделей [34, 57] и рассмотрим несколько типов обобщенных моделей, к которым могут быть приведены многие ИП- преоб­разователи для измерений температуры контактным методом, зада­ча описания которых сведена к описанию систем в виде неограни­ченной пластины, шара или неограниченного цилиндра; пленочные термоприемники; измерительные преобразователи давлений и др.

В качестве типовых математических моделей ИП могут быть приняты параболическая и гиперболическая линейные модели [34].

К точным методам анализа [34, 50] могут быть отнесены: метод разделения переменных, использование преобразований Лапласа, методы конечных интегральных преобразований и др.

Рассмотрим этот вопрос на примере метода разделения перемен­ных, который является одним из эффективных методов решения кра­евых задач. Его еще называют методом Фурье, или методом собст­венных функций.

МЕТОД ФУРЬЕ, ИЛИ МЕТОД СОБСТ­ВЕННЫХ ФУНКЦИЙ.

Основная идея метода заключается в том, что ре­шение краевой задачи в частных производных сводится к решению вспомогательных уравнений или дифференциальных уравнений в частных производных, но с меньшим числом независимых перемен­ных. При этом решение уравнения в частных производных строится в виде произведений (суммы) из решений вспомогательных краевых задач. Затем из этих решений в виде линейной комбинации с постоян­ными коэффициентами находится решение первоначальной краевой задачи.

Решение дифференциального уравнения в частных производных можно искать в виде

(5.16)

или

(5.17)

Если после подстановки предполагаемого решения исходное урав­нение можно записать в виде

(5.18)

то, так как это соотношение должно быть справедливым при любых значениях времени и пространственных координат, левая и правая части его равны некоторой постоянной величине b:

(5.19)

(5.20)

где b — произвольная постоянная, определяемая из начальных условий.

Уравнение (5.19) является при этом обыкновенным дифференци­альным уравнением с одной переменной, а уравнение (5.20) содер­жит на одну переменную меньше. Таким образом, задача сведе­на к решению двух уравнений. Для уравнения второго порядка

(5.21)

с некоторыми начальными и граничными условиями частное решение может быть найдено в виде (5.16)

(5.22)

где С — произвольная постоянная; — временная функция; — функция только пространственных координат. Подставив (5.22) в (5.21), получим

(5.23)

или

(524)

Решение уравнения для может быть записано в виде если постоянную интегрирования отнести к С. Теперь вос­пользуемся тем, что после воздействия на вход реального СИ при на его выходе должен быть установившийся процесс, то есть величина b должна быть отрицательной. Тогда, положив , где k — некоторая пока неизвестная постоянная, (5.23) можно пред­ставить в виде

(5.25)

(5 26)

Отыскав решение однородного дифференциального уравнения (5.26), соответствующее (как отыскивается здесь опущено), частное решение исходного уравнения в соответствии с (5.22) и (5.25):

(5.27)

Поскольку и могут принимать различные значения, то будет множество частных решений, то есть

(5.28)

Постоянные определяются изначальных условий, а – из гра­ничных.

(До этого места материал брался из книги Таланчука, Рущенко, а далее из книги Арамановича, Левина.)