Metodichka_chast_1

x

x

2

x

1

Отже,

1

y1

y2

y

1

Якщо відрізок AB ділиться точкою С навпіл, то

AC

1 . Тоді координати середини

CB

відрізка визначаються наступними формулами:

x

x1 x2

;

y

y1 y2

.

2

2

Нехай трикутник

ABC заданий координатами своїх вершин A(x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) і

C(x3 , y3 ) . Знайдемо площу S трикутника.

y

Розглянемо координати векторів AB і AC ,

B

вважаючи, що вони задані у просторі. Тоді маємо

y2

AB (x2 x1 ; y2

y1 ;0) ,

AC (x3 x1; y3 y1;0) .

y3

C

1

Відомо, що S ABC

AB AC

.

y1

A

2

O

x1

x2

x3

х

i

j

k

x

x

y

y

AB AC

x y

y

x

2

2

1

0

2

1

2

1

k

1

x3

x1

y3

y1

x3 x1

y3 y1

0

k((x2

x1 )(y3

y1 ) (x3

x1 )(y2

y1 ));

Тоді одержимо:

1

1

S

ABC

AB AC

=

k((x

2

x )(y

3

y ) (x

3

x )(y

2

y ))

, або

2

2

1

1

1

1

S

ABC

1

(x

2

x )(y

3

y ) (x

3

x )(y

2

y )

.

2

1

1

1

1

3.2. Пряма на площині.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Кут між двома прямими.

Умова паралельності та перпендикулярності прямих

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом має вигляд: y kx b , де k - кутовий

а b – це відрізок, який відтинає пряма на осі Oy .

Якщо

b 0 , то пряма проходить

через початок

y

II

координат ( y kx).

Знайдемо кут між двома прямими, які задані своїми

I

рівняннями

y1 k1 x b1 ,

k1

tg ,

y2

k2 x b2 ,

k2 tg .

O

Позначимо через кут між прямими y1

і y2 .

tg tg

k2 k1

х

Тоді tg tg( )

або tg

.

1 tg tg

1 k1k2

Якщо k1 k2 , то прямі y1

і y2 паралельні.

Якщо 1 k1k2 =0, то прямі y1 і y2 перпендикулярні.

Загальне рівняння прямої

Знайдемо рівняння прямої, що проходить через точку M 0 (x0 , y0 ) перпендикулярно

вектору N ( A, B) . Позначимо M (x, y) довільну точку шуканої прямої.

Вектор M0 M матиме координати:

M0 M (x x0 , y y0 ) . Вектор

N ( A, B)

перпендикулярний вектору

M0 M (x x0 , y y0 ) ,

отже

скалярний

добуток

N M0 M =0. З останньої рівності отримаємо:

A(x x0 ) B( y y0 ) 0 ;

Ax By Ax0 By 0 0 .

Позначивши С= Ax0 By 0 , отримаємо загальне рівняння прямої: Ax By C 0 .

Причому k

A

.

B

x x1

y y1

.

x

2

x

y

2

y

1

1

Знайдемо рівняння прямої, що проходить

через точку M 0 (x0 , y0 )

з кутовим

A

коефіцієнтом k . Використаємо рівняння A(x x0 ) B( y y0 ) 0 . Відомо,

що k

.

B

Нехай p

довжина перпендикуляра ОР,

M (x, y) –

довільна

(біжуча)

точка

шуканої

прямої,

Р( p cos, p sin )- основа перпендикуляра.

M x, y

Розглянемо

вектори OP ( p cos, p sin ) (О –

P pcos ; psin

початок

системи

координат)

і

р

PM (x p cos , y p sin ) .

Ці

вектори

перпендикулярні, отже OP PM 0 . Звідси отримаємо:

О

p cos (x p cos ) p sin ( y p sin ) 0;

x cos p cos2 y sin p sin 2

0 ;

x cos y sin p(cos 2 sin 2 ) 0 ;

x cos y sin p 0 – нормальне рівняння прямої.

Нехай нам потрібно знайти відстань від точки

N (x1 , y1 )

до прямої, заданої своїм

N x, y

рівнянням.

y

d

З рисунка видно,

що відстань від N (x1 , y1 )

на пряму

T

рівна d

PT

,

де

PT = пр

. OP ( pcos , psin ),

PN

op

d

PN (x1

p cos , y1

p sin ) .

P

пр

=

OP PN

.

р

PN

op

OP

О

х

Знайдемо скалярний добуток:

OP PN p cos (x1

p cos ) p sin ( y1 p sin )

p(x cos p cos2

y sin p sin 2

)

1

1

Довжина сторони АВ обчислюється

y

за формулою:

AB

x

2

x

2 y

2

y 2

.

1

1

B

Підставивши задані в умові задачі

значення, отримаємо:

1 5 2 3 4 2

AB

85 .

O

Для знаходження рівняння прямої АВ

скористаємось рівнянням прямої, що

x

проходить через дві точки:

P

x x1

y y1

C

.

D

M

x2 x1

y2 y1

x 5

y 4

A

Отримаємо:

або

1 5

3 4

АВ: 7x 6y 11 0 .

Позначимо

середину

сторони АС

через M (xM ; yM ) .

Знайдемо координати точки М:

x

xC xA

3 5 1;

M

2

2

y

yC y A

2 4 3 .

M

2

2

3 1 2 3 3 2

Тоді,

BM

40 – довжина медіани ВМ.