Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ужгородский национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Metodichka_chast_1

.pdf

Скачиваний:

128

Добавлен:

02.03.2016

Размер:

1.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Відповідь: система не має розв’язку.

2.3. Геометричні вектори. Дії над ними

Вектором називається напрямлений відрізок. Вектори визначаються своїм напрямом і довжиною.

a AB – довжина вектора, a AB

0 – вектор – це вектор довжина якого дорівнює нулю.

Два ненульові вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній

прямій або на паралельних прямих (позначаються: a || b ).

Дії над векторами

1)Множення вектора на число.

Добутком ненульового вектора на число називається вектор, довжина якого

збільшена в k		раз; напрям якого залишається тим же, якщо k додатнє і протилежним
за напрямком, якщо k – від’ємне.

		k a	k a
	a
		k 0	k 0
			Властивості добутку:

k a ak ;

k a ka ka ak .

Кутом між ненульовими векторами називається менший кут між ними, якщо вони

зведені до спільного початку. Кут між векторами позначають (a ; b) . Якщо a || b , то b ka .

2)Додавання векторів.

Сумою двох векторів називається результуючий вектор, початок якого співпадає з початком першого, а кінець з кінцем останнього, якщо вони побудовані послідовно.

Наприклад,

або

f n

причому n a b c d f .

Для знаходження суми двох векторів можна скористатися правилом паралелограма:

Сумою двох векторів є вектор, початок якого міститься в початку двох векторів і співпадає з діагоналлю паралелограма, побудованою на цих векторах як на сторонах.

Властивості суми:

1)a b b a ,

2)k (a b) k a kb ,

3)(a b) c a (b c) .

Проекції векторів на вісь та їх властивості

прOi a A1B1

прOi b C1D1

Проекцією вектора на вісь

називають довжину відрізка, що сполучає проекції початку і кінця цього вектора на вісь взяту зі знаком

―+‖, якщо вектор A1 B1 і вісь

напрямлені в одну сторону і зі знаком ―–‖, якщо вектор A1 B1 і вісь – в різні сторони (див.рис).

Властивості проекції:

1) прOi ka k прOi a

2) прOi (a b) прOi a прOi b

Дії, які виконуються з векторами, виконуються з їх проекціями.

Одиничним вектором ненульового вектора a називається вектор, співнапрямлений

з вектором a , довжина якого дорівнює одиниці.

Одиничні вектори

позначають:

a0 –

одиничний

вектор

вектора

a ,

a0 ;

e, i, j, k, .

Їх

називають

ще

ортами.

Розглянемо

одиничні вектори,

співнапрямлені

координатними

осями Oх та Oy і позначимо їх i та j ,

і вектор a , який зведений до початку координат.

Позначимо вектори на осях координат відповідно i(1;0) і

j(0;1) .

Так як прOx a x ,

прOy a y , то

OA1 x i і

OA2 y j .

x 2 y 2

– довжина вектора, або модуль вектора a .

Проекції вектора на координатні осі назвемо координатами вектора.

Тоді a xi y j ;

a(x; y) ; числа x та y – координати вектора.

Знайдемо координати одиничного вектора a0 , вектора a ,:

xi y j

j ,

x 2 y 2

;

cos ;cos , де cos

З іншого боку

і cos називаються напрямними косинусами

вектора

, причому cos2 cos2 1 .

Нехай

нам

дано

точки M x1 ; y1 ,

N x2 ; y2 ,

тоді

x1 ; y2

y1 ,

координати

вектора

MN будуть

довжина якого визначається

формулою:

x 2

Розглянемо вектор a , який зведений до початку просторової системи координат. i, j, k – одиничні вектори, співнапрямлені з осями координат.

Позначимо координати вектора a

x; y; z xi y

За

аналогією

двомірними

векторами, одержимо:

x 2 y 2

z 2

–

довжина

вектора;

;

або

cos ; cos ; cos

–

орт

вектора a .

Причому,

cos2 cos 2

cos2

1 і

1 .

Якщо M x1 ; y1 ; z1 ,

N x2 ; y2 ; z2 , то вектор

визначається,

як

MN x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 .

А його довжина, як

MN x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .

Нехай нам дано два колінеарні вектори a і b : a x1 ; y1 ; z1 , b x2 ; y2 ; z2 . Тоді умовою колінеарності цих векторів є – пропорційність їх координат.

	x1	y1	z1
Тобто, a \|\| b тоді і тільки тоді, коли				k .
	x2	y2	z2

Скалярний добуток двох векторів

Скалярний добуток двох ненульових векторів – це число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними, тобто:

cos a ; b

; a ; b

, або

cos .

Властивості скалярного добутку:

1)ab ba ,

2)(k a)b a k b a b k ,

3)(a b)c ac bc ,

4)ab 0 , якщо a b .

Нехай дано, що

x1 i y1

і b x2 i y2

j z2 k .

Доведемо, що ab x1 x2 y1 y2 z1 z2 , тобто, що скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків однойменних координат.


												2 y y									2 z
ab (x i y j z		1	k)(x	2	i y	2	j z	2	k) x x	2	i	2 y y	2	ji z	x	2	ki x y	2	i j y y	j	2 z	1	y	2	k j
1	1	1		2		2		2	1	2		1	2	1		2	1	2	1			1		2

x1 z2 ik y1 z2 jk z1 z2 k 2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 .


											i 2		2	1,		2		2 1 ,
	Так			як i j ,	i k	і k j	і	i j 0 ,	k j 0 ,	ik 0 ,	i 2	i	2	1,	j	2	j	2 1 ,
	2		2	1.
k	2	k	2	1.

	Таким чином доведено, що ab x1 x2 y1 y2								z1 z2 .

Нехай нам дано вектори a і b .

Запишемо прb a або прa b .

прb a a cos ; прa b b cos .

Тоді ab a прa b b прb a .

Приклади
		2 ,		3	і	2
1) Нехай дано, що	a		b			2	. Знайти:
1) Нехай дано, що	a		b			3	. Знайти:

a)ab ;

b)(2a b)(b 3a) ;

c) 2a b .

Розв’язання:

	2		1
	2		1
a) ab 2 3 cos		6		3 ;
a) ab 2 3 cos		6		3 ;
	3		2

(2								)(				3				) 2											2 6			2 3
(2				a		b		)(			b	3		a		) 2					ab				b		2 6		a	2 3			ba
b)																										;
			ab						b	2 6					a		2		3 32							6 4 3 9 24 12
							2											2				4		2		4						2 4			2 4			cos		2
	2
	2	a			b								a				b						a					ab			b			a		a	b		b

c)																				1																					.
																				1
4 4 4 2 3																						3 13
4 4 4 2 3																						3 13
																				2

2. Дано вектори a(2; 3;4) ,																										b( 3;4;5) . Знайти:

a) ab ;

b) (2a b)(b 3a) ; c) 2a b .

Розв’язання:

a)ab 6 12 20 2 ;

b)(2a b) m , (b 3a) n

+2 a(4; 6;8)

–

b( 3;4;5)

a(6; 9;12)

m(1; 2;13) ;

n( 9;13; 7) ;

Отже, mn 9 26 91 126 .

с)

1 4 169

174 .

3) Дано a(2; 3;4) . Знайти одиничний вектор вектора a (орт a ).

Розв’язання:

Позначимо одиничний вектор вектора a , як a0 .

k , тоді

4 9 16

29 , а

;

Векторний добуток двох векторів

Вектор

називається векторним

добутком двох

неколінеарних векторів a

i b , якщо він задовольняє умови:

c a ;

c b ;

sin

, де

;

З кінця c

a до b проти ходу

має бути видно поворот від

годинникової стрілки.

Тому не має місце комутативний закон: a b b a ( a b b a ).

Якщо a b 0 , то a ||

b , бо sin 0

0 .

З того, що a

b випливає, що a b

0 .

Множення ортів

i i

0 ,

j j

0 ,

k k

0 ,

i j

k ,

j i

k ,

j k

i ,

k j

i ,

k i

j ,

i k j .

Доведемо, що векторний добуток a b , можна обчислити за формулою:

a b =

k , де a = ( x , y , z ),

b = ( x2 , y2 , z2 ).

Для цього перемножимо a b =( x1

i y1

j z1 k )

( x2

i y2

j z2 k )=

x1 x2 i i

y1 x2 j i

z1 x2 k

x1 y2 i j

y1 y2 j j z1 y2 k j x1 z2 i k

y1 z2 j k z1 z2 k k

x2 y1 k z1 x2 j x1 y2 k z1 y2 i x1 z2 j y1 z2 i

x z

= ( y z

) i + ( z

)

j + ( x y

) k

k .

Приклади

Знайти

площу

паралелограма,

побудованого

на

векторах

якщо

a 2 p 3 r ,

3 p r , де

3 ,

4 , кут між векторами

p і

дорівнює π/3.

Розв’язання:

Як відомо, площа паралелограма S=

sinφ,

φ- кут між векторами

a b

і b .

Позначимо

a 2 p 3r ;

b 3 p r ,

тоді

маємо

a b

=( 2 p 3r ) ( 3 p r )=

2 p

3 p 3 r 3 p 2 p r 3 r r = 0

9 r p

2 r p 0 = 11r p ;

a b

= 11

r p

= 11

sin p, r = 11 4 3

= 66

3 .

Знайти

площу

паралелограма,

побудованого

на

векторах

якщо

a 2 p

3 r , b

3 p

r , де p

2 i 3 j k , r

3 i

2 j 3 k .

Розв’язання:


Площа паралелограма S=							a b		.


2 p = (4, -6, 2)					3 p = (6, -9, 3 )
+				–
3 r = (9, 6, -9)						r = (3, 2, -3)

a = (13, 0, -7);						b = (3, -11, 6);


	i	j	k		0			7			13 7			13	0
	i	j	k
			7
a b =	13	0	7		11			6		i	3	6	j	3	14	k = 77 i –99	j –143 k =
	3	11	6		11			6			3	6		3	14
	3	11	6

=11(7 i –9 j –13 k );


S=	a b	= 11	49 81 169 = 11	299 .

3) Знайти орт a 0

вектора a , перпендикулярного до векторів b = (2, –3,4 ) і

12 .

c = (3, –1, 2), якщо

Розв’язання:

I спосіб.

a b

0 .

Якщо a

a c

то

a c

2x 3y 4z 0

3x y 2z 0 .

Нехай a (x, y, z) . Тоді

144

Розв’язавши дану систему, отримаємо:

		24		,	96		,	84
Отже a = (											);

		117			117			117
		117			117			117

	a					2			,	8
Так як a 0 =	a		, то a 0 = (			2				8

						117				117

	a
	a

x	24	,	y	96	,	z	84	.


	117			117			117

,	7	).


	117
	117

II спосіб.

Знайдемо векторний добуток b c :


	i	j	k

b c =	2	3	4	2 i	8 j 7 k .
	3	1	2

																	x			y		z
Позначимо a1				( 2,8,7)			, a	(x, y, z) . З того, що a1				a	випливає:				x			y		z	k .
Позначимо a1				( 2,8,7)			, a	(x, y, z) . З того, що a1				a	випливає:				2						k .
З останньої рівності:						x 2k , y 8k ,				z 7k .							2		8		7
З останньої рівності:						x 2k , y 8k ,				z 7k .
Оскільки			12 , то			4k 2 64k 2 49k 2				144 . Звідси k				12		.
														12
		a

														117
														117
	24		,	96	,		84			2	,		8	,	7
a = (									). Отже, a 0 = (									).


	117			117			117			117			117		117

4) Відомо координати вершин трикутника ABC: A= (–2, 3, 4), B= (1, –3, 1), C= (2,

–1, 0). Знайти площу трикутника і довжину висоти hB , опущеної з вершини В.

Розв’язання:

Площа трикутника АВС дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на

							1
векторах AB і AC : S				ABC			1	AB AC		.
векторах AB і AC : S							2	AB AC		.



	AB = (3, –6, –3); AC = (4, –4, –4).


		i	j			k

	AB AC	3	6		3		12(i		0 j k) ;
		4	4		4

S ABC 12 122 62 .

З іншого боку S ABC 12 AC hB

			2	S ABC		12		2
AC	4 3 , тоді h	B	2	S ABC		12		2	6 .
AC	4 3 , тоді h	B							6 .
				AC	4		3

Мішаний (змішаний) добуток векторів

Мішаним добутком трьох векторів a ,

і c

називається число, яке визначається

як скалярний добуток вектора

на векторний добуток

b c , і

позначається a b c a(b c) (a b) c .

Три вектори

називаються

компланарними, якщо

вони

лежать в одній площині.

Геометричним

змістом

мішаного добутку є

об’єм

тетраедра, побудованого на некомпланарних векторах

a ,

b і

c , що визначається формулою:

a b c

Доведемо, що a b c

, де елементи рядків є координатами відповідно

векторів a ,

c .

Знайдемо b c =

k ;

a(b c) x

Три вектори називаються компланарними, якщо вони лежать в одній, або на

паралельних площинах.

Умова компланарності трьох векторів: три вектори

c компланарні, якщо їх

0 .

мішаний добуток рівний нулю, тобто a b c

Приклади

1) Знайти об’єм тетраедра

A1 A2 A3 A4 і висоту,

опущену з вершини A4 , якщо

A1 (1, 2,3) ,

(3,4,5) ,

A3 (0, 1,2) ,

A4 (5,2,1) .

Розв’язання:

Побудуємо вектори a , b і c наступним чином:

a A1 A2

(2,6,2) ;

b A1 A3

( 1,1, 1)

; c A1 A4

(4,4, 2) .

Використовуючи геометричний зміст змішаного добутку, отримаємо:

								1				2					6				2					2		1	3	1	8	4	0
												2					6				2							1	3	1
VA A A A												1					1				1							0	4	0				8	(куб. одиниць).
																																4	3
								6																		3					3
1	2	3	4					6					4 4 2													3		0 4		3	3
1	2	3	4
																								1

З іншого боку: VA A A A																									S A A A hA .
З іншого боку: VA A A A																								3	S A A A hA .
																1	2		3	4				3		1	2	3	4
																1	2		3	4						1	2	3	4
					1
					1
S A A A							a b							;
S A A A					2		a b							;
1	2	3			2
1	2	3



				i					j					k

a b				2				6			2						8( i k) ;
				1				1						1
													1

Отже S A A A															8			2 4						2 .
Отже S A A A															8			2 4						2 .
			1			2	3				2
			1			2	3
										3VA A A A													3 8			3
										3VA A A A													3 8
Звідси hA											1					2	3		4										2 .
												S A A A
																						4		2
					4																	4		2
											1					2	3

6) Довести або спростувати, що чотирикутник АВСD є плоским, якщо А(2,4,–5),

В(–6,–12,3), С(1,2,5), D(–4,–8,9).

Доведення:

Якщо чотири точки лежать в одній площині, то їх вектори мають бути компланарними, тобто AB AC AD 0 .

AB ( 8, 16,8) , AC ( 1, 2,10) , AD ( 6, 12,14) . Знаходимо:

	8	16	8		1	2	1		0	9



AB AC AD	1	2	10	16	1	2	10	16			0 .
	6	12	14		3	6	7		0	21
	6	12	14		3	6	7

Отже, чотирикутник плоский.

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.03.2016182.78 Кб5Menedzhment_1.doc
#
02.03.201622.92 Mб138meteorologiya_ta_klimatologiya Copy.pdf
#
02.03.20161.42 Mб32Methodic-ITF-2011-12.doc
#
18.11.201984.99 Кб0METOD1.doc
#
18.11.2019262.14 Кб4METOD4.doc
#
02.03.20161.53 Mб128Metodichka_chast_1.pdf
#
02.03.2016218.62 Кб15metodichka_copy.pdf
#
02.03.20161.43 Mб11metodichka_kursovi_ta_inshe.pdf
#
02.03.2016615.94 Кб22metodichka_Metrologiya.doc
#
02.03.2016668.67 Кб37Metodichka_Mistobudivna_ekologiya_1.doc
#
02.03.2016621.01 Кб8Metodichka_po_MathCADu.pdf