Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ужгородский национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Metodichka_chast_1

.pdf

Скачиваний:

128

Добавлен:

02.03.2016

Размер:

1.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь другого порядку. Для зведення її до трикутно-ступінчатого вигляду домножимо її перше рівняння на таке число, щоб в сумі з другим рівнянням коефіцієнт при x1 перетворився в нуль.

a		x	a	x	2	b
	11	1	12		2	1
	21 x1		a22 x2			b2
a	21 x1		a22 x2			b2

a	21
	21	,
		,

a11

	a11 x1 a12 x2 b1
		a	21		b2	a	21
(a22				)x2				b1	,
(a22		a11		)x2		a11		b1	,

	a					b
	22					2

Перепозначивши змінні отримаємо наступну систему зведену до трикутноступінчатого вигляду, яку розв’язати вже досить просто:

a		x a				x		b
	11	1		12			2	1 .
		a	x	2	b
		22		2				2

Узагальнемо попередні міркування для довільної системи:

a11 x1

a12 x2

... a1n xn

b1,

(

a21

... a

b ,

a11

21 1

........................................

... a

m1 1

a11 x1

a12 x2

... a1n xn

b1,

... a

b ,

........................................

... a

(

) 2x 3y 6

Наприклад,

5y 10

)...( am1 )

a11

2x 3y 6
	19		.
		y 1

	2

Нехай нам дано систему .

Матрицею системи називають таблицю, складену з коефіцієнтів системи:

a		a	...	a
	11	12		1n
a21		a22	...	a2n		(**)
A	... ... ... ...				.	(**)
	... ... ... ...

		am2	...
am1		am2	...	amn

Матриці бувають прямокутні і квадратні, навіть такі, які складаються з одного стовпчика або рядка.

Розширеною матрицею системи називається матриця, одержана з головної матриці (**), до якої приєднано стовпчик вільних членів:

	a		a	...	a	b
		11	12		1n	1
	a21		a22	...	a2n	b2

A		... ... ... ... ...					.


			am2	...	amn bm
	am1

Метод Гауса можна схематично записати у вигляді розширеної матриці. Після зведення матриці до трикутного виду може бути одержано 3 випадки:


			A
1)				B		– єдиний розв’язок

	0
	0
			A		B
2)						– безліч розв’язків
		0	0		0
		0	0		0


		A
3)			B	– не має розв’язків (якщо останній елемент у матриці-стовпці В
3)			B
	0	0
	0	0

відмінний від нуля).

Приклади

Розв’язати системи рівнянь методом Гауса:

3x 3y 2z 2

1)4x 5y 2z 1 .5x 6 y 4z 3

Розв’язання:

x		y			z			y								z		y
x		y	z	2	z		x	y	2			2	3	3	2	z		y
	3	3	2	2		2	3	3	2	(-1)(-2)		2	3	3	2		2	- 3

		5						5			~ 0 1			2	1
	4	5	2	1	~	2	4	5	1		~ 0 1			2	1	~	0	- 2
	5	6	4	3		4	5	6	3			0	- 1	0	1		0	0

Далі запишемо систему. Одержимо

2z 3y 3x 2				x 1		x 1
	2 y x 1	~		2 y 1 1	~
	2 y x 1	~		2 y 1 1	~	y 1.
	x 1
	x 1		2z 3y 3 2			z 1

2x y z 2

2)x 2 y 3z 1.x 3y 2z 3

Розв’язання:

	2 1		1	2		1	2	3	1	( 2)(1)


1		2	3	1	~ 2 -1			1	2	~
	1	3	2	3		1	- 3	2	3

	1	2	3	1				1	2	3	1			1	2	3	1


~	0	- 5	5	0	: ( 5)		~	0	1	1	0	( 5)	~	0	1	1	0
	0	- 5	5	4		: ( 1)		0	5	5	4			0	0	0	4

Отримано вид: 0

2x 3y z 2 3) x y z 1 .

3x 2 y 2z 3


A
	B	, отже система не має розв’язків.
0
0

x		2
x
3
1		1

1		1

Наприклад,

то (5;1;-5).

Розв’язання:

		2		3	1		2			1	1		1	1		1 1 1	1	(-2)(-3)
		2		3	1		2			1	1		1	1		1 1 1	1	(-2)(-3)
																0 - 5 1
		1 1			1		1		~ 2		3 1			2	~	0 - 5 1	0		~
				2												0 - 5 1
		3		2	2		3			3	2 2			3			0
		3			2		3				2 2			3			0
			1	1	1	1

	~		0	5	1	0		.
			0	0	0	0
			0	0	0	0
											A	B


	Отримано вид:												, отже система має безліч розв’язків:
	Отримано вид:												, отже система має безліч розв’язків:

									0		0	0
									0		0	0
	2x 3y z 2										x y z 1
			x y		z 1				~		x y z 1
			x y		z 1				~
	3x 2 y 2z 3										5y z				0

	Отримана система										має		безліч			розв’язків, за			вільну невідому візьмемо y , тоді
	z 5 y

x y 5 y 1 . Отже загальний розв’язок запишемо у вигляді вектора
	x 4 y 1
	x 4 y 1

				4 y 1, y, 5 y .
		x заг.		4 y 1, y, 5 y .

Надаючи y будь-яких значень, одержують частинні розв’язки системи.

y 0 , то частинним розв’язком буде розв’язок (1;0;0), а якщо y 1,

1.3. Матриці. Дії над ними

	a		a
		11	12
Матрицею називають таблицю	a	21	a22
Матрицею називають таблицю	... ...
	... ...

			am2
	am1		am2

Говорять, що матриця має розмірність (вимір) m

...	a
		1n
...	a2n		, де aij	елементи матриці.
...	...		, де aij	елементи матриці.
...	...

...
...	amn
на	n	і позначають Am n .

Матриці позначаються великими буквами: (А,В,...) або A={aij}, де	i 1,...,m
		.

	j 1,...,n

Дії над матрицями

І. Множення матриць на число:

kA={kaij}; kA=Ak.

Тобто, при множенні матриці на число кожен елемент матриці множимо на це число.

II. Додавання матриць:

A+B={aij}+{bij}={aij+bij}.

Тобто, при додаванні матриць їх відповідні елементи додаються. Властивості:

1)A+B=B+A

2)k(A+B)=kA+kB

3)(k+α)A=kA+αA

Зауважимо, що додавати матриці можна тільки одного виміру.

ІІІ. Множення матриць.

Відмітимо, що не завжди можна перемножити дві матриці. Множення матриць не завжди має комутативну властивість.

Першу матрицю можна помножити на другу тоді і тільки тоді, коли кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої.

a11

a12

b11

b12

a b

Наприклад,

11 11

12 21

11 12

12 22

a21b11

a22b21

a21b12

a22b22

a32

b21

b22

a32b21

a31b12

a31

a31b11

a32b22

Схема множення двох матриць:

Квадратні матриці

							a			a		...	a
									11		12			1n
Квадратною			матрицею називають			матрицю виду:	a		21	a22 ...			a2n			, тобто
Квадратною			матрицею називають			матрицю виду:		... ... ... ...								, тобто
								... ... ... ...

										an 2 ...
							an1			an 2 ...			ann
кількість стовпців у якій рівна кількості рядків.
Одиничною				матрицею		називається		квадратна							матриця
1		0	0	...	0

	0	1	0	...	0
виду: E					, тобто в якій всі елементи головної діагоналі одиниці, а
	... ... ... ... ...

	0	0	0	...
	0	0	0	...	1
решта – нулі.
Для будь-якої квадратної матриці A справджується рівність:										AE EA .

Оберненою матрицею до матриці А називають матрицю A-1, для якої виконується

AּA-1=A-1ּA=E

З іншого боку обернена матриця визначається наступним чином:

A 1

A12

A22

A32

, якщо

A a21

a22

a23

, і det A 0 ,

det A

A13

A23

A33

a31

a32

a33

a11

a12

a13

де

det A a21

a22

a23 , а

Aij=(-1)i+jMi,.

визн ачн ик a31 a32 a33

Матричні рівняння

Матричні рівняння містять невідому матрицю X , яку потрібно знайти. Наприклад,

AX B, або XA B .

Розв’яжемо рівняння:

1. АХ=В

Якщо матриця А має обернену матрицю, то домножимо дане матричне рівняння на

матрицю A-1 зліва.

A-1∙AХ=A-1∙В,

ЕХ= A-1∙В, звідки Х= A-1∙В.

2. ХА=В,

Домноживши дане матричне рівняння на матрицю A-1 зправа отримаємо:

Х∙A∙A-1=ВА-1, тоді Х=В∙ A-1.

Приклади
1. Знайти f(A), якщо f(x)=x2-3x+4,	2		1
1. Знайти f(A), якщо f(x)=x2-3x+4,	A			.
		3	1
		3	1

Розв’язання:
			2 1 2				1				2 1			1		0
f A									3					4
			3	1		3 1					3	1			0	1
			3	1		3 1					3	1			0	1	.
	7		3	6			3		4		0	5	0				.
	7		3	6			3		4		0	5	0

		9	4		9		1			0			7
		9	4		9		1			0	4	0	7
2. Помножити:
2		1	3	2			19

	1	2	1	3			12	, бо
	3 2		1	1			4
	3 2		1	1			4

4 + 3 + 12 = 19,

2 + 6 + 4 = 12,

6 - 6 - 4 = - 4.

3. Розв’язати матричне рівняння:

2		1		1 2
			X		.
	3	4		4 3
	3	4		4 3

Розв’язання:
Позначимо			2		1	1
Позначимо		A			;	B
				3			4
				3	4		4
AX=B
Якщо detA 0, то
A-1∙AХ=A-1∙В;
ЕХ= A-1∙В;
Х= A-1∙В;
		1
det A	2	1	8 3 11;
	3	4

, тоді перепишемо рівняння у виді:

A 1	1				A11	A21
						.
						.

		det A A12				A22
Знайдемо алгебраїчні доповнення:
A11=4;				A21=-(-1)=1;
A12=-3;				A22=2.
Випишемо обернену матрицю:
A 1	1		4		1
						.
						.
	11		3		2
	11		3		2

Перевірка:
A 1 A	1	4 1		2		1		1	11		0	1	0
														E .
														E .
	11				3	4		11		0
	11	3 2			3	4		11		0	11	0	1
														5
		1	4	1 1			2			1	0	5	0	11
		1	4	1 1			2			1	0	5			.
Отже, X
Отже, X
	11		3	2		4	3			11	11	12		12
													1
													1
														11
					5
			0		11
Відповідь:		X			11	.
					12
			1
			1
					11

Матричний спосіб розв’язання систем лінійних рівнянь

Нехай дано систему лінійних рівнянь (кількість невідомих якої і кількість рівнянь однакова):

a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 .

a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3

Позначимо матрицю A a21

a31

	b
	1
вільних членів	B b2	, тоді

	b3

a	a		x	1
12	13			1
a22	a23	,	стовпчик невідомих X x	2	; стовпчик
a32	a33
a32	a33		x3
одержимо			систему рівнянь записану		матричним

способом : АХ=В.

Якщо detA 0, то система має єдиний розв’язок: Х= A-1∙В, тому що A∙A-1=Е,

A∙A-1Х=A-1∙В, тоді Х= A-1∙В.

Приклад

Розв’язати матричним способом систему лінійних рівнянь:

x 3y 5z 1
	3x y 3z	2 .

5x 3y z 3

Розв’язання:

Введемо позначення:

1 3			5		x	1			1
						1
A	3	1	3	;	X x	2	;	B	2	.
	5	3
	5	3	1		x3				3

Для розв’язання системи матричним способом скористаємось приведеною вище формулою Х= A-1∙В. Для цього знаходимо обернену матрицю A 1 :

						1		3		5			(3)(5)				1		3			5								10		18				5	9


det A						3		1		3							0		10			18											(6) 2							12(20 27)
						5		3			1						0		18			24								18		24				3	4
						5		3			1						0		18			24
12 7 84 0.
Знаходимо алгебраїчні доповнення:
								3																			3 5												3 5
	A			1				3		10 ;									A								3 5				18		;		A				3 5			4 ;
	11			3			1													21							3		1						31				1		3
				3			1																				3		1										1		3
								3											A					1 5											A					1 5				18 ;
	A						3	3			18 ;								A					1 5							24			;	A					1 5				18 ;
	12						5		1										22						5			1							32					3	3
							5		1																5			1												3	3
																			A							1 3									A			1 3					10 .
	A				3 1				4 ;										A							1 3					18		;		A			1 3					10 .
	13				5		3												23							5			3						33			3			1
					5		3																			5			3									3			1
Запишемо обернену матрицю:
								A					A		A					10								18				4
A 1				1						11		21				31			1
								A12					A22		A32					18								24				18		.
								A12					A22		A32					18								24				18		.
			det A					A					A		A			84				4						18				10
										13		23				33
Знаходимо розв’язок X :
					10					18					4	1							14								1/ 6
		1																		1
X							18			24				18			2								84							1	.
X							18			24				18			2								84							1	.
		84					4			18				10							84				70
							4			18				10				3							70							5 / 6
Перевірка:
1 3 5								1/ 6						1/ 6 3 25 / 6														1

	3 1 3									1					1/ 2 1 5 / 2														2
	5 3						1			5 / 6					5 / 6 3 5 / 6														3

											1/ 6

Відповідь: X												1		.

											5 / 6

2.ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2.1.n -вимірний векторний простір. Базис.

Сукупність усіх n-мірних векторів a(x1 , x2 ,...xn ) , де x1 , x2 ,… xn – компоненти вектора утворюють n-мірний векторний простір, якщо:

1)0(0,0,...0) ;

2)e1(1,0,...0) ;

3)e2 (0,1,...0) ;

4)en (0,0,...1) .

Дії над векторами

1) k a – вектор kx1; kx2; ; kxn

k a ak ;

k a k a ak a k ka . 2) a(x1 , x2 ,..., xn ) , b( y1 , y2 ,..., yn ) (a b (x1 y1 , x2 y2 ,..., xn yn )

Система n-мірних векторів називається лінійно незалежною якщо її лінійна


комбінація	f 1 a1 2 a2 ... n an дорівнює нулю тільки при	умові, якщо усі
1 , 2 ,… n –	дійсні числа, перетворюються в нуль, тобто 1	2 n 0 , і
називається лінійно залежною, якщо принаймні одне із i 0 .

Зауважимо, що максимальна система лінійно незалежних n-мірних векторів складається з n векторів. Якщо до системи з n векторів приєднати принаймні один вектор, то ця система буде лінійно залежною.

Максимальна система лінійно незалежних векторів називається базисом.

Наприклад, одиничні вектори (довжина яких дорівнює одиниці) e1 (1,0,0) , e2 (0,1,0) , e3 (0,0,1) утворюють базис в просторі R3 . Будь-які вектори простору можна однозначно

розкласти по базису. Коефіцієнти розкладу будуть визначати координати вектора в даному базисі.

Приклад

Довести, що вектори a1 ( 1;3;5) , a2 (3;1;3) , a3 (5;3;1) утворюють базис та розкласти вектор b(1,2, 3) по цьому базису.

Розв’язання:

Складемо лінійну комбінацію векторів і прирівняємо її до нуля: 1 a1 2 a2 3 a3 0 .

1 a1 (1 ;31 ;51 )

+2 a2 (3 2 ;1 2 ;3 2 )

3 a3 (5 3 ;3 3 ; 3 )

0 ( 0 ; 0 ; 0 ).

a1 3a2 5a3 0

Отримаємо систему: 3a1 a2 3a3 0 .5a1 3a2 a3 0

	1	3	5
	1	3	5
Так як	3	1	3	84 0 , то за правилом Крамера система має один
	5	3	1

нульовий розв’язок (бо є однорідною) 1 2 3 0 . А отже, система векторів a1; a2 ; a3

– лінійно-незалежна і утворює базис.

Розкладаємо вектор b у цьом базисі, тобто запишемо його у виді: b x1 a1 x2 a2 x3 a3

x1 a1 (x1 ;3x1 ;5x1 ) ;

+x2 a2 (3x2 ;1x2 ;3x2 ) ; x3 a3 (5x3 ;3x3 ; x3 ) ;

b ( 1 ; 2 ; –3 ).

x1 3x2 5x3 1
Одержимо систему: 3x1		x2	3x3			2 , розв’язавши, яку за правилом Крамера
5x		3x	2	x	3	3
	1

( 84;	14,		84,				70 ) отримаємо розв’язок:						x	1	;	x		1;	x			5	.
( 84;	14,	2	84,			3	70 ) отримаємо розв’язок:						x		;	x	2	1;	x	3			.
1		2				3							1	6			2			3	7
														6							7
				1					5
Відповідь:			b	1	a		a		5	a		.
Відповідь:			b		a		a			a		.
				6		1		2	7		3

2.2. Ранг матриці. Теорема Кронекера-Капеллі

			a			a	...	a
					11	12		1n
Нехай нам дано матрицю		:	a		21	a22	...	a2n
Нехай нам дано матрицю	A	:	A	...			...		.
	A


						am2	...
			am1			am2	...	amn

Рядки і стовпці матриці можна розглядати як вектори.

Число лінійно незалежних рядків або стовпців матриці називається рангом матриці ( rA ).

Або, максимальний порядок відмінного від нуля мінору матриці A називається

рангом цієї матриці.

Правила обчислення рангу матриці

1) Максимальний порядок так званого „облямовуючого‖ мінору матриці дорівнює

рангу цієї матриці.
Нехай a11 0 ,	тоді , M1 a11	0	і M 2 0,..., M k	0, а	M k 1 0 . Тоді ранг
rA k .

2) Зведення до трикутного виду матриці A . Тоді число ненульових рядків матриці дорівнює її рангу.

Теорема Кронекера-Капеллі.

Якщо ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці, то така система є сумісною; якщо ж ранг матриці не дорівнює рангу розширеної матриці, то така система є несумісною.

Тобто, якщо ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці і дорівнює числу невідомих, то система сумісна і визначена, якщо ж ранг менше числа невідомих, то система сумісна невизначена (має безліч розв’язків).

Приклад

Довести, або спростувати сумісність системи:

3x1 x2 2x3 x4 x5 1
								7x3		3x4 5x5 2
2x1 x2								7x3		3x4 5x5 2																.
								2x3		5x4 7x5 3																.
x1 3x2								2x3		5x4 7x5 3
3x 2x								2	7x	3	5x		4		8x						5		3
				1				2		3			4								5
Розв’язання:
							3 1				2				1 1								1				1	3 2			1 1			1		( 3) 2		1	3 2			1 1		1
							3 1				2				1 1								1				1	3 2			1 1			1		( 3) 2		1	3 2			1 1		1
									1		7 3 5																1	2 7 3 5												5 2 4
						2																	2											2			0		5					3
			A			2																	2											2			0		5					3
			A				1 3				2				5 7								3		~		3	1 2			5 7			3			~	0	8	4		2 4		0
							1 3				2				5 7								3				3	1 2			5 7			3				0	8	4		2 4		0

							3		2		7 5 8												3				2	3 7 5 8						3				0	9	3 3 6				5
							3		2		7 5 8												3				2	3 7 5 8						3				0	9	3 3 6				5
~
~
				1 3					2		1 1						1							1 3				2	1 1			1			1 1			3	2 1		1
				1 3					2		1 1						1							1 3				2	1 1			1			1 1			3	2 1		1
											2															4			1 2									4	2 2
				0		5			5		2		4				3							0		4		2	1 2			0			0	1		4	2 2		0	2 (3)
~				0		4 2					1 2						0			~				0 5				5 2 4				3	~		0	2 5			5 4		3		~
				0		4 2					1 2						0							0 5				5 2 4				3			0	2 5			5 4		3

				0 9					3		3 6						5							0 9				3 3 6				5			0	3 3			3 6		5
				0 9					3		3 6						5							0 9				3 3 6				5			0	3 3			3 6		5

				1 1					3 2 1					1								1 1 3						2 1		1
				1 1					3 2 1					1								1 1 3						2 1		1
								4		2																	4	2 2
		0 1						4		2		2		0						0 1							4	2 2		0
~				0 0				3		9 0				3		~						0 0					3 9 0			3	.
				0 0				3		9 0				3								0 0					3 9 0			3

				0 0				3		9 0				5								0 0 0						0 0		2
				0 0				3		9 0				5								0 0 0						0 0		2

rA 3 .
					1		1		3		2 1							1
					1		1		3		2 1							1
									4		2 2
					0		1											0
					0		1											0
	A ~				0		0		3		9		0					3	– розширена матриця.
					0		0		3		9		0					3

					0		0		0		2		0					0
					0		0		0		2		0					0

rA 4 .

Порівнюючи ранги, робимо висновок, що система рівнянь несумісна.

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.03.2016182.78 Кб5Menedzhment_1.doc
#
02.03.201622.92 Mб138meteorologiya_ta_klimatologiya Copy.pdf
#
02.03.20161.42 Mб32Methodic-ITF-2011-12.doc
#
18.11.201984.99 Кб0METOD1.doc
#
18.11.2019262.14 Кб4METOD4.doc
#
02.03.20161.53 Mб128Metodichka_chast_1.pdf
#
02.03.2016218.62 Кб15metodichka_copy.pdf
#
02.03.20161.43 Mб11metodichka_kursovi_ta_inshe.pdf
#
02.03.2016615.94 Кб22metodichka_Metrologiya.doc
#
02.03.2016668.67 Кб37Metodichka_Mistobudivna_ekologiya_1.doc
#
02.03.2016621.01 Кб8Metodichka_po_MathCADu.pdf