MOL_FIZ_LAB

3.Для визначення проміжних точок між 0 оС і точкою кипіння води, в калориметр з дистильованою водою помістити еталонний і досліджуваний термометри.

4.Включити електроплитку. Коли температура дистильованої води в калориметрі почне збільшуватись, перемішуючи воду, записувати

одночасно покази еталонного і досліджуваного термометрів через кожні 5-10 оС (до температури кипіння води). При цьому обидва термометри потрібно поступово опускати так, щоб їх ртутні стовпчики майже повністю були занурені у воду.

5.За допомогою барометра визначити величину атмосферного тиску і за формулою залежності температури кипіння води від значення атмосферного тиску

обчислити температуру кипіння води (значення Н беруться у міліметрах ртутного стовпчика).

6.Визначити поправку до показів досліджуваного термометра (по відношенню до еталонного) за різних температур.

7.Побудувати графік залежності показів досліджуваного термометра від значення температури (за еталонним термометром) і графік поправок показів термометра від величини вимірюваної температури.

Завдання 3. Визначення сталої часу термометра.

1.Для визначення константи охолодження В та сталої часу τ досліджуваного термометра (динамічну сталу встановлення показів) нагріти воду на 15 – 20 °С вище кімнатної, занурити в неї термометр і витримати певний час (3 – 5 хв.) для встановлення показів.

2.Перенести термометр у калориметр із водою кімнатної температури TC і фіксувати зміну його показів Θ з часом.

3.За одержаними даними побудувати графік залежності ln(Θ–TC) від часу, аналогічний рис.4. Визначити значення τ та В, оцінити похибку.

4.Повторити подібний до п. 1 – 3 дослід у випадку перенесення термометра з холодної у гарячу воду. Результати порівняти, зробити висновки.

20

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1.Що таке температура?

2.Від чого залежить вибір термометричної речовини при конструюванні термометра?

3.Які термометричні величини найчастіше використовують при градуюванні термометрів?

4.Яким чином встановлюють емпіричну температурну шкалу?

5.Назвіть основні методи вимірювання температур.

6.Вкажіть переваги шкали побудованої на основі газового термометра у порівнянні з іншими емпіричними шкалами.

7.Що таке термопара?

8.Яке фізичне явище покладено в основу роботи термопари?

9.Як за допомогою термопари визначають температуру?

10.Які переваги і недоліки термопари в порівнянні з рідинними термометрами?

11.Для чого проводять градуювання термопари? Які методи градуювання термопар ви знаєте?

12.Назвіть джерела похибок при вимірюванні температури рідинним термометром, термопарою.

13.Розв’яжіть рівняння (4), отримайте вираз (5). Від чого залежить стала часу τ, який її фізичний зміст?

21

Лабораторна робота № 2

ВИВЧЕННЯ СТАТИСТИЧНИХ ЗАКОНОМІРНОСТЕЙ НА ДОШЦІ ГАЛЬТОНА

Мета роботи: Отримання експериментальної кривої розподілу випадкової величини, порівняння її з теоретичною кривою нормального розподілу. Розрахунок значень числових параметрів розподілу випадкової величини.

Прилади і матеріали: дошка Гальтона, калькулятор або IBM PC комп’ютер.

1.КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

1.1.Випадкові процеси і величини. Ймовірність

Більшість явищ фізики оперують досить великою кількістю об’єктів і зв’язків між ними. Зокрема, при описі процесів, що відбуваються в макроскопічних тілах, ми вимушені розглядати величезну кількість об’єктів – молекул. Наприклад, в 12 грамах ізотопу вуглецю 12C міститься N = 6,02∙1023 молекул. Ця величина дістала назву числа Авогадро і відповідає одному молю кількості речовини. З погляду звичайної механіки, для опису такої системи треба було б розв’язати рівняння руху для кожної молекули:

Для розв’язку системи із N векторних рівнянь необхідно записати ці рівняння в проекціях сил на 3 осі координат (разом для N молекул 3N рівнянь) та врахувати початкові умови для координат та швидкостей (6N чисел). Розв’язати таку систему рівнянь неможливо навіть із застосуванням надсучасної обчислювальної техніки. Час розв’язку подібної системи рівнянь у багато разів перевищує час, за який дана система молекул змінить свій стан, а одержаний розв’язок залежав би від 6N+1 параметрів. Більше того, необхідно врахувати те, що молекули є мікроскопічними частинками, для яких справедливі закономірності не класичної, а квантової механіки. Однією і таких закономірностей є принцип невизначеності Гейзенберга, згідно якого неможливо одночасно точно визначити координату та імпульс

22

(швидкість) частинки ( х∙ р>h, де х та р – невизначеність (похибка) відповідно координати та імпульсу частинки, h – стала Планка), що накладає принципове обмеження на динамічний опис молекулярної системи на основі рівнянь (1). Звідси випливає висновок, що для опису систем із великим числом частинок неможливо користуватися динамічним методом. Для опису таких систем вдаються до статистичного (імовірнісного) і термодинамічного методів.

Основною особливістю статистичних методів є опис систем із урахуванням того, що процеси, які відбуваються в них, мають випадковий характер. Прикладом такого процесу може бути, наприклад, зіткнення молекул. У результаті таких багаторазових зіткнень змінюються координати і компоненти швидкості молекул. Результат таких зіткнень (кінцеві координати і швидкість окремої молекули) не можна наперед передбачити, тобто розглядуваний процес для окремої молекули є випадковим. Однак система, що складається із великої кількості молекул підкоряється певним статистичним закономірностям – за незмінних умов залишається сталою середня швидкість усіх молекул газу, не змінюється відносна доля молекул у певній частині об’єму, або у певному інтервалі швидкостей.

У зв’язку із вище наведеним, у статистичних системах, тобто у системах із великою кількістю частинок, питання динамічного підходу: яка, наприклад, буде швидкість (координата) частинки у певний момент часу, змінюється на питання: яка буде ймовірність того, що швидкість (координата) частинки лежатиме у певному інтервалі швидкостей (координат).

Нагадаємо, що під ймовірністю події розуміють границю відношення числа сприятливих подій NX (здійснення події) до загального числа дослідів N (подій, спостережень) за умови, що останні прямують до нескінченності:

1.2. Функції розподілу і густина ймовірності

Функціональна залежність між значенням фізичної величини (координатою, швидкістю, енергією частинки) та ймовірністю її появи називається функцією розподілу ймовірностей.

23

Для кількісної характеристики розподілу ймовірностей зручніше користуватися не ймовірністю тієї події, що випадкова величина Х набуде значення х, тобто Р(Х=х), а ймовірність події Р(Х<х), тобто того, що випадкова величина Х набуде значення, менше деякої змінної х. Ймовірність цієї події залежить від значення х, тобто є функцією від х. Ця функція називається інтегральною функцією розподілу випадкової величини Х і позначається F(x):

Інтегральна функція розподілу випадкової величини – найбільш універсальна характеристика випадкової величини, вона існує як для дискретних випадкових величин, так і для неперервних. Вона повністю характеризує випадкову величину з імовірнісної точки зору, тобто є однією з форм закону розподілу. Ця функція розподілу володіє деякими загальними властивостями:

1. Інтегральна функція розподілу F( x) є неспадною функцією свого аргументу, тобто за умови х2 > x1 виконується умова

F( x2 ) F( x1 ).

2.При х = –∞ (мінус нескінченність) функція розподілу дорівнює нулю: F( ) 0.

3.При х = +∞ (плюс нескінченність) функція розподілу дорівнює одиниці: F( ) 1.

Графік функції розподілу в загальному випадку може бути представлений як графік неспадної функції (рис.1), значення якої розпочинаються від 0 і досягаять 1, причому в окремих точках функція може мати стрибки (розриви).

1

Рис. 1. Вид функції розподілу випадкової величини.

24

Нехай випадкова величина Х має функцію розподілу, яка є неперервною і такою, що диференціюється. Для неперервної випадкової величини ймовірність прийняття випадковою величиною будь-якого окремого значення дорівнює нулю. Тому для її характеристики користуються ймовірністю попадання цієї випадкової

Ймовірність попадання у вказаний інтервал розраховується як приріст функції розподілу на цій ділянці. Розглянемо відношення цієї ймовірності до величини інтервалу, тобто середню ймовірність, що припадає на одиницю довжини цього проміжку, і наближатимемо х до нуля. У границі отримаємо похідну від функції розподілу:

ймовірності, з якою розподіляється значення випадкової величини в даній точці (а насправді, відображає швидкість зростання інтегральної функції розподілу). Диференціальна функція f( x) називається розподілом густини ймовірності (або густиною ймовірності) неперервної випадкової величини Х. На відміну від інтегральної функції розподілу, густина ймовірності не є універсальною – вона існує тільки для неперервних величин. Крива, що зображає густину розподілу випадкової величини, називається кривою розподілу густини ймовірності (рис.2).

Геометрично ймовірність попадання величини Х в інтервал b-c дорівнює площі під кривою розподілу густини ймовірності, що спирається на цю ділянку. Значення ж функції розподілу F(x) є не що інше, як площа під кривою густини ймовірності, яка лежить лівіше точки x.

Розподіл густини ймовірності має такі властивості:

1. Це є додатна функція: f( x) 0. Ця властивість випливає безпосередньо з того, що F(x) є функція неспадна.

25

говорить про те, що ймовірність знаходження якого не будь значення випадкової величини дорівнює одиниці.

f(x)

F(x)

Рис. 2. Графік функції розподілу густини ймовірності.

Для дискретних величин аналогом графіка розподілу густини ймовірності може служити гістограма, що відображає величину приросту функції розподілу (рис.3).

ΔF

x

Рис. 3. Вид гістограми.

Кожен закон розподілу є деякою функцією, аналітичний вид цієї функції повністю описує випадкову величину з імовірнісної точки зору. Проте на практиці часто немає необхідності характеризувати випадкову величину повністю, досить вказати окремі числові параметри, що до деякої міри характеризують істотні риси розподілу випадкової величини, наприклад, деяке середнє значення

26

а також число σ, що характеризує ступінь (міру) розкиданості значень випадкової величини відносно (навколо) середнього

яке носить має назву середньоквадратичного відхилення (СКВ). У

виразах (7) та (8) перші формули відповідають дискретній величині (k

–число можливих дискретних значень випадкової величини), а другі

–неперервній.

1.3. Приклади законів розподілу

Рівномірний розподіл

Найпростішим законом розподілу є закон рівномірного розподілу густини ймовірності, за якого всі можливі значення випадкової величини рівноймовірні. Графік інтегральної функції розподілу при рівномірному розподілі є прямою наростаючою лінією (рис. 4а), а густина розподілу є постійною величиною в інтервалі можливих значень фізичної величини (рис. 4б).

Основні характеристики рівномірного розподілу:

Рис. 4. Рівномірний розподіл.

27

Нормальний розподіл (розподіл Гауса)

Закон розподілу випадкової величини, який найбільш часто зустрічається на практиці, – це нормальний закон розподілу, який ще називають законом розподілу Гауса. Головна особливість нормального закону, яка відрізняє його від інших законів розподілу, полягає в тому, що він є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу за типових умов.

Диференціальна функція нормального закону розподілу густини ймовірності має вигляд:

σ 2π

Основною особливістю графіка густини ймовірності за нормальним законом є те, що крива розподілу має симетричний горбоподібний вигляд (рис.5).

квадратичне відхилення σ. Безпосередньо з формули (9) видно, що х є центром симетрії розподілу.

Розподіл Максвелла

Розподіл Максвелла посідає особливе місце серед інших законів розподілу густини ймовірності. Цей закон описує швидкості руху молекул газу, який перебуває у термодинамічній рівновазі і є наслідком нормального закону розподілу. Розподіл φ(υх) молекул за

28

однією із складових швидкості υх описується нормальним законом розподілу:

де m – маса молекули газу, T – абсолютна температура, k – стала Больцмана.

Оскільки функція φ(υх) є експоненціальною залежністю від квадрата проекції швидкості, то вона симетрична відносно нульового значення υх і її графік збігається з кривою розподілу Гауса (рис. 6). Ймовірність того, що проекція швидкості υх лежить в інтервалі (υх, υх+Δυх) дорівнює площі заштрихованої смужки на рис.6. Функція φ(υх) нормована на одиницю, тобто площа під кривою φ(υх):

молекули з такими швидкостями (максимальна швидкість обмежена швидкістю світла). Молекул із великими швидкостями дуже мало і вони не роблять відчутний внесок у нормування інтегралу (11). Це і дозволяє задавати такі межі інтегрування.

f(υ ) φ(υx ) φ(υy ) φ(υz ).

Оскільки υx2 υ2y υz2 υ 2 υ2, то для загальної функції розподілу за всіма трьома компонентами швидкості одержуємо:

29