1.4. Систематичні і випадкові похибки

Систематична похибкавимірювань – це складова похибки вимірювань, яка залишається постійною, або закономірно змінюється при повторних вимірюваннях однієї і тієї ж величини. Вона може бути викликана неточністю методу вимірювань, похибками приладів або іншими причинами.

Випадкова похибка вимірювань– це складова похибки вимірювань, яка змінюються випадково при повторних вимірюваннях однієї і тієї ж величини в однакових умовах.

1.5. Деякі відомості з теорії імовірностей

При повторному вимірюванні однієї і тієї ж величини в однакових умовах одержують набір значень (), які представляють собою набір випадкових величин. Відповідно випадковими величинами є і абсолютні похибки вимірювань. Розподіл таких величин, згідно теорії імовірностей, підлягаєнормальному закону розподілу Гауссаі описується формулою:

(5)

де – функція, яка характеризує імовірність похибкипри вимірюванні х;

– середнє квадратичне відхилення випадкової величини від середнього значення.

Рис.1

Оскільки () з однаковою імовірністю може бути як більше, так і менше нуля, то середнє значенняіз збільшенням кількості вимірювань. Графік залежностіприведено на рис.1. Із збільшенням () максимуму кривої Гаусса спадає, але площа під кривою залишається сталою, що пов’язано з умовою нормування:

, (6)

яка означає, що імовірність попадання випадкової величини () в інтервалдорівнює 1. Відповідно величина

(7)

визначає імовірність її попадання в інтервал d().

Імовірність того, що () виявиться в кінцевому інтервалівизначається формулою:

. (8)

Наближене значення середнього квадратичного відхилення при nнезалежних вимірюваннях випадкової величини дорівнює:

(9)

Значення прямує до свого точного значення із збільшенням (n).

Довірчою границею похибки () називають величину (), якщо () попадаєв інтервал [–, +] з заданою імовірністю (р). Очевидно, що із збільшенням (р) () повинна зростати і (). При виконанні лабораторних робіт рекомендується обирати р=0,9.

Теорія імовірності дозволяє зв’язати () з ():

, (10)

де t– коефіцієнт Стьюдента, який залежить від кількості вимірювань (n) і довірчої імовірності (р) (див. табл.1).

1.6. Оцінка випадкових похибок прямих вимірювань

Оцінити довірчу границю випадкової похибки можна за формулою (10).

Таблиця

Кількість вимірювань (n)	3	4	5	6	7	8	9	10	30	∞
Коефіцієнт Стьюдента (t)	2,9	2,4	2,1	2,0	1,9	1,9	1,9	1,9	1,7	1,645

При прямих вимірюваннях, коли результати окремих вимірювань однакові (), довірча границя похибки оцінюється за похибкою приладу згідно виразу:

(11)

де для р=0,9 =1,645 (див. таб.),– або абсолютна максимальна похибка приладу, або половина ціни його найменшої поділки.

Якщо значення довірчої границі, розраховане за формулою (10) порівняне зі значенням похибки приладу, розрахованої за формулою (11), то результуюча похибка вимірювання знаходиться за формулою:

(12)