Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брестский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ФЭИС_I_сем_II_часть

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2016

Размер:

684.98 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Производной функции y = f (x) по аргументу x называется предел от-

ношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее произвольным образом стремится к нулю:

lim	∆y	= y	′	или	′	lim	f (x + ∆x) −f (x)	.
	∆x				f (x) =		∆x
∆x→0						∆x→0

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции y = f (x) в точкеM (x; f (x)):

y′(x) = k = tgα ,

где α – угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох в точкеM (x; f (x)).

Производная есть скорость изменения функции y = f (x) в точке х.

Процесс отыскания производной функции называется дифференциро-

ванием.

Основные правила дифференцирования

Пусть u = u(x)	и v = v(x)		– функции, имеющие производные, С=const,
тогда:
1) C′ = 0 ;			′		′
				1			′
′	′	u(x)					u (x)
				=	u(x)	=		;
2) (Cu(x)) = C	u (x);						C
		C		C

3)(u(x) ±v(x))′ = u′(x) ±v′(x);

4)(u(x) v(x))′ = u′(x)v(x) +u(x)v′(x);

5)u(x) ′ = u′(x)v(x)2−u(x)v′(x) .

v(x) v (x)

Правило дифференцирования сложной функции: если y = f (u(x)), т.е.

y = f (u), u = u(x),

то

′

u –

(x) = f (u) u (x), где x – основной аргумент,

промежуточный аргумент.

Таблица производных основных элементарных функций

1) (xα )′ =α xα−1, α R ;

2) (x)′ =1;

3) (

)′ =

;

1 ′

′

= −

;

5) (a

) = a

lna ;

6) (e

)

= e

;

(loga x)′ =

;

8) (ln x)′ =

;

9) (sin x)′ = cos x ;

x lna

10)

(cos x)′ = −sin x ;

11)

(tgx)′ =

;

12)

(ctgx)′ = −

;

cos2 x

sin2 x

13)

(arcsin x)′ =

;

14)

(arccos x)′ = −

; 15)

(arctgx)′ =

;

1− x2

1+ x2

16)	(arcctgx)′ = −			1	; 17)	(shx)′ = chx ;		18) (chx)′ = shx ;
			1+ x2
	1					1

19)	(thx)′ =		;		20)	(cthx)′ = −
		ch2x					sh2x

Рассмотрим дифференцирование сложной функции.

Запишем таблицу дифференцирования сложных элементарных функций. Пусть функция u = u(x) имеет производную.

′

(x)

α−1

′

(

)

;

u (x)

1) (u

)

=αu

u (x),α R ;

= −

;

′

u ′

′

(log

u (x)

;

4) (a )

lna

(x);

5) (e )

(x) ;

u lna

′

= −

′

7) (lnu) = u (x) ;

(sinu)

cosu

;

(cosu)

sinu

u (x)

u (x);

′

′ =

′

= −

(x)

12)

(arcsinu)′ =

;

10)

(tgu)

cos2 u

u (x);

11)

(ctgu)

sin2 u

;

1−u2

′

u (x)

13)

(arccosu)′

= −

; 14)

(arctg u)′

u (x)

;

15)

(arcctg u)′ = −

u (x)

;

1−u2

1+u2

16)(shu)′ = chu u′(x) ; 17) (chu)′ = shu u′(x) ; 18) (thu)′ = ch12u u′(x);

19)(cthu)′ = −sh12u u′(x).

Если в заданной сложной функции выделить последовательность основных элементарных функций, ее составляющих, то нетрудно найти производную любой сложной функции, причем промежуточных аргументов может быть несколько.

Пример 9. Найти производные следующих функций:

y =103x−5 ; 2) y = cos3(8 −5x2 ); 3) y = e3x

; 4) y =

x +ln(3x)

7x2 + 3

tg2x

Решение. 1) Представим данную функцию в виде y =10u , u = 3x −5.

Тогда производная функции по аргументу x будет равна:

′

u ′

′

= (10

u ′

′

ln10 3 =10

3x−5

ln10 3 = 3ln10 10

3x−5

= (10 )u u

)u (3x

−5)x =10

Представим функцию в виде:

y = u3 , u = cosv , v = 8 −5x2 . Тогда по

правилу дифференцирования сложной функции и таблице производных получим:

y′ = (cos3(8 −5x2 ))′ = (u3 )′		(cosv )′	(8 −5x2 )′	= 3u2	(−sinv) (−10x) =
	u	v		x
= 3cos2(8 −5x2 ) (	−sin(8 −5x2 )) (−10x) = 30x cos2(8 −5x2 ) sin(8 −5x2 ).

3) Воспользуемся правилами нахождения производной произведения и производной сложной функции, а так же таблицей производных:

y′ = (e3x )′ 7x2 + 3 + e3x (7x2 + 3 )′ =

= e3x (3x)′

+ e3x

(7x2 + 3)′ =

7x2 + 3

= e3x 3 7x2 + 3 + e3x

14x = e3x

7x2 + 3 +

2 7x2 + 3

7x2 + 3

4) Воспользуемся правилами нахождения производной частного и про-

изводной сложной функции, а так же таблицей производных:

y′ = (x +ln(3x))′ tg2x −(x +ln(3x)) (tg2x)′

(tg2x)2

′

(3x)

tg2x

−(x

+ln(3x))

(

2x)

cos2(2x)

tg22x

(x +ln(3x))

tg2x −(x +ln(3x))

tg2x

−

cos2(2x)

tg22x

22x

Упростим полученное выражение:

(x +ln(3x))

tg2x −

(

x +

1 cos

2x tg2x − 2x

(

x +ln(3x)

)

cos (2x)

)

tg22x

x cos2 2x tg22x

(x +1) cos2 2x

sin2x

− 2x (x +ln(3x))

cos2x

x cos

sin2 2x

cos2 2x

= (x +1) cos2x sin2x − 2x (x +ln(3x))

= (x +1) sin4x − 4x (x +ln(3x)).

x sin2 2x

2x sin2 2x

Ответы:

y′ = 3ln10 103x−5 ;

y′ = 30x cos2(8 −5x2 ) sin(8 −5x2 );

x +1 sin4x − 4x

(

x +ln(3x)

3) y′ = e3x 3

7x2 + 3 +

; 4)

y′

(

)

7x2 + 3

2x sin

Задания для аудиторной работы

56. Пользуясь определением, найти производную функции y = 3x2x+1 в точке x =1.

57. Найти производные указанных функций:

y = 5x4 −37

+ 4;

y = 2x

5 −

+ 3

;

y = x2 +

− 2x + 2x ;

y = 5 2x − 4tgx ;

y = x3 sin x ;

y =

;

4 −1

2x2 − 4x + 5

y =

;

y =

1−cos x

;

y = x chx +

;

10) y =

−tg

;

11) y = log3 x

+ln x −

;

12) y = (

+1) arcsin x ;

arctgx

x ctgx

13) y =

;

14) y = log

x 3x +

− sin3 .

arccos x

58. Найти производную данной функции в точке x0 :

3) y = lnx ,

y = x arctgx,

x0 = 0 ;

2) y = x4 + x3 −175, x0 =1;

x0 = e .

59. Найти производные указанных функций:

y = cos5x ;

2) y = 73x−1;

3) y = sh3x ;

y = (x +1)100 ;

5) y =

;

6) y = arcsin

tgx

;

y =

;

8) y = lncos x ;

9) y = ectgx .

ln x

60. Найти производные указанных функций:

y = sin3x + th3x ;

y = x3 sin 3x ;

y =

;

y = 2−cos4 5x ;

ctg4x

y = x cth27x ;

y = 2−cos4 5x + earctg

;

y = (x5 + 3x −1)4 ;

y = 3

x4 + sin4 x

;

y = cos2(2x + 2x );

10) y = x4 arcsin5 x 3

;

x + 9

x2 − 5x +1

earctg

11) y =

;

12) y =

;

x2 +1

x2 −

4x +10

13) y =

x + e

;

14) y = 3 3x4 + 2x −5 +

;

x − e

− 2)

15) y =

;

16) y = (2x

−tg4x) ;

−1

17) y = ln5 (x − 2−x );

19) y = sin2 x 2x2 ;

21)

y = arctg

1+ x2

;

23)

y = (2tg 3x + tg 3x)2 ;

25)

y = sin3 2x cos8x5 ;

27)

y = tg43x arcsin 2x3 ;

29)

y =

earccos3 x

;

x + 5

31)

y =

arcctg45x

;

33)

y =

2x +1

log (x −3x2 );

2x −1

35)

y =

ln(x3

−1)

;

ln(2x

−3)


18)	y = sin(tg				x	) ;
		x
20)	y = 2	ln x		;

22)	y = e−		x2 +2x+2				;
24)	y = 3tg3 5x ;

26)	y = arcctg25x ln(x − 4) ;
28)	y = (x −3)4 arccos 5x3 ;
30)	y = sh3x2 ;
32)	y =	log5(3x −7)	;

		cth 7x3
34)	y = ctg4(x2 −1) log (2x);
	2


36)	y =1+ x + x +				.
				x

Задания для индивидуальной работы

61. Пользуясь определением, найти производные данных функций в точке x = −1:

1) y = x3 ;

2) y =

62. Найти производные следующих функций:

− 4x

+ 5 ;

1) y = x

2) y = (2x + 4) e

4x ;

y = 3 (x −3)4 −

;

4) y = (x − 4)5 +

;

−3x

(2x

+ 4x −1)

y = cos5 3x tg(4x +1)3 ;

6) y = tg4x arcsin 4x5 ;

y = arctg3 2x ln(x + 5);

8) y = arccos4 x ln(x2 + x −1);

y = 2−x3 arctg 7x4 ;

10) y = sh3 4x arccos

;

−x3

11) y = (x − 4)

;

12) y =

;

earcctg x

x2 + 5x −1

13) y = ln(5x −3)

;

14) y = ln(7x + 2)

;

4tg 3x4

5cos 42x

15)	y =	arctg3 2x	;	16) y =	arccos 3x4	;
15)	y =	1	;	16) y =	th2x	;
		1			th2x
		ch
		ch
		x

17)

y =

8arctg(2x + 3)

;

18)

y =

7arccos(4x −1)

;

(x + 2)4

(x +1)3

19)

y =

3x −1

log (7x2

− 4);

20)

y = 3

2x −5

lg(4x + 7);

3x +1

2x + 3

y = sin 5

+ cos

cos3x2

21)

;

22)

y =

;

x3 + 4x +1

23)

y = arctg3(4 − x4 ) ;

24)

ln5(ctg6x + sin3 x);

25)

y =

4 − x

+ 2arcsin

;

26)

y = arctg 2 + x3 −ln

;

27)

y = earccos

;

28)

y = ln2(x + 4

x −3);

tgx

arcsin

29)

y =

;

30)

y =

+ln 1− x2

;

1+ tg2x

1− x2

x−1

31)

y = (1− x − x2 )e

y =

;

32)

;

arcsin2x

33)

y = (tg

3 1

) 5

−arctgx

;

34)

y = e

+ e

−x2

;

35)

y = ln

4tgx +1

− 2

tgx

;

36)

y = ctg

;

1+ x3

4tgx +1 + 2

tgx

−

x2 −1

37)

y =

cos

;

38)

y = ln

;

						ex −e−x
39)	y = arctg	1− x		;	40) y = lncosarctg
		1	+ x			2

63. Найти угловой коэффициент касательной к линии y = f (x)						в точке

x = x0 .

1) f (x) =

3x3 − x2 −5

, x0 = 2;

f (x) = 5

(2x2 − 4x3 )4

, x0 =1;

3) f (x) =

5 − x2

, x0 =1;

f (x) =1−esin2 3x cos2 3x, x0 =

5 + x

64. Найти угол между двумя кривыми y = f1(x) и y = f2(x) в точке их пересечения.

1) f (x) =	1	, f (x) = x2		;		2) f (x) =	1	, f (x) = x3	;
1) f (x) =		, f (x) = x2		;		2) f (x) =		, f (x) = x3	;
1	x		2			1	x	2
	x						x
3) f (x) = 3x			2, f (x) =1− x2		;	4) f (x) =	2 , f (x) =1+ x2 .
1			2			1	x	2
							x

6. Логарифмическое дифференцирование. Производные функций, заданных параметрическими уравнениями.

Производная неявных функций

Логарифмической производной функции y = f (x) называется произ-

водная логарифма этой функции, т.е. (lnf (x))′ = ff′((xx)) .

Предварительное логарифмирование упрощает дифференцирование функций, содержащих операции умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня.

Пример 10. Найти производную функции y = (tgx)cos x. Решение. Логарифмируя функцию, получим:

ln y = ln(tgx)cos x или ln y = cos x lntgx .

Дифференцируем обе части равенства по переменной х:

yy′ = (cos x)′ lntgx + cos x (lntgx)′ = (−sin x) lntgx + cos x tgx1 cos12x .

Тогда,

′

cos x

= y(−sin x lntgx +

) = (tgx)

(−sin x lntgx +

sin x

′

cos x

Ответ:

= (tgx)

(−sin x lntgx +

sin x

Производную

функции,

заданной

параметрическими

уравнениями

x = x(t),

′

находят по формуле y′x

(t)

′

y = y(t),

(t)

;

Пример 11. Найти производную

, если

x =

t +1

+ 2t.

Решение. Находим

y = t

′

(3t )

3(t +1) −

(t +1) −3t (t +1)

;

(t)

(t +1)2

t +

′

+1).

y (t) = (t

2t )

= 2t + 2 = 2(t

′

2(t +1)

Тогда

(t)

(t +1)

(t +

1)3 .

′

(t)

(t +1)3 .

Ответ:

dx =

Пусть уравнение F(x,y) = 0 определяет одну или несколько так называемых неявных функций y = y(x). Будем считать, что эти функции дифференцируемы. Чтобы найти производную функции, заданной неяв-

но, будем дифференцировать обе части уравнения F(x,y) = 0 по переменной x . Получим уравнение первой степени относительно y′, из него выразим производную y′(x).

Пример 12. Найти y′x из уравнения x3 +ln y − x2 ey = 0 .

Решение. Берем производную по переменной x от обеих частей уравнения, получим:

3x2 + y1 y′ −(2x ey + x2ey y′)= 0 .

Слагаемые, содержащие y′, оставим в левой части уравнения, осталь-

ные перенесем вправо.

y′

− x e

= 2xe

−3x

Отсюда следует, что производная равна y

′

(2xey −3x2 ) y

1− x2yey

Ответ:

′

(2xey −3x2 ) y

1− x2yey

Задания для аудиторной работы

65. Найти производные указанных функций, применив правило логарифмического дифференцирования.

1)	y =	(x −3)2(2x −1)	;
		(x +1)3

4)y = (sin3x)cos5x ;

66.Определить y′ = dydx

1)x = t3 −t;y = t2 + t;

x = lnt ; 4) t

y = t2 lnt;

67.Найти производную

1)y2 = x +ln(y x);

4)x sin y + y sin x = 4 ;

68.Найти производную

2) y = (cos x −1)x

;

y =

;

x +1

x + 7(x −3)4

5) y =

;

y =

x sin x

1−ex .

(x + 2)5

для функций, заданных параметрически:

1−t

;

3cos

x =

−2

= 4sin2 t;

y = t

;

x = arccos t;

x =

;

t +1

1− t2 ;

y =

t +1

y′ =

от неявных функций:

x2y2 + x = 5y ;

2) xy2 − y3 = 4x −5;

5)ey = e − xy , в точке (0; 1) .

x′y функции y = 3x + x2 .

Задания для индивидуальной работы

69. Найти производные указанных функций:

1) y = (x3 +1)tg2x ;

3) y = (x −3)5(x + 2)3 ; (x −1)3

5)y = (th 5x)arcsin(x+1) ;

7)y = (sh 3x)arctg(x+2) ;

9) y = (sin(7x + 4))arcctg x ;

11) y = (c h5x)arctgx ;

2) y = (cos(x + 2))ln x ;


4)	y =	(3x − 2)3 (7x +1)5	;
4)	y =	(6x − 4)2	;
		(6x − 4)2

6)y = (log2(x + 4))ctg 7x ;

8)y = (cos(2x −5))arctg 5x ;

10)y = (tg 3x)x4 ;

12)y = (x −( 3)2 2)x7 + 4 ;

(2x −7)10

(x +1)3 4

13)

y =

3x −1

;

14)

y =

x − 2

;

(x2 + 2x + 3)5

5 (x −3)2

y = (sin x)x3 ;

15)

16)

y = (ctgx)

1−x

70. Найти производные функций, заданных параметрически:

1) x = t3 + 3t +1;y = 3t5 + 5t3 +1;

4)x = 5 sin3 t;y = 3cos3 t;

71.Найти производную

1)x3 + y3 = 5x ;

cost;

x = 2(t − sin t);

x = e

y = et sint;

y = 2(1− cos t);

−3t

;

x = t − sint;

x = e

y = e

;

y = 1− cost.

y′ =

dx от неявных функций у:

;

y2 =

x − y

;

x + y

sin2(3x + y2 ) = 5;

ctg2(x + y) = 5x ;

y2 + x2 − sin(x2y2 ) = 5 ;

2x + 2y = 2x+y ;

ex2y2 − x4 + y 4 = 5;

y cos

= exy ;

10) ln y +

= x + y;

11) x2 + y2 = 4, в точке (1;

3);

12)(x + y)3 = 27(x − y), в точке М(2; 1).

72.Найти производную x′y , если:

	1 sin x ;		x
1) y = x −	1 sin x ;	2) y = 0,1x + e	2	.
	2

73. Найти уравнения касательной и нормали к данной кривой в данной точке:

1) y = ex, x0 = 0;	2) y2 = 4x, M0(1; 2);	3)		2	; t		= 2.
1) y = ex, x0 = 0;	2) y2 = 4x, M0(1; 2);	3)	x = t		; t	0	= 2.
			y = t3,			0

74.Найти точки, в которых касательная к графику гиперболы y =1x параллельна прямой y = −x4 + 3 .

75. В какой точке касательная к параболе y = −x2 + 4x − 6 наклонена к

	оси абсцисс под углом а) 0 ; б)			45 ?
76. Найти угол, под которым пересекаются кривые:
	1) y = 8 и x2 − y2 =12;				2) y2 = 2x и x2 + y2 = 8 ;
	x
	3) y = x3 + 3x2 + 2x и y = −5x − 5 ;				4) y = sin x и y = cos x, 0 ≤ x ≤ π.
	Ответы: 74. x = ±2. 75. а) x0 = 2 ; б)				x0 =1,5. 76. 1) π 2 ; 2) arctg 3 ;
3)	arctg 2 ; 4) arctg 2		.
3)	arctg 2 ; 4) arctg 2	2	.
	3

7. Дифференциал функции, его свойства и геометрический смысл.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Дифференциалом функции y = f (x) называется главная часть ее при-

ращения, линейная относительно приращения аргумента. Дифференциалом аргумента называется приращение этого аргумента: dx = ∆x .

Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента: dy = f ′(x)dx = y′dx.

Геометрически дифференциал функции представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке M(x,y).

				Основные свойства дифференциала.
1)	dC = 0,		C = const ;				2)	d(Cu(x)) = Cdu(x);
3) d(u(x) ±v(x)) = du(x) ± dv(x);							4) d(u(x) v(x)) = v(x)du(x) +u(x)dv(x) ;
	u		vdu −udv					′
5)	d	=			, v = v(x) ≠	0;	6)	d(f (u)) = f (u)du , где u = u(x).
			v2
	v

Справедливо приближенное равенство: ∆y ≈ f ′(x) ∆x , или, используя определение дифференциала: ∆y ≈ dy .

∆y = y (x + ∆x)− y (x), тогда y (x + ∆x)− y (x) ≈ f ′(x) ∆x . Запишем полученное приближенное равенство для некоторой точки x0 :

y (x0 + ∆x) ≈ y (x0 )+ y′(x0 )∆x .

Эта формула широко применяется в приближенных вычислениях. Пример 13. Сравнить приращение и дифференциал функции

y= 2x3 + 5x2 −3x +1 в точке M0(1;5). Решение. Составляем приращение функции

∆y = f (x + ∆x) −f (x) =

= 2(x + ∆x)3 + 5(x + ∆x)2 −3(x + ∆x) +1−(2x3 + 5x2 −3x +1).

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.20192.21 Mб12Философия ч.3-4.doc
#
01.03.2016179.2 Кб37ФКИ маленькие сокр.doc
#
01.09.2019144.38 Кб8фо заочники.doc
#
11.12.201833.3 Кб6ФР.docx
#
10.11.2019109.57 Кб7Фразы приветствие, прощание.doc
#
01.03.2016684.98 Кб22ФЭИС_I_сем_II_часть.pdf
#
13.09.2019162.3 Кб7Характеристика Хозяйства.doc
#
26.09.2019683.52 Кб5Химия экзамен 2 семестр.doc
#
01.03.2016323.3 Кб379химия.docx
#
16.04.20192.42 Mб12хотько ЖБК.docx
#
01.03.20161.75 Mб71Ценообразование методичка.pdf