Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брестский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ФЭИС_I_сем_II_часть

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2016

Размер:

684.98 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

3. Первый и второй замечательные пределы

При вычислении пределов широко используются следующие два заме-

чательных предела:

1)	lim	sin x =		1 – первый замечательный предел;
	x→0	x		x
			1				1
2)					или lim	(1+ x)x		= e – второй замечательный предел.
	lim	1+		= e

	x→∞		x		x→0

В более общем виде первый и второй замечательные пределы имеют соответственно вид:

lim	sinf (x)	=1,
f (x)→0	f (x)

Пример 5. Вычислить пределы:

1) lim sin x	;	2) lim	sin x	;
x→π x −π		x→∞	x
Решение.

			1	f (x)
lim	1+				= e .

f (x)→∞		f (x)
3) lim	2x		.

x→0 arcsin x

1) Для раскрытия неопределенности вида

воспользуемся форму-

лами приведения:

sin(π − x)

sin(x −π )

lim

sin x

= lim

= − lim

= −1.

x −π

x→π x −π

x→π

2) Выражение

sin x

представляет собой произведение ограниченной

sin x

функции y = sin x

и бесконечно малой

y =

при

x → ∞. Тогда

–

sin x =

бесконечно малая функция при x → ∞. Значит lim

x→∞

3) Подставив х=0 в функцию,

получим неопределенность вида

Введем замену: arcsin x = t x = sint , если x → 0 то и t → 0 . Тогда:

lim	2x		0	= lim	2sint	= 2 .
		=	0		t

x→0 arcsin x				t →0

			Ответ: 1) –1; 2) 0; 3) 2.
Пример 6.		2 x		3x −1 1−2x
	Вычислить пределы: 1) lim 1−	;	2) lim		.

Решение.	x→∞	x	x→∞	3x + 3
	1) Дробь в скобках стремится к единице при x → ∞. Имеем
неопределенность вида (1∞ ), которую раскроем с помощью второго за-

мечательного предела.

2 x

(−2)

−2

−

∞

−2 −2

= lim

−2 −2

= e

−2

lim 1

= (1

lim 1

x→∞

2) Дробь в скобках стремится к единице при x → ∞. Имеем неопреде-

ленность вида (1∞ ). Применим второй замечательный предел:

3x −1

1−2x

∞

3x −1

1−2x

lim

= (1 )=

lim 1

−1

3x + 3

x→∞ 3x + 3

x→∞

1−2x

3x −1−3x −3

−4

= lim 1

lim 1+

3x + 3

3x +

3x + 3

x→∞

−4

Знаменатель стремится к бесконечности:

lim

3x + 3 = ∞. Умножим и

x→∞

−4

разделим показатель степени на знаменатель. Преобразуя выражение под знаком предела далее, получим:

1−2x

3x+3

−4

(1−2x)

−4

3x+3

lim 1+

= lim

3x + 3

x→∞

→∞

−4

3x+3

−4(1−2x)

3x+3

−4

lim −4+8x

= xlim→∞

= ex→∞ 3x+3

= e3 .

3x + 3

−4

При вычислении этого предела использованы обобщенная форма вто-

			1 f(x)			3x + 3
рого замечательного предела	lim	1+		= e , где	f (x) =	−4	и

	f(x)→∞		f(x)

теорема о пределе показательно-степенной функции.

Ответ: 1) e−2 ; 2) e83 . При нахождении пределов полезно знать следующие равенства:

lim	loga (1+ x)		= loga e, a > 0, a ≠ 1, в частности lim			ln(1+ x)	=1;
	x					x
x→0					x→0
lim	ax −1	= lna, a > 0 , в частности lim		ex −1	=1.
	x			x
x→0			x→0

Задания для аудиторной работы

30. Найти пределы указанных функций:

lim

tgx ;

lim

;

lim

sin7x

;

x→0 x

x→0 sin3x

lim

1−cos x ;

lim

1−cos6x

;

lim

sin5x

;

x→0

x sin3x

x→π

sin6x

lim sin(2(x −1))

;

lim

2arcsin x

;

lim

sin3x − sin x .

x→1

x2 −7x + 6

x→0

31. Найти пределы указанных функций:

lim

3x + 2 4x−1

lim

2x −1 −x

3x −1

;

x + 3

;

x→∞

1+ x

x→±∞

lim

2x +1 3x+1

2x +1 −2x

lim

;

lim

x→∞

−1

x→−∞

4x − 3

32. Найти пределы указанных функций:

lim

arcsin5x

;

lim

ln(1+ 4x)

;

lim

3x −1;

sin x

x→0

−x −

x2 −

cos x

log (x −

lim

;

lim

;

lim

2x −8

x→0

x→3

33. Найти односторонние пределы указанных функций:

lim

;

lim

thx

;

lim

+ e1 x

x→±∞

x2 +1

x→±∞

x→±0 1

Задания для индивидуальной работы

34. Найти пределы указанных функций:

sin3x

sin

2 x

cos x −cos5x

lim

;

lim

;

lim

;

2x2

x→0

lim

ctg

;

lim

sin(3x + 3)

;

lim

sin4x

;

x→0

x→−1 x2 − 4x −5

x→0

x +1 −1

lim

1−cos8x

;

lim

sin2 3x − sin2 x

;

lim

−

3x2

x arctgx

x→0

x→∞

35. Найти пределы указанных функций:

lim

2x −1 x2

lim

3x −1 3x

lim

1−

;

x→∞

3x + 4

x→∞

+ 5

x→±∞

3x − 4

x+1

x2 − 2x +1

ctgx

lim

;

lim (1+ tgx)

;

lim

x→∞

3x + 2

x→0

x→∞

x2 − 4x + 4

36. Найти пределы указанных функций:

sin x

lim

x + 2 x

lim

−cos x −tg2x

lim

;

x sin x

;

x→0

x + 9 − 3

x→∞

x −3

x→0

πx

−

lim

(2 − x)tg

;

5) lim

1+ sin x

1− sin x

;

x→2

x→0

sin x

(1+ sin x)x ;

lim

;

lim

;

lim

π2 − x2

x→∞

x→π

x→0

sin3x

x+2

x +1

lim

;

10)

lim (1−3x)x ;

11)

lim

;

x→0

x→∞

x −3

12)

lim (2x +1)

ln(3x +1)

−ln(3x +

;

13)

lim

x sin

;

x→∞

14)

1+ x

2 − cos x

4 − 2x x+1

lim

sin3x

lim

;

15)

lim

;

16)

;

sin2 x

tg4x

x→0

x→∞

1− 2x

x→0

17)

lim

(1+ tg2x)2ctg2x ;

18)

lim

(

− x)1 x ;

19)

lim

(cos x)1 x ;

1+ x

x→0

x+3

1−cos x −tg2x

sin

2x +1 x

20)

lim

;

21)

lim

;

22)

lim

;

x sin x

4x −3

x→0

x→∞

23)

lim

(cos x)

;

24)

lim

(sin x)tg

x ;

25)

lim

(tgx)tg2x ;

x→0

x→

x→π

26)

lim

(5 − 2x)

;

27)

lim

(cos2x)ctg2 2x ;

28)

lim

4−x2

x→2

x→0

x→π

29)

lim

1+ tg2

)

30)

lim

1−tgx − 1+ tgx

;

x→0

(

x→π

sin2x

37. Найти односторонние пределы указанных функций:

lim

ln(1+ ex )

;

lim

sin x

;

lim

x→±∞

x→±0

x→1±0

	sin2 x	;
1	+ cos3 x

x −1 . x −1

Ответы: 30. 5)

6; 7)

− 2 . 31. 1) e4 ; 5)

e3 . 32. 4)

− 1 . 33. 1) 1; –1; 2) 1;

–1; 3) 0; 1. 34. 2)

1 ; 4) 3; 5)

− 1 ; 9) –1. 36. 1) 6; 3)

−

1 ; 4)

; 5) 1; 7)

;

2π

12) 2; 14) 3 ; 17)

e2 ; 18) e−2

; 19) 1; 23)

e−2 ; 27) e−

. 37. 1) 1; 0; 2) 1; –1;

3) 1; –1.

4. Сравнение бесконечно малых функций. Непрерывность функции

Пусть α (x) и β (x) бесконечно малые функции при x → x0	и lim	α (x)	= A.
		β (x)
	x→x0

1) Если A ≠ ∞ и A ≠ 0, то α (x) и β (x) называют бесконечно малыми функциями одного порядка.

2)Если A =1, то α (x) и β (x) называют эквивалентными бесконечно малыми функциями: α (x) β (x) при x → x0 .

3)Если A = 0 , то α (x) называют бесконечно малой функцией более

высокого порядка малости, чем β (x): α (x) = o (β (x)) при x → x0 .

4) Если A = ∞, то α (x) называют бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем β (x), или β (x) более высокого порядка

малости, чем α (x):		β (x) = o (α (x)) при x → x0 .
5) Если предел lim				α (x)	не существует,			то α (x) и β (x) называют не-

	x→x0			β (x)
сравнимыми бесконечно малыми функциями.
Если lim	α (x)	=	A, 0 <			A	< ∞, то α (x)	называют бесконечно малой

	(β (x))k
x→x0

функцией порядка k по сравнению с β (x) при x → x0 .

Теорема. Предел отношения бесконечно малых функций не изменится, если любую из них заменить ей эквивалентной.

Примеры эквивалентных бесконечно малых функций:

x→0

sinax ax ;

x→0

arcsin ax ax ;

( )x→0

eax −1 ax ;

x→0

xa −1 a(x −1);

x→0

tg ax ax ;

x→0

arctg ax ax ;

x→0 x

loga (1+ x) lna ;

(1+ x)k −1x→0 k x .

(1−cos x)	x→0	x	2	;

		2
x→0

(ax −1) x lna ;
x→0
ln(1+ ax)	ax ;

Пример 7. Вычислить пределы 1) lim	2x sin3x	;	2) lim ln cos x .
x→0	1−cos x		x→0	x2

Решение. Воспользуемся теоремой о замене эквивалентных бесконечно малых функций.

x→0

−cos x

2x sin3x

2x 3x

lim

= lim

=12 .

1−cos x

x→0

sin3x

ln(1+ t )

t →0

ln cos x

ln (1+ (cos x

−1))

lim (cos x −1) = 0

2) lim

= lim

x→0

t = cos x −1

= lim cos x −1

= 1

t →0

= lim −x

= − 1.

−cos x

x→0

Ответ: 1) 12; 2) –0,5.

Функция y = f (x)

называется непрерывной в точке x0 , если:

1) она определена в точке x0

и некоторой ее окрестности;

2) существует предел функции y = f (x)

в точке x0 ;

lim f (x) = f (x0 ).

3) этот предел равен значению функции в точке x0 :

то lim f (x)

x→x0

Если

x → x

так,

что x > x

называют правосторонним

x→x

x>x

пределом и обозначают

lim

f (x). Если

x → x0

так, что

x < x0 , то

x→x0

lim f (x).

lim f (x) называют левосторонним пределом и обозначают

x→x

x→x −0

x<x 0

Левосторонний и правосторонний пределы называют односторонними

пределами. Для того,		чтобы lim f (x) = A, необходимо и достаточно, что-
бы lim f (x) =		x→x0
бы lim f (x) =	lim	f (x) = A.
x→x0 −0	x→x0 +0
Тогда значение функции в точке непрерывности
	f (x0 ) = lim f (x) =		lim f (x) =	lim f (x).
		x→x0	x→x0 −0	x→x0 +0

Все основные элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Если в точке x0 нарушается непрерывность функции, то точку x0 на-

зывают точкой разрыва функции.

Пусть x0 – точка разрыва функции. Если при этом односторонние пре-

делы существуют и конечны, то точку x0			называют точкой разрыва I рода.
Пусть x0	– точка разрыва первого рода и			lim f	(x)=		lim f (x)≠ f (x0 ),
				x→x0 −0		x	→x0 −0
то точку x0	называют точкой устранимого разрыва.					f (x) ≠ lim f (x),
Пусть x0	– точка разрыва первого рода. Если				lim
				x→x0 −0				x→x0 +0
то точку x0	называют точкой разрыва первого рода со скачком. Скачок
функции определяют по формуле ω =			lim	f (x)−	lim		f (x)	.
		x→x0 −0			x→x0	+0

Если f (x0 )	не существует, хотя бы один из односторонних пределов
равен ∞ при	x → x0 или не существует, то точку x0 называют точкой
разрыва второго рода.
Пример 8. Исследовать функцию на непрерывность.
		x + 2,		если x < −2;
			− 4
	f (x)	x2		, если − 2 ≤ x < 0;
		=
			2
				если x ≥ 0.
		sin x,

Решение. Функция определена на всей числовой оси и непрерывна на интервалах (−∞; − 2), (−2; 0), (0; + ∞), т.к. представлена на них элементар-

ными функциями. Исследуем функцию в точках x = −2 и x = 0, при переходе через которые меняется аналитическое задание функции.

Если x = −2, то f (−2) = (−2)2 − 4

= 0. Найдем односторонние пределы.

x2 − 4

lim

(x + 2) = 0;

lim

= 0 .

f (x)

x→−2−0

x→−2+0

Итак,

lim

= lim

f (x) = f (−2) = 0 , а значит, x = −2 – точка не-

x→−2−0

x→−2+0

прерывности функции.

Если x = 0, то f (0) = sin0 = 0 . Найдем односторонние пределы.

lim

− 4

= −2

; lim

sin x = 0.

(x) ≠

x→0

−0

x→0+0

Итак,

lim f

(x) = f (0), а значит, точка x = 0 – точка разрыва

x→0−0

x→0+0

первого рода со скачком,

равным ω =

lim

f (x)−

lim f (x)

−2 −0

= 2.

x→x0 −0

x→x0 +0

Т.к.

lim f (x) = f (0), то говорят, что

функция f (x)

непрерывна справа в

→0

точке x = 0.

Ответ: f (x) непрерывна на {0}, x = 0 – точка разрыва первого рода.

					Задания для аудиторной работы
38.	Определить				при		x → 0 порядки малости			функций	y = 3x , y = x2 ,
y =				y = x3 ,	y = x 2 относительно функции y = x .
		x	,
39.	Найти пределы, используя таблицу эквивалентных бесконечно малых
функций.
1) lim				sin(3(x − 2))		;	2) lim	x sin6x	;	3) lim	sin3x − sin5x ;
								(arctg2x)2
	x→2			x2 −3x + 2			x→0			x→0	2x

lim

e5x −1

;

lim

esin7x −1

;

lim

ln(1+ 7x)

;

+ 3x

sin7x

x→0 sin10x

x→0

lim

ln x3 −3

;

lim

ln(x2 −5x + 7)

;

lim

1 sin2 x

x −e

x −3

(cos x)

x→e

x→3

x→0

−9

, если x

≠ 3;

40. Дана функция

−3

f (x) = x

если x = 3.

При каких значениях параметра А функция f (x) будет непрерывной в

точке x = 3? Построить график функции.

3x + 3 и найти её

41.

Установить область непрерывности функции

y =

точки разрыва.

2x + 4

42.

Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

−x, x ≤ 0;

2 x, x < 0;

3) f (x) =

1) f (x) = x3, 0 < x ≤ 2;

2) f (x) = x2 +1, 0 ≤ x <

+ 4, x > 2.

2x + 4, x ≥ 3.

43.

Исследовать на непрерывность функцию y = 31 (x+1) +1

в точках

x =1,

x2 = −1.

44.

Найти односторонние пределы:

1) lim

;

2) lim thx ;

lim

1+ e1 x

x→±∞ x2

x→±∞

x→±0

Задания для индивидуальной работы

45. Определить при x → 0 порядки малости данных функций относительно функции y = x .

y =

;

2) y = x +

;

3) y = 3

− x3 ;

1+ x

y =1−cos x ;

5) y = tgx − sin x ;

y =

x4 +1

46. Сравнить бесконечно малые функции.

1)α (x)= 3x4 , β (x)= x3, x → 0 ;

x+1

2)1) α (x)= 11+− xx , β (x)=1− 3x, x →1;

3)α (x)= 3x4 + 2x3 , β (x)= ln(1+ x), x → 0;

4)α (x)=1−cos3 x, β (x)= sin2 x, x → 0 ;

5)α (x)= xx2++11, β (x)= x1, x → ∞;− 4

6) α (x)= arctgxx2 +1 , β (x)= x12 , x → ∞;

7) α (x)=1+ sin3 x, β (x)= cos2 x, x →π2 .

47. Доказать, что данные функции являются бесконечно малыми одного порядка малости.

1) f (x) = tgx и ϕ(x) = arcsin x при x → 0;

2)f (x) =1−cos x и ϕ(x) = 3x2 при x → 0.

48.Найти пределы указанных функций:

lim

arcsin8x

;

lim

tg3x ;

x→0 ln(1+ 4x)

x→0 tg8x

−1

1+ x

lim

;

lim

1+ x

;

x→0

lim

ln(3x2 + 5x − 21)

; 8)

lim

sin3(x +1)

;

x2 − 6x + 8

x→2

x→−1 x2 + 4x −5

10) lim

ln(1− 2x)

;

11)

lim

− 2π )2

;

x→0 sinπ (x + 4)

x→2π tg (cos x −

13) lim

ex −e

;

14)

lim

− x2

;

ln x

x→1

x→0 sinπx

3)	lim		tg3 4x		;

	x→0 sin3 10x
6)	lim		ln(1+ 5x) ;
	x→0			x
9)	lim		tg(x2 −3x + 2)				;
				x2 − 4
	x→2
12)		lim		23x −32x		;

		x→0 x + arcsin x3
15)		lim		ln tgx	;
				cos2x
		x→π
			4

arctg (x2 − 2x)

lim

ln(1+

)

;

2(eπx −1)

16)

lim

;

17)

18)

lim

;

x→1

sinπx

x→0

ex2 −1

x→0 3

(3 1+ x −1)

cos

πx

(3π x −3)

23x −32x

19)

lim

;

20)

lim

;

21)

lim

;

x→1

1−

x→π

cos

−1

x→0 x

+ arcsin x3

22)

lim

3x+1 −3

lim

+ x22x 1 sin3 x

;

23)

;

x→0 ln(1+ x 1+ xex )

x→0

+ x2

2 + cos x

1 cos

24)

lim

2x −π

;

25)

lim

ctg

3 + 2x sin x

x→π

x→2

−1 x2

49. Исследовать функцию на непрерывность f (x)

, если x ≠ 0;.

если x = 0.

50. Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

x2 +1, x < 0;					x + 4, x < −1;
			π 2;	2)		<1;
1) f (x) = sin x, 0 ≤ x <					f (x) = x2 + 2, −1≤ x
x −π 2		+1, x	≥ π 2.		2x, x ≥1.

−x2, x		≤ 0;			−2x, x ≤ 0;
	0 < x ≤ π		4;	4)

3) f (x) = tgx,					f (x) = x, 0 < x < 4;
	3, x > π		4.
4x −					ex 4, x ≥ 4.

51.

Исследовать на непрерывность функцию

y = 31 (x−1)

точках

x1 = 3 , x2 = 4 .

52.

Исследовать на непрерывность функцию f (x) = 2x + 4 в точках

= −1

3x + 9

и x2 = −3 . Сделать схематический чертёж.

53.

Исследовать на непрерывность функцию f (x) = 3x − 2 в точках

= 0

x + 2

и x2 = −2. Сделать схематический чертёж.

54.

Найти односторонние пределы:

1) lim

(1+ ex )

;

2) lim

sin x

;

lim

x −1

x→±∞

x→±0

x→1±0

55.

Найти односторонние пределы указанных функций при x → 0:

1) y = ctg x ;

2) y = arcctg

;

3) y = e1 x .

Ответы: 39. 1) 3; 4)

1 ; 6) 1; 7)

3 ; 9)

−

1 . 44. 1) 1; –1; 2) 1; –1; 3) 0; 1.

48.

18) 2π ;

19) π ; 20)

−

; 21)

8 ; 22)

3ln3 ;

23) 2

; 24)

;

25) е.

3 +π

54.

1) 1; 0; 2) 1; –1; 3) 1; –1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

5. Производная. Основные правила дифференцирования. Таблица производных

Пусть функция y = f (x) определена на промежутке Х, значения x1 и x2 принадлежат этому промежутку, y1 = f (x1) и y2 = f (x2 ) – соответствующие значения функции. Тогда разность ∆x = x2 − x1 называется приращением аргумента, а разность ∆y = f (x2 ) −f (x1) – приращением функции на отрезке [x1; x2] .

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.20192.21 Mб12Философия ч.3-4.doc
#
01.03.2016179.2 Кб37ФКИ маленькие сокр.doc
#
01.09.2019144.38 Кб8фо заочники.doc
#
11.12.201833.3 Кб6ФР.docx
#
10.11.2019109.57 Кб7Фразы приветствие, прощание.doc
#
01.03.2016684.98 Кб21ФЭИС_I_сем_II_часть.pdf
#
13.09.2019162.3 Кб7Характеристика Хозяйства.doc
#
26.09.2019683.52 Кб5Химия экзамен 2 семестр.doc
#
01.03.2016323.3 Кб378химия.docx
#
16.04.20192.42 Mб12хотько ЖБК.docx
#
01.03.20161.75 Mб71Ценообразование методичка.pdf