2.7 Упражнения

y n a

y n 1 a

2

y n 2 ... a

n

y f x ,

(2.13)

1

где a1,a2 ,..., an – действительные числа,

f x 0 .

Общее решение yобщ.неодн. линейного неоднородного уравнения (2.13)

равно сумме общего

решения

yобщ.одн. соответствующего

однородного

уравнения и какого-либо частного решения yчаст.неодн. уравнения (2.13):

yобщ.неодн. yобщ.одн. yчаст.неодн. .

(2.14)

Частное решение yчаст.неодн. можно найти методом неопределенных ко-

эффициентов для некоторых специальных видов функции

f x (избегая

Если

f x P x e x ,

(2.15)

n

где

P x

– многочлен

n -й степени,

то y

част.неодн.

xrQ

x e x ,

где

Qn x

n

n

– полный многочлен n -й степени, но с неопределенными коэффи-

циентами A0 , A1,..., An ; r

– кратность корня соответствующего характе-

ристического уравнения.

Если

f x e x Pn1 x cos x Qn2

x sin x ,

(2.16)

где

Pn

x ,

Qn x

–

многочлены

степеней

n1

и

n2 ,

то

1

2

yчаст.неодн.

e x Pm x cos x Qm x sin x xr , где

Pm x ,

Qm x

– полные

r

– кратность корня i

характеристического уравнения.

Частный

случай:

если

f x e x Acos x Bsin x ,

то

y

част.неодн.

xr

C cos x Dsin x e x .

Если f x есть сумма указанных в (2.15) и (2.16) функций, то

yчаст.

есть сумма соответствующих функций в первом и втором случаях.

Для нахождения неопределенных коэффициентов многочленов надо

выражение y

част.неодн.

подставить в данное ДУ и после сокращения на e x

Пример 8.

Найти общее решение уравнения y 4 y ex .

Решение

Решим однородное уравнение y 4 y 0 :

k2 4 0 ,

k 2i ,

k

2

2i ,

y

С cos2x С

2

sin 2x .

1

общ.одн.

1

Функции

ex в правой части уравнения соответствуют

1, 0 ;

коэффициент при ex

равен 1 (многочлен нулевой степени)). Следователь-

но, частное решение ищем в виде

y

Ax0ex Aex .

част.неодн.

Находим коэффициент A, подставляя

yчаст.неодн.

в данное неоднород-

ное

уравнение:

x

,

x

, Ae

x

4 Ae

x

e

x

,

e

x

0 ,

yчаст.неодн. Ae

yчаст.неодн. Ae

A

1 .

5

sin 2x 1 ex .

Итак, y

С cos2x С

2

общ.неодн.

1

5

Пример

9.

Указать

вид

частного

решения

ДУ

y 5y 4 y 3x 2 ex .

Решение

k2 5k 4 0 ,

k 1,

k

4.

Решим характеристическое уравнение

2

1

ние имеет вид:

y

x Ax B ex .

част.неодн.

Пример 10. Найти общее решение уравнения

y 2 y 8y 85cos x .

Решение

y 2 y 8 y 0 :

k2 2k 8 0 ,

Решим однородное

уравнение

k 2 , k

2

4 , y

общ.одн.

С e 2 x С

e4 x .

1

1

2

Функции cos x соответствует 0, 1.

Число i не является кор-

нем

характеристического

уравнения.

Следовательно,

yчаст.неодн. Acos x B sin x ,

тогда

yчаст.неодн.

Asin x B cos x ,

,

y

в данное уравнение, по-

yчаст.неодн. Acos x B sin x . Подставляя y , y

cos x

A 2B 8A 85,

9 A 2B 85,

sin x

B 2A 8B 0.

2 A 9B 0.

Решение

Решим характеристическое уравнение k2 2k 2 0 : k

1 i ,

1

k2 1 i . Для первого слагаемого правой части уравнения e x cos x

имеем:

1, 1. Число

i 1 i является корнем характеристического

уравнения кратности

r 1. Для второго слагаемого xe x имеем: 1,

0 . Число 1

не является корнем характеристического уравнения.

1

y 5y 6 y 12x 7 e x ,

9

y 2 y 10 y x cos2x .

y 0 y 0 0 .

2

y y x2

x 1.

10

y 2 y 2 y ex sin x .

3

y 5y 6 y ex .

11

y 3y 2 y 1 2x ex .

4

y y 7sin x .

12

4 y y x3 24x .

5

y 7 y 12 y e3x x 1 .

13

y 6 y 9 y 10sin x ,

y 0 y 0 0 .

6

y 5y 4 y sin x 7cos x .

14

y 2 y 4ex sin x cos x .

7

y 9 y e3x .

15

4 y 8 y x sin x .

8

y 4 y 5y 2x2ex ,

16

y y 2cos x ,

y 0 2,

y 0 3 .

y 0 1,

y 0 0.