1.3 Упражнения

Интегрирование однородного уравнения сводится к интегрированию

ДУ с разделяющимися переменными.

y

Однородное ДУ

y

f x, y преобразуется к виду

y

x . С по-

мощью подстановки

y

x

u (откуда y ux, y

получим уравне-

u x u )

ние

u x u u с разделяющимися переменными.

dy

y

dy

x y y

dy

y

y 2

:

или

.

dx

dx

x

2

dx

x

x

x

Полагаем

y

x u ,

тогда y ux ,

y

Следовательно,

u x u .

2

2

du

2

du

dx

du

dx

u x u u u

. Тогда

u x u

,

x dx u

,

u2

x

,

u2

x C

или

x

ln

x

C ― общий интеграл исходного ДУ.

y

x 0,

y 0

Непосредственной проверкой убеждаемся,

что

также ре-

шения данного уравнения. Но они не могут быть получены ни при каком

значении C из общего интеграла. Поэтому x 0 и

y 0 являются особы-

ми решениями данного уравнения.

Пример 7. Найти общее решение ДУ, а также частное решение, удов-

летворяющее начальному условию, если

x2

3y2 dx 2xydy 0 , y 2 1.

Решение

y

Это уравнение однородное. Приводим его к виду y

x :

dy

3y2 x2

y

3

y 1

x

dx

2xy

или

2

2

.

x

y

15

2xy

2

2

2

2

16

x

y

y y

2x

.

x 2 y 1 dx 3x 6 y 2 dy 0 .

Замечание –

ДУ вида

y f

a x b y c

где a1b ab1

0 , приво-

1

1

1

,

ax by c

x x ,

дится

к

однородному

уравнению

с

помощью

подстановки

y y

, где

–

новые переменные; , – постоянные, удовлетво-

x , y

ряющие системе

a b c

0,

1

1

1

a b c 0.

y P x y Q x .

(1.12)

y P x y 0 .

(1.13)

P x uv Q x или

P x v Q x .

(1.14)

u v uv

u v u v

Одну из функций u x

или v x

можно взять (предположить) произ-

y Ce

P x dx

.

(1.15)

Затем, полагая в этом соотношении величину C функцией от x , ищем

общее решение неоднородного уравнения (1.14) в виде

y C x e P x dx .

(1.16)

C x находим из уравнения (1.12), подставив в него y C x e P x dx

e

P x dx

C x e

P x dx

C x

e

P x dx

P x .

и y C x

Пример 8. Проинтегрировать уравнение

y (ctgx) y sin x .

Решение

Убедившись, что данное уравнение линейное, полагаем y uv , тогда

y

и данное уравнение в новых переменных примет вид:

u v uv

(ctgx)uv sin x ,

(ctgx)v sin x .

u v uv

u v u v

Возьмем в качестве v x

одно из решений уравнения

v (ctgx)v 0 .

(1.17)

Тогда для отыскания u x получим уравнение

(1.18)

u v sin x .

Решаем уравнение (1.17):

dv

(ctgx)v ,

или

dv ctgxdx .

dv

dx

v

ctgxdx ,

откуда

ln

v

ln

sin x

,

или

v sin x .

v

u x

Находим

как

общий

интеграл

уравнения

(1.18), подставив

v sin x :

(sin x)u sin x ,

du dx ,

u x C .

Зная u и v , находим искомую функцию y uv x C sin x ― общее

решение исходного ДУ.

Пример 9.

Проинтегрировать уравнение y y 2ex , найти частное

C x ex C x ex C x ex 2ex ,

откуда C x 2 ,

C x 2x C1 , C1 – произвольная постоянная.

Уравнение Бернулли y P x y Q x y

0, 1 , где R ,

P x, y dx Q x, y dy du x, y .

(1.20)

Общий интеграл уравнения (1.19) определяется формулой

u x, y C .

(1.21)

Поскольку

du u dx

u dy ,

(1.22)

x

y

то из равенств (1.20) и (1.22) следуют уравнения

u

P x, y ,

u Q x, y .

(1.23)

x

y

14

P

Q .

(1.24)

y

x

Если левая часть уравнения (1.19) не является полным дифференциа-

лом, но

становится таким

при

умножении на некоторую функцию

x, y ,

то x, y

называется интегрирующим множителем.

Интегрирующий множитель зависит только от

x ,

т. е.

x ,

если

1

P

Q

1

P

Q

y

x

f x , и зависит только от y , если

y

x

y

.

Q

P

Пример 10. Из семейства интегральных кривых дифференциального

уравнения 2x cos2 ydx 2 y x2 sin 2 y dy 0 выбрать ту, которая проходит

через начало координат.

Решение

Для данного в условии уравнения имеем:

P x, y 2x cos2 y ,

Q x, y 2 y x2 sin 2 y ,

P 2x 2 cos y sin y 2x sin 2 y ,

Q

2x sin 2 y .

y

x

Так как выполняется условие (1.24), то данное уравнение является

u 2x cos2 y

,

u 2 y x2 sin 2 y .

x

y

Интегрируем второе из этих уравнений ( x при этом считается посто-

янной), найдём:

1 x2 cos2 y f x ,

u x, y 2 y x2 sin 2 y dy f x ; u x, y y2

2

где f x ―функция, подлежащая определению.

Чтобы найти функцию

f x ,

продифференцируем по x

функцию

u u x, y :

u

1

x и, принимая во внимание равенство

x

2 2x cos2 y

f

u

2x cos2

y , получаем:

x

x cos2 y f x 2x cos2

y ,

x cos2 y f x x 1 cos2 y ,

x cos2 y f x x x cos 2 y ,

f x x ,

f x

x2

C1 .

2