2

УДК 517

ББК 22.1я73 В 93

Рекомендовано к опубликованию учебно-методическим управлением

ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет»

Одобрено кафедрой «Высшая математика» «25» февраля 2010 г., протокол№5

Составители: Е. Г. Галуза; М. Н. Зубова; Н. М. Карпович; В. В. Пугин

Рецензент канд. техн. наук, доц. Д. М. Макаревич

В методических указаниях изложен материал по теме «Дифференциальные уравнения», который могут использовать студенты всех специальностей как дневной, так и заочной форм обучения при самостоятельной работе, а также преподаватели для проведения практических занятий.

Учебное издание

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Подписано в печать 15.10.2010 . Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать трафаретная. Усл.-печ. л. 2,09 . Уч.-изд. л. 2,0 . Тираж 165 экз. Заказ № 727.

Издатель и полиграфическое исполнение Государственное учреждение высшего профессионального образования

«Белорусско-Российский университет» ЛИ № 02330/375 от 29.06.2004 г. 212000, г. Могилев, пр. Мира, 43

© ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет», 2010

3

1 Дифференциальные уравнения первого порядка

1.1 Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется соотношение, свя-

зывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы.

ДУ называется обыкновенным (ОДУ), если неизвестная функция, входящая в уравнение, зависит только от одной независимой переменной.

Порядком ДУ называется порядок входящей в уравнение старшей производной (или дифференциала) неизвестной функции.

называется дифференциальным уравнением первого порядка в дифференциальной форме.

Решением уравнения (частным решением) (1.1) ((1.2)) или (1.3) назы-

определенная на некотором промежутке действительной оси и дифференцируемая на этом промежутке, подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество.

Решение ДУ, заданное неявно соотношением

называется интегралом этого уравнения.

График решения ДУ называется интегральной кривой ДУ. Решение (1.4) ((1.5)) дифференциального уравнения (1.1) ((1.2)) или

(1.3), удовлетворяющее условию y x0 y0 , называется частным реше-

нием (или частным интегралом) ДУ, удовлетворяющим начальному условию.

Численный параметр, принимающий произвольные значения из множества R, обозначим C . Функция y x,C , зависящая от x и постоян-

4

ной C , называется общим решением уравнения (1.1) ((1.2)) или (1.3) в некоторой области , если оно является решением этого уравнения (при любом значении постоянной C из некоторого множества) и если любое решение уравнения в области при наличии начальных данных x x0 ,

y y0 (начального условия y x0 y0 , или точки x0 , y0 ) может быть за-

писано в виде y x,C0 , где C0 C x0 , y0 .

Равенство x, y,C 0 , неявно задающее общее решение ДУ, назы-

вается общим интегралом ДУ в области .

Решение ДУ, которое не может быть получено из общего решения ни при каком значении C R, называют его особым решением.

Процесс нахождения решения ДУ называется интегрированием уравнения.

Основная задача интегрирования ДУ состоит в нахождении всех решений ДУ и изучении их свойств.

Другой очень важной задачей теории ДУ и её приложений является задача нахождения решений ДУ, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям. Дополнительные условия называются начальными, если они относятся к одному значению аргумента, и граничными – в против-

ном случае. Задача отыскания решения y x ДУ y f x, y , удовлетворяющего начальному условию y x0 y0 , называется задачей Коши.

Известно из теоремы Коши, что если f x, y непрерывна в окрестно-

задачи Коши будет единственным.

С точки зрения геометрии задать уравнение y f x, y – значит за-

дать поле направлений в области D (в каждой точке области D направление касательной к интегральной кривой ДУ). Найти решение этого уравнения ― значит найти кривую, касательная к которой в каждой её точке совпала бы с направлением поля в этой точке.

при любом значении C . Найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию y 1 1.

5

Решение

Подставляя функцию (1.6) в уравнение (1.7), получаем при любом C y y Cex Cex 0, т. е. функция (1.6) является решением ДУ (1.7). Под-

1.2 Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

ДУ 1-го порядка с разделенными переменными – это ДУ в диффе-

где при dx стоит функция, зависящая только от x , а при dy — функция, зависящая только от y y x .

Общий интеграл ДУ (1.8) записывается в виде

f x dx y dy C ,

где C – произвольная постоянная.

ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными – уравнение вида

6

Следовательно, общий интеграл последнего уравнения, а значит и уравнения (1.9), записывается в виде

y , то уравнение (1.9), наряду с общим интегралом (1.10), имеет также решения x или y . Если эти решения не могут быть получены из

(1.10) при каком-то значении C , то они будут называться особыми решениями; в противном случае они представляют собой частные решения при некоторых значениях C .

7

ловию y 0 1.

Пример 4. Найти общий интеграл уравнения

Непосредственной проверкой убеждаемся, что x 0 и y 0 являются решениями данного ДУ. Но они не получаются из общего интеграла ни

решение данного уравнения, которое не получается из общего интеграла ни при каком значении C . Следовательно, y 0 ― особое решение данно-

го уравнения. Уравнение 1 x2 0 действительных корней не имеет.