15
Итак, |
u x, y y2 1 x2 cos 2 y |
x2 |
C . |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В соответствии с формулой (1.16) получаем |
|
|
||||||||||||||||||
y2 1 x2 cos2 y |
x2 |
|
C |
C |
|
или y2 |
1 x2 cos2 y |
x2 |
C , |
|||||||||||
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где C C2 |
C1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Здесь C1, C2 – произвольные постоянные. |
|
|
|
|||||||||||||||||
Итак, |
y |
2 |
|
1 |
x |
2 |
cos2 y |
|
x2 |
|
C |
– общий интеграл данного уравнения, |
||||||||
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т. е., семейство интегральных кривых, определяемое данным уравнением. Из этого семейства кривых выделим ту, которая проходит через начало координат: подставим в уравнение семейства интегральных кривых на-
чальные данные x 0 |
и y 0. Получим C 0 . |
|||
Ответ: y2 |
1 x2 cos2 y |
x2 |
0 . |
|
|
||||
|
2 |
2 |
|
|
1.7 Упражнения
Проинтегрировать уравнения
1y xy x .
2xy y x2 cos x .
3dydx 2xy x2 .
4y xy x2 .
5 |
x2 xy y , |
y 1 0 . |
|
6 |
x x cos y cos y , |
x 0 1. |
|
7y cos x y 1 sin x .
8y x y xy2 .
9 |
x2 y2 y xy3 1. |
|
|
|
|||||||||
10 |
x x 1 y y x2 2x 1, |
y 2 4 . |
|||||||||||
11 |
|
x |
2 |
1 y |
|
4xy 3. |
|
||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12 |
1 x y y e x . |
|
|||||||||||
13 |
e ydx 1 xe y |
|
dy 0 . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14 |
2xy y 3x2 . |
|
|
|
|
|
|||||||
15 |
y 2xy 2xex2 . |
|
|
|
|||||||||
16 |
y |
1 2x |
y |
1 2x |
. |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x x2 |
x x2 |
|
||||||