Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусско-Российский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальные уравнения.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

443.39 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

в себе и решение y 0).

2.3 Упражнения

Решить ДУ высших порядков, используя методы понижения порядка

1y x ln x .

2y cos 2x .

3y 3x2 , y 0 2, y 0 1.

4x y 1 y 0 .

5x2 y xy 1.

6xy y ln yx .

71 x2 y 2xy x3 .

8yy y 2 y2 y .

9 1 y 2 2 yy .

10yy y 2 y3 .

11y xex , y 0 y 0 y 0 0 .

12xy y x 1 0 .

13x y 2 y y 3 x34 .

142 yy 3 y 2 4 y2 .

15y y x2 .

16y y3 1.

2.4 Линейные однородные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами

Пусть

y n a y n 1 a

y n 2 ... a

y 0 ,

(2.5 )

т. е. L y 0 ,

где L y y n a y n 1

y n 2 ... a

y 0 –

линейное

однородное ДУ

n го порядка с постоянными коэффициентами.

Будем искать решение этого уравнения в виде y ekx , где k

– некото-

рое число. Так как y kekx , y k2ekx ,…, y n

knekx ,

то

L ekx ekx kn

a1kn 1 a2kn 2

... an .

Многочлен

F k kn a kn 1 a

kn 2 ... a

называется характери-

стическим многочленом ДУ (2.5).

Для того чтобы функция y ekx являлась решением ДУ (2.5), необхо-

димо и достаточно, чтобы L ekx 0 , т. е. ekx F k 0 .

Множитель ekx 0 , следовательно,

F k 0,

или

kn a kn 1

kn 2

... a

(2.6)

Уравнение (2.6) называется характеристическим уравнением (с не-

известной величиной k ), соответствующим данному ДУ (2.5).

Уравнение (2.6) по основной теореме алгебры имеет n корней: k1,k2 ,...,kn . Каждому из этих корней соответствует решение ДУ (2.5).

Возможны следующие случаи:

1)k1,k2 ,..., kn – действительные и различные числа;

2)k1,k2 ,...,kn – действительные числа, но среди них встречаются

m-кратные корни;

3)среди корней k1,k2 ,...,kn встречаются простые комплексно-

сопряженные корни i ;

4) среди корней k1,k2 ,...,kn встречаются m –кратные комплексносопряженные корни i .

Частные решения y1, y2 ,..., yn данного ДУ (2.5) находятся следующим

образом:

а) каждому простому действительному корню k соответствует реше-

ние ekx ;

б) каждому m -кратному действительному корню k соответствуют m

решений: ekx , xekx , x2ekx ,…, xm 1ekx ;

в) каждой паре простых комплексно-сопряжённых корней i соответствуют два действительных решения: e x cos x и e x sin x ;

г) каждой паре m -кратных комплексно-сопряженных корней i соответствуют 2m действительных решений:

e x cos x , xe x cos x ,…, xm 1e x cos x , e x sin x , xe x sin x ,…, xm 1e x sin x .

Всякая система из n линейно независимых решений y1, y2 ,..., yn урав-

нения (2.5) называется фундаментальной системой решений этого урав-

нения.

Если известна фундаментальная система решений ДУ (2.5), то общее решение ( yoo ) этого уравнения имеет вид:

yoo C1 y1 C2 y2 ... Cn yn ,

(2.7)

где C1,C2 ,...,Cn – произвольные постоянные.

Функции y1, y2 ,..., yn , найденные указанным выше способом, линейно

независимы. Следовательно, образуют фундаментальную систему решений уравнения (2.5).

		22
Пример 4. Найти общее решение уравнения				y 2 y 8 y 0 .
Решение				k3 2k2 8k 0 , т.	е.
Составим характеристическое		уравнение		k3 2k2 8k 0 , т.	е.
k k2 2k 8 0 . Его корни k1 0,		k2	2, k3	4 – действительные и
различные	числа. Соответствующие		частные решения y e0 x		1,
				1
y2 e 2 x ,	y3 e4 x образуют фундаментальную систему решений ДУ на
; .

Общее решение данного уравнения имеет вид: yoo C1 C2e 2 x C3e4 x .

Пример 5. Найти общее решение уравнения y 5 2 y 4 2 y 3 0.

Решение

Составим характеристическое уравнение:

k5 2k4 2k3 0 , т.е.

k3 k2 2k 2 0 .

Его корни k1 k2 k3

0 ,

k4,5

1 i . Соответствующие частные ре-

шения y 1,

x ,

x2 ,

e x cos x ,

y e x sinx

образуют

фундаментальную систему решений ДУ на ;

. Общее решение

yoo данного уравнения имеет вид:

C C

x C

e x C

cos x C sin x .

Пример 6.

Проинтегрировать уравнение y 5y 6 y 0 и найти ча-

стное решение его при начальных условиях y 0 3, y 0 4 .

Решение

уравнение k2 5k 6 0

k 1 и

Характеристическое

имеет корни

k2 6 . Общее решение yoo

данного уравнения имеет вид:

y C e x C

e6 x .

6 x

Тогда yoo

C1e

6C2e

. Используя начальные условия,

получим

систему двух линейных уравнений относительно произвольных постоян-

ных C1 и C2	3 C1 C2	,		Решая систему, получим	C1 2, C2 1.
ных C1 и C2				Решая систему, получим	C1 2, C2 1.
	4 C1 6C2 .
Следовательно, y			2e x e6 x ― искомое частное решение ДУ.
	част.

2.5 Упражнения

Найти общие решения уравнений и частные решения при заданных начальных условиях (где это требуется).

1	y 5y 4 y 0 .			9	y 6 y 34 y 0 .
2	y 10 y 25y 0 .			10	y 2 y 2 y 0 ,
					y 0 0, y 0 1.
3	y 2 y 5y 0 .			11	y 7 y 16 y 12 y 0 .
4	y 6	6 y 5 13y 4	0 .	12	y 3y 0 .
5	y 8	6 y 0 .		13	y 6 y 0 .
6	y 4 y 3y 0 ,			14	y 8y 16 y 0 .
	y 0 6, y 0 10 .
7	y 4 y 0 ,			15	y 4 y 4 y 0 ,
	y 0 0, y 0 2 .				y 0 3, y 0 1.
8	y y 0 .			16	4 y 8 y 5y 0 .

2.6 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное уравнение n -го порядка
y n a y n 1 a	2	y n 2 ... a	n	y f x ,	(2.8)
1	2		n

где a1,a2 ,...,an – числа, f x 0 .

Общее решение уравнения (2.8) есть сумма любого его решения и об-

щего решения соответствующего однородного уравнения
y n a y n 1 a	2	y n 2 ... a	n	y 0 ,	(2.9)
1	2		n
т. е.
yобщ.неод. yчаст.неод. yобщ.однор. .					(2.10)

Рассмотрим метод Лагранжа (вариации произвольных постоянных). Для решения линейного неоднородного уравнения (2.8) методом Лагранжа рекомендуется:

– найти фундаментальную систему решений y1, y2 ,..., yn соответст-

вующего однородного уравнения (2.9) (это возможно лишь в случае, когда коэффициенты a1,a2 ,...,an – числа);

– записать вид общего решения уравнения (2.9):
yобщ.однор. C1 y1 C2 y2 ... Cn yn ,	(2.11)

где C1, C2 ,...,Cn – произвольные постоянные;

– записать общее решение уравнения (2.8) в форме (2.11), считая

C1, C2 ,...,Cn функциями от x :

yобщ.неодн. C1 x y1 C2

x y2

... Cn x yn ;

(2.12)

– для определения C1 x , C2 x ,...,Cn x

составить систему

x y

... C

x y

... C

...

n 2

x y1

x y2

... Cn x yn

C1 x y1

n 1

f x ;

C2 x y2

... Cn x yn

– найденные функции C1 x ,

C2 x ,...,Cn x

подставить в формулу

(2.12).

Пример 7. Найти общее решение уравнения

y 4 y tg2x .

Решение

y 4 y 0 . Его характеристиче-

Рассмотрим однородное уравнение

ское уравнение

k2 4 0 имеет корни k

2i . Фундаментальная систе-

1,2

виде y1 cos 2x ,

ма

решений

однородного

уравнения

запишется

sin 2x .

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

yобщ.однор. C1 cos2x C2 sin 2x .

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

yобщ.неодн. C1

x cos2x C2 x sin 2x .

Система уравнений для определения С1 x и С2

имеет вид:

x cos2x

C x sin 2x 0,

2C1 x sin 2x 2C2 x cos2x tg2x.

Находим С1 x и С2 x :

С1 x

sin2 2x

, С2 x

sin 2x .

2cos2x

Интегрируя полученные равенства, имеем следующее:

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.02.20161.48 Mб23диплом начало.docx
#
29.02.2016712.7 Кб22Диплом Ск Плита Балка Лена.1.doc
#
29.02.2016266.11 Кб57Диплом.docx
#
21.08.2019191.49 Кб2Дипломное проектирование ЭиУП 2007.DOC
#
26.09.2019674.82 Кб10Диф. зачет ТЭА.doc
#
29.02.2016443.39 Кб14Дифференциальные уравнения.pdf
#
13.11.2019468.99 Кб12Для курсовой станки.doc
#
29.02.20163.04 Mб410ДМ_РФ_Конспект_полный.doc
#
29.02.2016334.03 Кб14Дневник по практике.pdf
#
10.11.2019235.52 Кб7дневник ТЕХ практика.doc
#
29.02.2016151.04 Кб11Дневник технол.практики.doc